理论力学第七章刚体的平面运动

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1、运 动 学 第 七 章 刚 体 的 平 面 运 动平 行 于 固 定 平 面 的 运 动 。 7-1 刚 体 的 平 面 运 动 方 程 S A ”A Ay xS B Pfy xAA ： 基 点平 面 运 动 方 程x=f1(t) ；y=f2(t) ； f=f3(t) ； 平 面 运 动 方 程 : x=f1(t); y=f2(t) ； f=f3(t) ；讨 论 ： 1. f=c ； x=f1(t) ； y=f2(t) ；平 动 。2. x=c1 ； y=c2 ； f=f3(t) ； 定 轴 转 动 。 );t(fdtdyv 20y0 );t(fdtdxv 10 x0 y xS BA xy 平

2、 动 。f f =q ).t(f);t(fdtddtd , 33 ff,与 基 点 无 关 。v与 基 点 有 关 。 B0 Sy xA fq Bf A A 7-2 平 面 图 形 上 各 点 的 速 度一 、 基 点 法 (合 成 法 ) B xy ve=vAva=vBvA1. vA平 动 速 度 ；vAB=*AB;二 、 投 影 法vBAB=vAAB; 1.瞬 时 状 态 ；2.可 解 二 个 未 知 量(大 小 ， 方 向 )。2. vAB相 对 转 动 速 度 ;vvv ABAB );vvv( rea vr=vAB vB例 7 1： 椭 园 规 机 构 如 图 示 ， 杆 0C绕 0作

3、 匀 角 速 度 转 动 ，巳 知 :OC=AC=AB=R， q300,求 :滑 块 A,B的 速 度 。解 : vCvC vACvA vCvBCA 基 点 法 xx: vAcos600=vCcos300;vC=R0;.Rv 0A 3 B 基 点 法y: vBCcos300=vCcos300;vB=vC=R0; yx: vBcos300=vCcos300;vBC=vC=RCB; CB0= CB =AB; 同 样 可 以 A点 为基 奌 求 B点 速 度 .是 否 可 以 0点 为基 奌 求 B点 速 度 . 例 7 2： 机 构 如 图 示 ， 杆 0A绕 0作 匀 角 速 度 转 动 ， 巳

4、 知 : DC=6r， OA=ED=r, 求 :滑 块 F的 速 度 和 杆 ED的 角 速 度 。解 : v A vC vBEDA 基 点 法CD: vCcos600=vDcos300;vA=r; vDC vCvD xBC作 平 动 : vB=vC =vF;AB作 瞬 时 平 动 : vA=vB;C 基 点 法x: vDcos600=v DCvCcos300; ;rv 936DCDC ;rv 332DC DC0A C BDE 300 F;3rvD ;3rv DED A PvA 三 、 瞬 时 速 度 中 心 法vP=vAvAP=0; vAPA=vA/;速 度 瞬 心 :P； 不 同 瞬 时

5、， 不 同 瞬 心 ； P A v A B vB vPA;vvv APAP 0 瞬 心 位 置 确 定 P vAvBv AvB vAvB vAvB P vAP vBP vBvA 例 7 1A： 椭 园 规 机 构 如 图 示 ， 杆 0C绕 0作 匀 角 速 度 转 动 ，巳 知 :OC=AC=AB=R， q 300,求 :滑 块 A,B的 速 度 。解 : v BvCvA瞬 心 法 vc=R0; .RRv 0ABA 3cos2 vD=PD AB; ABP点 为基 奌 求 D点 速 度 . P.RRv 0ABB sin2 vD D;Rv 0CAB 例 7 2A： 机 构 如 图 示 ， 杆 0

6、A绕 0作 匀 角 速 度 转 动 ， 巳 知 :0A=r,DC=6r， ,求 :滑 块 F的 速 度 和 杆 ED的 角 速 度 。解 : ED vC=PC CD=6rcos300 CD;vA=r;BC作 平 动 : vB=vC;AB作 瞬 时 平 动 : vA=vB; v D=6rcos600 CD; 93CD CDPvBvA vC0A C BDE 300 vD F ;3rvD ;3ED vE例 7 3： 0AB杆 做 匀 速 转 动 带 动 A、 B摩 檫 轮 ,B摩 檫 轮 与 外 曲 面 做纯 滚 动 ， 巳 知 :3 1/s,0E=8cm, r =4cm, R=9cm, 求 :A轮

