《信息光学》第四章章透镜的位相调制和傅里叶变换性质

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1、本 章 主 要 内 容1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质3、 光 学 频 谱 分 析 系 统 0、 序 言透 镜 是 一 种 非 常 重 要 的 光 学 元 件 ， 其 主 要 功 能 包 括 ： 成 像 和 傅 里叶 变 换 。1） 透 镜 的 成 像 功 能 f f 2） 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 功 能 （ 夫 琅 和 费 衍 射 ） f Question: 透 镜 为 什 么 具 有 这 样 的 功 能 ？ 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用1.1 透 镜 对 入 射 波 前 的 作 用透 镜 的 复 振 幅 透 过 率 ：

2、 , , ll U x yt x y U x y在 旁 轴 近 似 下 ， 忽 略 透 镜 对 光 波 振 幅 的 影 响 ， 紧 靠 透 镜 前 后 的 平 面 上 产 生 的复 振 幅 分 布 为 2 20 0, exp exp 2l kU x y A jkd j x yd 2 2, exp exp 2l i ikU x y A jkd j x yd 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用则 透 镜 复 振 幅 透 过 率 表 示 为 ： 2 20 01 1exp exp 2i ikjk d d j x y d d 2 22 20 0exp exp 2, , exp exp 2i ill

3、 l kA jkd j x ydU x yt x y U x y kA jkd j x yd (常 数 项 ) (调 制 项 )对 于 常 数 项 ， 它 改 变 的 是 光 波 整 体 的 位 相 分 布 ， 并 不 影 响 平 面 上 位 相 的 相对 空 间 分 布 ， 分 析 时 可 忽 略 掉 。对 于 调 制 项 ， 它 改 变 了 平 面 上 位 相 的 相 对 空 间 分 布 ， 能 把 发 散 球 面 波 变 换 为 会 聚 球 面 波 。 根 据 几 何 光 学 中 介 绍 的 透 镜 成 像 公 式01 1 1id d f (为 透 镜 的 焦 距 ) 2 2 2 201

4、 1exp exp2 2ik kj x y j x yd d f 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用因 此 ， 透 镜 的 位 相 调 制 因 子 ： 2 20, exp exp, 2ll ilU x y kt x y jk d d j x yU x y f Answer: 透 镜 本 身 的 厚 度 变 化 ， 使 得 入射 光 波 在 通 过 透 镜 的 不 同 部 位时 ， 经 过 的 光 程 差 不 同 ， 即 所受 时 间 延 迟 不 同 ， 从 而 使 得 光波 的 等 相 位 面 发 生 弯 曲 。 等相位面结 论 ： 通 过 上 面 的 分 析 可 知 ， 透 镜 对 透

5、 射 的 光 波 具 有 位 相 调 制 的 功能 。 但 是 ， 透 镜 为 什 么 会 具 有 这 种 能 力 呢 ？ 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用1.2 透 镜 的 厚 度 函 数主 要 考 虑 薄 透 镜 的 情 况 (忽 略 了 折 射 效 应 )如 果 进 一 步 忽 略 光 在 透 镜 表 面 的 反 射 以 及 透 镜 内 部吸 收 造 成 的 损 耗 ， 认 为 通 过 透 镜 的 光 波 振 幅 分 布 不发 生 变 化 ， 只 是 产 生 一 个 大 小 正 比 于 透 镜 各 点 厚 度的 位 相 变 化 ， 于 是 透 镜 的 位 相 调 制 可 以 表

6、示 为 ： , exp , exp , lt x y jk x y jkL x y L(x,y) 0 0, , , 1 ,L x y n x y x y n x y L(x,y)是 Q到 Q 之 间 的 光 程 ：则 0, exp exp 1 ,lt x y jk jk n x y 上 式 具 有 普 遍 意 义 ， 对 于 任 意 面 形 的 薄 位 相 物 体 ， 一 旦 知 道 其 厚 度 函 数 (x,y)，就 可 以 根 据 该 式 得 到 其 位 相 调 制 。 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用下 面 具 体 分 析 一 下 厚 度 函 数 (x,y)和 透 镜 主 要 结

7、 构 参 数 (构 成 透 镜 的 两 个 球面 的 曲 率 半 径 R1和 R2)之 间 的 关 系 。 2 2 2 22 21 12 2 2 22 22 21 1 21 1 2x y x yR Rx y x yR R 2 22 2 21 01 1 1 01 1 212 22 2 22 02 2 2 02 2 22, 1 1, 1 1 x yx y R R x y R Rx yx y R R x y R R 仅 考 虑 旁 轴 光 2 20 1 21 1, 2x yx y R R 将 透 镜 一 剖 为 二 1 2, , ,x y x y x y 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用1.

