一元二次方程课件ppt

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1、教学目标：一元二次方程概念解一元二次方程的方法一元二次方程应用题第1页/共55页一元二次方程概念一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念第2页/共55页一元二次方程概念只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程第3页/共55页一元二次方程特点（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程第4页/共55页一元二次方程的一般形式任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c

2、是常数项第5页/共55页例1将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：去括号，得：40-16x-10 x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22第6页/共55页例2（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项

3、分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4第7页/共55页应用拓展求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170即可证明：m2-8m+17=（m-4）2+1（m-4）20（m-4）2+10，即（m-4）2+10不论m取何值，该方程都是一元二次方程第8页/共

4、55页本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用第9页/共55页第二课时1一元二次方程根的概念；2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目第10页/共55页一元二次方程的根为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第11页/共55页直接开平方法形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，注意：若b0，方程无解第12页/共55页例题：将方程左边配成完全平方式，得到的方程是（）A、B、C、D、第13页/共55页因式分解

5、法一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。例题：解方程第14页/共55页配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意：当时，方程无解第15页/共55页例题：将方程配方后，原方程变形为（）ABCD第16页/共55页公式法一元二次方程的求根公式：（）一般步骤：将方程化为一般形

6、式确定方程的各系数a，b，c，计算的值；当，将a，b，c以及的值代入求根公式，得出方程的根第17页/共55页注意:当时，方程无解；公式法是解一元二次方程的万能方法；利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；第18页/共55页一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根第19页/共55页韦达定理（根与系数关系）（1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+；可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。*实根与虚根。（2）如果方程x2+

7、px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q（3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0第20页/共55页一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。第21页/共55页第22页/共55页1、下列式子哪些是方程？2353

8、x25x318x2y5没有未知数没有未知数不是等式不是等式含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程不是等式不是等式方程的本质方程的本质特征是什么特征是什么？第23页/共55页2、我们学过哪些方程？一元一次方程、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？只含有只含有一个未知数一个未知数，并且未知数的，并且未知数的次数是次数是1 1次次的整式方程叫一元一次方程。的整式方程叫一元一次方程。一元一元一次一次第24页/共55页问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长

9、比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？第25页/共55页问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？x（x10）第26页/共55页问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为x米，则长为（x10）米，可得方程：设未知数设未知数长长宽面积宽面积 相相等关系等关系x（x10）=900 第27页/共55页去年底：5今年底：55x5（1x）明年底：5（1x）5（1x）x5（1x）（1x）5（1x）2问

10、题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到72万册。求这两年的年平均增长率。解：设这两年的年平均增长率为x,根据题意得方程：5（1x）27.2注意：每年都是注意：每年都是在上一年的基础在上一年的基础上增长！上增长！第28页/共55页整理得：x210 x9000（1）5x210 x2.20 （2）特征（1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2第29页/共55页 只含有一个未知数，并且未知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是数的最高次数是2 2的的整式方程整式方程叫做叫做一元二一元二次方程次方程。一元二次方程通常可写成如下的一元二次方程通常可写成如下

11、的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0（a0)特征：方程的左边按特征：方程的左边按x x的降幂排列，的降幂排列，右边右边0 0第30页/共55页练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。不是不是是是不是不是不是不是第31页/共55页讨论：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0会出现什么情况？b、c能不能为0？ax2+bx+c=0（a0)第32页/共55页ax2+bx+c=0二次项一次项常数项二次项系数一次项系数a0一元二次方程的项和各项系数 第33页/共55页练习1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：方程方程二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项213

12、305130第34页/共55页2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：3x21x2=02x27x3=01x25x0=02x25x11=0友情提示：某一项的系数包括它前友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。面的符号。第35页/共55页拓展练习：1、关于x的方程axax2 2 2bx2bxa a2x2x2 2,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：移项：axax2 2 2bx2bxa a 2x2x2 2 0 0合并同类项：（a a2 2）x x2 2 2bx2bxa a0 0所以，当a2时是一元二次方程；当a2，b0时

13、是一元一次方程；第36页/共55页2、已知关于x的一元二次方程(m1)x23x5m40有一根为2，求m。什么叫方程的根？什么叫方程的根？能够使方程左右两边相等的未知数的值，能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。叫方程的根。解：把x x2 2代入原方程得：(m1)223 2 5m40解这个方程得：m6第37页/共55页3、已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值。分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最高次数 m+12，解之得，m=1或m=1，又因二次项系数m10，即m1，所以m=1。温馨提示：注意陷井温馨提示：注意陷井二次项系数二次项系数a0！第38页/共55页v若x=1是关于x

14、的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=_ 第39页/共55页已知关于x的方程（k21）x2（k1）x20（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出它的根；（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常数项第40页/共55页二次函数y=ax2的图象和性质第41页/共55页1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？第42页/共55页你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式,选择适当选择适当

15、x值值,并计算并计算相应的相应的y y值值,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 9第43页/共55页xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点,连线连线y=x2 2?第44页/共55页第45页/共55页二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.第46页/共55页 议一议议一议(2)图象图象 与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?(4)当当x0呢

16、？呢？(3)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么最小值是什么?你是如何知道的？你是如何知道的？观察图象观察图象,回答问题：回答问题：xyO(1)图象是轴对称图形吗？图象是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？请你找出几对对称点？第47页/共55页当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.当x=-2时，y=4当x=-1时，y=1当x=1时，y=1当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.第48页/共55页(1)(1)二次

17、函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？做一做做一做你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学第49页/共55页做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点,连线连线y=-=-x2 2?第50页/共55页当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.y 当x=-2时,y=-4 当x=-1时,y

18、=-1当x=1时,y=-1当x=2时,y=-4抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.第51页/共55页1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2的性质第52页/共55页做一做做

19、一做(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 侧,y随着x的增大而减小,当x=时,函数y的值最小,最小 值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y0.第53页/共55页六、本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一种有效数学模型。4、二次函数y=ax2的图象是什么？5、二次函数y=ax2的图象有何性质？6、抛物线y=ax2与y=-ax2有何关系？第54页/共55页谢谢您的观看！第55页/共55页