7、 P处 速 度 。解 : 0 E Dp BA Rr h vDvEvEvEP vh4xvp vB=(0Er+R)=63;vh=B2R=126;vE=0E=24;A 瞬 心 法 ;xvxv AEh4 ;s/cm.v)r(v 81042E2Ap x=0.9240; A=25.5Ar =B2R ? A BB= R63 yBv3 v2v1C xAa例 7 4： 滑 槽 机 构 如 图 所 示 ， B、 C是 滑 块 推 杆 连 结 ,巳 知 :v1, v2, 求 图 示 位 置 :v3,4。解 : ;yx x ;yx y 22 22cossin B:t: v1 sinq = vAB + v2 cos q

8、 ；t: v3cos q = vAC + v2 cos q ；)yx( )xvyv(yxv 22 2122ABAB4 C: ;av ABAC cos q ;xayvxaxvv 2123 v2vABv1 vrt qvAC v2vr v3 ABy,t;vvv rea ;vvv ABe 2 ;vvvvv rABB 21 aA 73 平 面 图 形 上 各 点 的 加 速 度指 向 A； BaABnaABtaB个 aAA aABFaABt=*AB;基 点 法 (合 成 法 )aABn=2*AB; 垂 直 AB； 242AB2nABAB AB)(a)(aa 2nABABtan f aa提 问 ： 为 什

9、 么 没 有 哥 氏 加 速 度 ? 1.瞬 时 状 态 ；2.可 解 二 个 未 知 量(大 小 ， 方 向 。aAB=ar; aA=ae; aB=aa; 是 否 有 加 速 度 投 影 法;aaa ABAB ;aaaaaa nABABnAAnBB ttt vBvABvA aBtaBnaAn aAtaABn aABt速 度 矢 量 图 加 速 度 矢 量 图 ;vvv ABAB ;aaaaaa nABABnAAnBB ttt 例 7 5： 往 复 机 构 如 图 示 ， 杆 0A绕 0作 匀 角 速 度 转 动 ， 巳 知 :0A=r, q 600， 求 :滑 块 B的 速 度 ， 加 速

10、度 。解 ： vA=r vA vB PAB;rlAB 3;rlAP 33 l;2BP ;3APv AAB aAt= r=0； ;rvB 332 aAn= 2 r；x: a B= aABt cos600+aABn cos300 +aAncos600 ；22ABnAB 932 rBAa A BaAn aABnaB aABtaAn 600y: aABt cos300+aABn cos600 aAncos300= 0 ； yx B0 A q 如 以 AB轴 投 影 方 程;aaaaaa nABABnAAnBB ttt AB;ra 2AB 98 ;ra 2B 92 例 7 6： 园 轮 做 纯 滚 动

11、， 巳 知 :半 径 =r,轮 心 速 度 ， 加 速 度 ,求 :园 轮 边 缘 任 意 点 M的 加 速 度 。解 :讨 论 ： 1.求 M 1的 加 速 度 ; q0;F r=x; r=vc; r=ac; Mq vc acaMCtaMCn acaM2nM1 M2qaMCt= r=ac; 2My2MxM aaa x: aMx= aC+ aMCt sin q +aMCn cos q ；y: aMy= aMCt cos q aMCn sin q ； ;a)rva(a CCC 222 ;rva a 20C Ctan f2.求 M2的 加 速 度 ;qp/2;纯 滚 动 条 件 ： ax=aCaC

12、=0; ay=v02/r;M2是 速 度 瞬 心 ， 但 加 速 度 不 等 于 零 。aMCn= 2r= ;rv2C 例 7 7： 园 轮 在 曲 面 做 纯 滚 动 ， 0A杆 做 匀 速 转 动 ， 巳 知 :10 1/s,0A=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm,求 :园 轮 ,杆 AB的 角 加 速 度 。解 : vA= vB=10; 0A B r RB= vB/r=; f;.9680401040cos 22 f ;.25041sin f aAn aAnaBnaBAnaBtaBAtABABaAn= 2r=1000; aBn= v B2/(R+r)=333.3;AB: a