8、3 透 镜 的 复 振 幅 透 过 率根 据 厚 度 函 数 的 表 达 式 ， 可 得 到 在 旁 轴 近 似 下 ， 光 波 通 过 透 镜 时 在 (x,y)点 发 生的 位 相 延 迟 0, exp exp 1 ,lt x y jk jk n x y 2 20 1 21 1, exp exp 1 2l x yt x y jkn jk n R R 2 20 1 21 1, 2x yx y R R 1 21 1 11nf R R 2 20, exp exp 2l kt x y jkn j x yf 常 数 项 透 镜 位 相 因 子 (n为 透 镜 材 料 的 折 射 率 ) 1、 透 镜

9、 的 位 相 调 制 作 用以 上 推 导 的 关 系 适 用 于 各 种 形 式 的 薄 透 镜 ， 而 且 是 在 旁 轴 近 似 条 件 下 推导 出 来 的 。透 镜 的 作 用 ： 将 入 射 平 面 波 变 换 为 会 聚 （ 发 散 ） 球 面 波 ， 如 下 图 所 示 。 入 射 平 面 波 变 换 为 球 面 波 ， 这 正 是 由 于 透 镜 具 有 的 位 相 因 子 ，能 够 对 入 射 波 前 施 加 位 相 调 制 的 结 果 。 2 2exp 2kj x yf 1、 透 镜 的 位 相 调 制 作 用 2 2exp 2kj x yf 1） 若 在 非 旁 轴 近

10、 似 条 件 下 ， 即 使 透 镜 表 面 是 理 想 球 面 ， 透 射 光 波 也 将偏 离 理 想 球 面 波 ， 即 透 镜 产 生 波 像 差 。2） 实 际 透 镜 总 是 有 大 小 的 ， 即 存 在 一 个 有 限 大 小 的 孔 径 。 引 入 光 瞳 函数 P(x,y)来 表 示 透 镜 的 有 限 孔 径 ， 即 1, 0P x y 透 镜 孔 径 内其 他于 是 透 镜 的 复 振 幅 透 过 率 可 以 完 整 的 表 示 为 ： 2 2, exp ,2l kt x y j x y P x yf ,P x y其 中 ， 表 示 透 镜 对 入 射 波 前 的 位

11、相 调 制 ；表 示 透 镜 对 于 入 射 波 前 大 小 范 围 的 限 制 。 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 回 顾 一 下 ： 利 用 透 镜 实 现 夫 琅 和 费 衍 射 ， 可 以 在 透 镜 的 焦 平 面 上 得 到入 射 场 的 空 间 频 谱 ， 即 实 现 傅 里 叶 变 换 的 运 算 。 f 透 镜 为 什 么 具 有 这 种 功 能 呢 ？* 根 本 原 因 在 于 它 具 有 能 对 入 射 波 前 施 加 位 相 调 制 的 功 能 ， 或 者 说 是 透 镜 的二 次 位 相 因 子 在 起 作 用 。 下 面 将 具 体 分 析 一 下 这

12、 种 作 用 发 生 的 具 体 过 程 ， 并 深 入 讨 论 透 镜 实 现 傅 里叶 变 换 的 一 些 性 质 。 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质U0 Ul U2 d ft(x0,y0) Uf 透 镜 后 焦 面 上 的 场 是 透 镜 前 端 场 U1(x,y)的 傅 立 叶 变 换 (空 间 频 谱 ) 根 据 透 镜 的 位 相 调 制 功 能 ， 透 镜 后 端 场 U 2(x,y)为 : 2 22 1, , exp 2kU x y U x y j x yf 从 透 镜 后 端 到 后 焦 面 光 的 传 播 属 于 菲 涅 耳 衍 射 ， 利 用 菲 涅 耳 衍

13、 射 公 式 ， 后 焦面 上 的 场 U(x,y)为 ： 2 21, exp exp 2f f f f fkU x y jkf j x yj f f 2 22 2, exp exp2 f fkU x y j x y j xx yy dxdyf f ? 2.1 物 体 放 置 在 透 镜 前 d处 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质后 焦 面 上 的 场 分 布 为 2 2 11 2, exp exp , exp2f f f f f f fkU x y jkf j x y U x y j xx yy dxdyj f f f 2 2 1 ,1 exp exp ,2 f fx xx yf

14、 f f ff fkjkf j x y U x yj f f F焦 面 场 是 透 镜 前 端 场 的 傅 里 叶 变 换 (空 间 频 谱 )。如 上 图 所 示 ， 距 离 透 镜 前 端 有 一 物 体 ， 其 透 过 率 为 t(x0,y0)。 若 用 振 幅 为 A的 平 面 波 垂 直 照 明 物 体 ， 则 物 体 的 透 射 光 场 为 ： 0 0 0 0 0, ,U x y A t x y 根 据 角 谱 理 论 ， 透 镜 前 端 场 的 角 谱 为 ： 1 0 0 0, , ,x yU x y U x y H f f F F 2 2, expx y x yH f f j