13、 Btcos f aBn sin f aAn sin f ；aBAn= 0; 172B ay: aBn = aABt cosf +aAn ； aABt=688.5 ；B= aBt/ r= 17.2 1/s2 ;AB= aABt/ l= 17.2 1/s2 ; vA vB AB=0; ;aaaaaa nABABnAAn BB ttt 600vc acA 0300例 7 8： 图 示 半 径 R=0.2m园 盘 作 纯 滚 动 ， 使 杆 0A绕 0轴 绕 动 ,巳 知 : vC = 0.8m/s; aC=0.2m/s2 ,0A=0.4m, 求 :0A杆 的 角 速 度 ,角 加 速 度 。解 :

14、 xyvC vA vra rt aat aanx yacarn600 ve= vC ; va= vA ; 取 A为 动 点 ,园 盘 为 动 系 ；vr= vCsin600=0.69m/s ; va=vA=vC cos600=0.4m/s ; ve = vC = 0.8m/s ;0A=vA/0A=1 rad/s ; 牵 连 运 动 为 平 动 ,加 速 度 式 ；arn= v2r /R=2.4m/s2 ; aan= 20A 0A=0.4m/s2 ;ae= ac=0.2 m/s2;x:a at= acsin300+arn ; aat=2.5 m/s2 ;0A= aat/0A6.25 m/s2 ;

15、 0A 0A;aaaaa nrrenaa tt A BCE D 60001 02 600例 7 9： 图 示 连 杆 机 构 ， 01A以 匀 角 速 度 2rad/s转 动 ,並 带 动 滑块 运 动 ,巳 知 : 01A = 02B=CD=20cm ,AB=0102 =40cm, 求 :CD杆 中 点E速 度 ,加 速 度 。解 : vA vCvE vDPCD1:求 速 度vA=2040;vA=vCvB; cm/s;vv 32030cos 0CE CD=vC/CP2 rad/s;vCvD; A BCE D 60001 02 600解 : aAn aCnaDCn aCnaDaDCtaECn

16、aCnaECtaAn= aCn 80cm/s2;求 E加 速 度 有 三 个 未 知 量 aECt， aE大 小 ,方 向 。aECn= 40cm/s2;2:求 加 速 度 aDCn= 80cm/s2; xx: aCncos600aDCncos600 aDCtcos300 =0先 求 D点 ； D点 :aDCt =0;E点 : n: aEn aCncos600+aECn= 80cm/s2;t: aEt aCncos300 +aECt =69.2cm/s2; 0840.;aatan nEE t是 否 可 从 D点 求 E点 的 加 速 度 ?DC =0; nt例 7 9A： 2rad/s, 01

17、A = 02B=CD=20cm ,AB=0102 =40cm, 求 :aE。;/.)a()a(a 22E2nEE scm8105 ;aaa nEEE t 例 7 10： 曲 柄 绕 0匀 速 转 动 ， 已 知 :, AB=BD =L,0A=r, 求 :1。解 : 速 度 :B 10A 300 B D0600vA ve vrvDvBvA= vB= vD =r ，ve= vDsin600=rsin600，vr= vDsin300=rsin600， 1= ve/D0， 00 sin120sin300 LD 000 sin60sin30sin600 rLD 431 x;vvvv Drea 10A 3

18、00 B D0600解 :加 速 度 :D anA aBn:0= anAatBAcos300=r2LABcos300，aC=2vr1; anAatAB anA atDAate ane aCar02AB 30cosLrLaAB t nt: a nAsin300 atDAcos300=ateaC , anA=2r; a tDA=2LAB; 1 xanAB=0;例 7 10A： 曲 柄 绕 0匀 速 转 动 ， 已 知 :, AB=BD =L,0A=r, 求 :1。t;aaa aaa nABABnA ABAB t ;aaaa nDADAnAD t ;aaaa nDADAnAD t;2ra 2e ;L

19、r 221 例 7 11： 如 图 平 面 铰 链 机 构 。 已 知 杆 O1A的 角 速 度 是 1 ， 杆 O2B的 角 速 度 是 2， 转 向 如 图 ， 且 在 图 示 瞬 时 ， 杆 O1A铅 直 ， 杆 AC 和 O2B水 平 ， 而 杆 BC对 铅 直 线的 偏 角 ； 又 O2B=b， O1A= b。 试 求 在 这 瞬 时 C 点 的 速 度 。解 ： 30 3 O 1A O2BC1 230 xy先 求 出 A点 和 B点 的 速 度 ,bAOvA 111 3 bBOvB 222 以 A点 为 基 点 分 析 C 点 的 速 度 ， 有 vA vBvAvCA vCvCBv

20、B另 外 ， 又 以 B作 为 基 点 分 析 C 点 的 速 度 ， 有比 较 以 上 两 式 ， 有 CBBCAA vvvv 上 式 投 影 到 x 轴 得30 cosvv CBA bcosvv ACB 1230 方 向 如 图所 以 )(vvv CAAC 1 )(vvv CBBC 2 ( bbcosvvvv CBCBxBxCx 11 3232300 ( b bbsinvvvvv CBBCByByCy 21 12 21230 于 是 得 ( 222121 2212122 24 3 b bvvv CyCxC ( ( 1 213tan CxCyC vvx,v 30 vA 例 8 11A 把 式

21、 分 别 投 影 到 x， y轴 上CBBC vvv AC OB 60v解 ： 1. 求 AB杆 的 角 速 度 。 va ve vrAB由 速 度 合 成 定 理各 速 度 矢 如 图 所 示 。 动 系 固 连 于 导 套 O 。动 点 A点 。 静 系 固 连 机 座 。 相 对 运 动 A点 沿 导 套 O的 直 线 运 动 。牵 连 运 动 导 套 O绕 定 轴 的 转 动 。 vv a其 中 绝 对 运 动 A点 以 匀 速 v 沿 AC方 向 的 运 动 。由 于 杆 AB在 导 套 O中 滑 动 ， 因 此 杆 AB与 导 套 O具 有 相 同 的 角 速 度 及 角 加 速

22、度 。其 角 速 度 vvv 2360sin ae 260cosar vvv 从 而 求 得 lvAOvAB 43e （ 逆 时 针 转 向 ） 例 7 12： 在 示 平 面 机 构 中 ， AC杆 在 导 轨 中 以 匀 速 v平 动 ， 通 过 铰 链 A带 动 AB杆 沿 导 套 O运 动 ， 导 套 O与 杆 AC的 距 离 为 l。 图 示 瞬 时 AB杆 与 AC杆 的 夹 角为 ， 求 此 瞬 时 AB杆 的 角 速 度 及 角 加 速 度 。 rea vvv 例 7 12A： 2. 求 AB杆 的 角 加 速 度 。 由 于 A点 为 匀 速 直 线 运 动 ， 故 其 绝

23、对 加 速 度 为零 。 A点 的 相 对 运 动 为 沿 导 套 O的 直 线 运 动 ， 因 此 其相 对 加 速 度 ar 沿 杆 AB方 向 ， 故 由 加 速 度 合 成 定 理 有式 中 ， 绝 对 加 速 度 a a = 0， 科 氏 加 速 度lvva 432 2reC 将 上 式 投 影 到 ate方 向 得从 而 求 得 AB杆 的 角 加 速 度 大 小 为动 点 、 动 系 与 静 系 的 选 取 与 上 相 同 。 （ 顺 时 针 转 向 ） AC OB 60;aaaaa Crneea t l4v-aa 3 2Cte 8lAO 2 2te 33 vaAB 例 7 13