15、d f f 则 有 ： 2 2 0 0, exp exp , ,2f f f f f x yA kU x y jkf j x y t x y H f fj f f F 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 上 式 具 有 普 遍 意 义 ， 它 证 明 在 物 体 透 射 场 的 菲 涅 耳 衍 射 区 内 放 置 一 透 镜 ， 在 透镜 的 后 焦 面 上 就 可 以 得 到 该 透 射 场 的 傅 里 叶 变 换 (空 间 频 谱 )。 如 果 d0， 物 体 在 透 镜 前 方 ， 由 于 变 换 式 前 的 二 次 位 相 因 子 ， 使 物 体 的 频 谱 产生 一 个 位

16、 相 弯 曲 。 2 2 2 2 0 0 0, exp exp exp ,2f f f f f x yA kU x y jkf j x y j d f f U x yj f f F 2 2exp 1 ,2 f ff f x yA k dj x y Tj f f f f f 其 中 ， T( )为 透 过 率 函 数 t( )的 频 谱 。 对 应 的 强 度 分 布 为 22, ,f ff f f x yAI x y Tf f f （ 二 次 位 相 弯 曲 因 子 ） 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 如 果 d=f， 物 体 在 透 镜 前焦 面 ， 二 次 位 相 弯 曲 消

17、 失 ，后 焦 面 的 光 场 分 布 是 物 体 准确 的 傅 里 叶 变 换 。 如 果 d=0， 物 体 在 透 镜 前 端 面 ，由 于 变 换 式 前 的 二 次 位 相 因 子 ，使 物 体 的 频 谱 也 产 生 一 个 位 相 弯 曲 。 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 2 22, exp ,2 f ff f f f f x yAf kU x y j x y Tj d d d d 2.2 物 体 放 置 在 透 镜 后 方沿 光 波 传 播 方 向 逐 面 进 行 计 算 ， 最 终 可 获 得 透 镜 后 焦 面 上 的 场 分 布 为 222, ,f ff f

18、 f x yAfI x y Td d d 对 应 的 强 度 分 布 为 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质总 结 一 下 ： 在 单 色 平 面 波 照 明 下 ， 无 论 物 体 位 于 透 镜 前 方 、 后 方 还 是 紧 靠 透 镜 ，在 透 镜 的 后 焦 面 上 都 可 以 得 到 物 体 的 功 率 谱 ； 对 于 这 样 的 照 明 方 式 ， 透镜 后 焦 面 常 称 为 傅 里 叶 变 换 平 面 或 （ 空 间 ） 频 谱 面 。 如 果 采 用 球 面 波 照 明 时 ， 透 镜 还 能 进 行 傅 里 叶 变 化 吗 ？ 那 频 谱 面 还 是焦 平 面

19、吗 ? Answer: 透 镜 还 能 其 傅 里 叶 变 换 作 用 ， 但 是 频 谱 面 不 再 是 焦 平 面 ， 而 是 点 光 源 的 像面 位 置 。 具 体 推 导 过 程 可 参 考 有 关 参 考 书 ， 这 里 不 再 赘 述 。 P xx=f tan() x=f sin()= x=f f xf fx=cos() /=sin()/ 焦 平 面 上 的 空 间 位 置 坐 标 对 应 的 频 率 信 息 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质2.3 透 镜 孔 径 的 影 响引 入 光 瞳 函 数 P(x,y)来 表 示 透 镜 的 有 限 孔 径 ， 1, 0P x

20、 y 透 镜 孔 径 内其 他透 镜 的 复 振 幅 透 过 率 可 以 表 示 为 ： 2 2, exp ,2l kt x y j x y P x yf 则 后 焦 面 上 的 光 场 分 布 为 ： 2 2, exp , * ,2 f f f ff f f f f x y x yA kU x y j x y T Pj f f f f f f , ,f fx yP x y P f f F其 中 ， 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 , xP x y rect l 卷 积 的 效 果 是 使 物 体 频 谱 图 象 产 生 某 种 程 度 的 模 糊 ， 或 者 说 失 真 。 透

21、 镜 孔 径 越小 ， 这 种 模 糊 越 严 重 。 假 定 透 镜 孔 径 是 宽 度 为 的 矩 形 函 数 ， 即下 图 是 物 体 频 谱 与 光 瞳 函 数 傅 里 叶 变 换 卷 积 的 结 果 。 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 2 22, exp , * ,2 f f f ff f f f f x y x yAf kU x y j x y T Pj d d d d d d 2 20 0 0 0 0 0 0, exp , ,2f f Af k f fU x y j x y t x y P x yd d d d 物 体 放 置 在 透 镜 后 方 时物 体 的 透

22、射 光 场 为 0 0, ,f fx y f fP P x yd d d d F焦 平 面 上 的 复 振 幅 分 布 为其 中 ，* 若 物 体 被 完 全 照 明 ， 则 投 影 光 瞳 函 数 可 从 式 中 略 去 ； 否 则 ， 后 焦 面 上 的 场分 布 只 是 部 分 物 体 的 傅 里 叶 变 换 ， 此 时 频 谱 图 像 产 生 模 糊 。（ 投 影 光 瞳 函 数 ） 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 物 体 放 置 在 透 镜 前 方 时以 波 矢 量 在 y0z平 面 内 传 播 的 平 面 波 分 量 受 透 镜 孔 径 限 制 的 情 况 来 说 明

23、 对于 谱 面 光 场 的 影 响 。（ 1） 0 02l Ld 0 部 分 的 空 间 频 率 将 全 部 成 像 在 焦 平 面 上 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质0 M 部 分 的 空 间 频 率 将 部 分 成 像 在 焦 平 面 上（ 2） 02M l Ld 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 02M l Ld M 部 分 的 空 间 频 率 都 不 能 成 像 在 焦 平 面 上 。（ 3） 2、 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质总 结 一 下 ：（ 1） 有 限 大 小 的 透 镜 孔 径 可 能 会 造 成 物 体 频 谱 的 失 真 ， 原 因

24、就 在 于 透 镜 实 际 上 是 一 个 低 通 滤 波 器 ： 低 频 成 分 可 以 通 过 ， 稍 高 频 率 成 分 可 以 部 分 通 过 ， 高 频 部 分 则 完 全 被 滤 出 。（ 2） 因 此 由 于 透 镜 有 限 孔 径 的 影 响 ， 后 焦 面 上 不 能 得 到 准 确 的 物 体 频 谱 ， 给 傅 里 叶 变 换 结 果 带 来 误 差 ， 频 率 越 高 ， 误 差 越 大 。 我 们 把 这 种 现 象 称 为 渐 晕 效 应 。（ 3） 采 用 尽 可 能 大 的 透 镜 孔 径 ， 或 物 体 尽 可 能 靠 近 透 镜 ， 可 以 减 小 渐 晕

25、的 影 响 。 3、 光 学 频 谱 分 析 系 统光 学 频 谱 分 析 的 基 本 原 理 就 是 利 用 透 镜 的 傅 里 叶 变 换 性 质 来 产 生 物体 的 空 间 频 谱 ， 然 后 对 它 进 行 测 量 、 分 析 来 研 究 物 体 的 空 间 结 构 。上 图 所 示 为 二 维 光 学 频 谱 分 析 系 统 的 光 路 。 S为 相 干 点 光 源 ， L 1为 准 直 透 镜 ，L2为 傅 里 叶 变 换 透 镜 。 P1平 面 （ L2前 焦 面 ） 放 置 输 入 物 体 ， 其 复 振 幅 透 过 率 为t(x1,y1)。 在 P2平 面 （ L2后 焦

26、面 ） 上 ， 输 出 光 场 分 布 正 比 于 物 体 的 空 间 频 谱 ， 即 2 2 1 1 2 1 2 1 1 12, , expU x y k t x y j x x y y dx dyf 2 2,x ykT f f 3、 光 学 频 谱 分 析 系 统强 度 记 录 得 到 物 体 的 功 率 谱 为 22 2 22 2, ,x yI x y k T f f 光 学 频 谱 分 析 可 用 于 微 小 物 体 的 形 状 尺 寸 检 测 、 质 量 检 测 、 图 像 分 析 等 领 域 。 本 章 小 结1） 透 镜 具 有 成 像 和 傅 里 叶 变 换 的 功 能 ， 其

27、 根 本 原 因 在 于 透 镜 具 有 对 入 射波 前 进 行 位 相 调 制 的 功 能 ； 而 透 镜 之 所 以 具 有 这 种 位 相 调 制 的 功 能 就 在于 透 镜 本 身 存 在 的 厚 度 变 化 。2） 透 镜 具 有 傅 里 叶 变 换 的 功 能 当 采 用 平 面 波 垂 直 照 明 时 ， 总 可 以 在 透 镜 后 焦 面 上 得 到 物 体 的 功 率 谱 ，无 论 物 体 放 置 在 透 镜 前 方 、 后 方 还 是 紧 靠 物 体 ； 但 当 用 球 面 波 照 明 时 ， 频 谱 面 不 在 透 镜 焦 平 面 上 ， 而 是 点 光 源 的 成 像位 置 。3） 透 镜 有 限 大 小 的 孔 径 对 傅 里 叶 变 换 有 很 大 的 影 响 ， 给 傅 里 叶 变 换 结 果带 来 误 差 ， 频 率 越 高 ， 误 差 越 大 。 透 镜 相 当 于 一 个 低 通 滤 波 器 。