24、： 如 图 所 示 平 面 机 构 ， AC杆 铅 直 运 动 ， BD杆 水 平 运 动 ， A为 铰链 ， 滑 块 B可 沿 槽 杆 AE中 的 直 槽 滑 动 。 图 示 瞬 时 , AB=60 mm ， 求 :该 瞬 时 槽 AE杆 的 角 速 度 及 角 加 速 度 。aA vAv A vr va=vB 为 槽 杆 上 与 滑 块 B重 合 的 B点 的 速 度 ，其 大 小 和 方 向 均 未 知 。Bvve Bvv a式 中 ， vr方 向 沿 AE， 大 小 未 知 ；有 三 个 待 求 量 ， 无 法 作 出 速 度 平 行 四 边 形 。1. 求 槽 杆 AE的 角 速 度

25、 。解 ： 本 题 为 刚 体 平 面 运 动 和 点 的 合 成 运 动 综 合 问 题 。先 用 点 的 合 成 运 动 理 论 分 析 ，动 系 固 连 于 槽 杆 AE。定 系 固 连 机 座 。动 点 滑 块 B 。由 速 度 合 成 定 理 ， 有再 对 作 平 面 运 动 的 槽 杆 AE ， 以 A为 基 点 ， 有 )(vvv rea 1 )(vvv BAAB 2 ABAB vvv 60 cos30 cos r60sin30sin vvv AB 1smm 330 ABv 1r smm 10 v将 上 式 分 别 投 影 到 vBA及 vr方 向 ， 有 1srad 866.0

26、23 ABv ABAE 联 立 上 面 （ 1） 、 （ 2） 两 式,vvv rea BAAB vvv rBAAB vvvv 再 对 作 平 面 运 动 的 槽 杆 AE ， 以 A为 基 点 ，B点 的 加 速 度 2rC smm 32.173102 va AEar方 向 沿 AE， 大 小 未 知 ；其 大 小 和 方 向 均 未 知 。B , aae,a Baa 式 中 smm 45 22n ABa AEAB 式 中 同 理 先 用 点 的 合 成 运 动 理 论 分 析 ，动 点 、 动 系 与 定 系 的 选 取 与 上 相 同 ， 则 有2. 求 槽 杆 AE的 角 加 速 度

27、。 B ACBE D aA aBABaA tan ABa aa=aB araC联 立 上 面 （ 3） 、 （ 4） 两 式 有分 别 投 影 到 atBA及 ar方 向 ， 得解 得Ct30sin30cos aaaa ABAB rn30cos30sin aaaa ABAB smm 32.17 2t ABa 2r smm 65 a故 槽 杆 AE的 角 速 度 srad 289.0 2t ABa ABAE ;)(aaaa Crea 3 ;)(aaaa n BABAAB 4 t ;aaaaaa CrBAnBAAB t 例 7 14： 在 平 面 机 构 中 ， 已 知 ： . ， . ， 0.4

28、 ； 在 图 示 瞬 时 ， 杆 和 处 于 铅 垂 位 置 ， 、 、 在 同 一 铅 垂 线 上 ， rad ， rad 2转 向如 图 。 试 求 此 瞬 时 杆 的 角 速 度 C； 直 角 三 角 板 的 角 加 速 度 .解 :有 v 0.2 三 角 形 作 瞬 时 平 动 ， 故 ： DB 。v v ， /s),2(0.61.2DCv Dc rad取 点 为 基 点 ， 则 有 D点 加 速 度a a a a a y: a a a cos 得 : a )CDvAB(2 2D2 故 : ),(rad/sDBa 2DB 12DB,)/(. 2284 sm C vB vDaDB l方 向 为 tan . ， . 。例 7 15A： 在 平 面 机 构 中 ， 已 知 ： . ， . ， 0.4 ； 在 图 示 瞬 时 ， 杆 和 处 于 铅 垂 位 置 ， 、 、 在 同 一 铅 垂 线 上 ， rad ， rad 2转 向 如图 。 试 求 此 瞬 时 直 角 三 角 板 顶 点 的 加 速 度 。解 : 又 取 点 为 基 点 ， 则 有 E点 加 速 度a a a a 将 上 式 向 ， 轴 投 影 :得 ： a a a DBBEAB . 2 ,a y a 2ABa a a ； aE=8.2 aDB