三圆的切线的性质及判定定理 (3)

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1、圆的切线的性质与判定圆的切线的性质与判定江苏省滨海中学江苏省滨海中学 孙亚孙亚高中数学高中数学 选修选修4-1（1）当直线与圆有）当直线与圆有2个公共点时，直线与圆个公共点时，直线与圆相交；相交；（2）当直线与圆恰有）当直线与圆恰有1个公共点时，直线与圆个公共点时，直线与圆 相切；相切；（3）当直线与圆没有公共点时，直线与圆）当直线与圆没有公共点时，直线与圆 相离相离.从直线与圆的公共点个数出发，如何定义直线与从直线与圆的公共点个数出发，如何定义直线与圆的位置关系？圆的位置关系？问题问题1：（1）当）当dr时，时，直线与圆直线与圆相离相离.如图，设圆如图，设圆O的半径为的半径为r,圆心圆心O到

2、直线到直线l的距离为的距离为d.你能根据你能根据d与与r的大小关系，判断直线与圆的位置关系吗？的大小关系，判断直线与圆的位置关系吗？问题问题2：（1）过圆）过圆O内内一点一点A任意作一条直线任意作一条直线l,那么直线那么直线l与圆与圆O是什么位置关系？是什么位置关系？（2）过圆）过圆O上上一点一点A任意作一条直线任意作一条直线l,那么直线那么直线l与圆与圆O是什么位置关系？是什么位置关系？问题问题3：l l（3）过圆）过圆O上上一点一点A如何作一条直线如何作一条直线l,使得直线使得直线l与圆与圆O相切呢？相切呢？相交相交相交或相切相交或相切l l已知已知:是是 的一条半径，直线的一条半径，直线

3、 过点过点 ，且，且求证：是求证：是 的切线的切线.证明：在直线证明：在直线l上任取一点上任取一点P，若点，若点P不同不同于点于点A，则，则OPOA，从而点，从而点P在圆在圆O外外.故直线故直线l与圆与圆O只有一个公共点只有一个公共点A.即即l是圆是圆O的切线的切线.1.切线的判定定理切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.l l例例1：如图，已知：如图，已知 为为 外一点，以外一点，以 为直径作为直径作 ,交交 于点于点 ，求证：，求证：，是是 的切线的切线.证明：证明：连接连接OA.由于由于A是以是以PO为直径的圆为直径的圆M上一

4、点上一点.故故根据切线的判定定理知，根据切线的判定定理知，PA是圆是圆O的切线的切线.同理，同理，PB是圆是圆O的切线的切线.练习练习1：已知点：已知点A是圆是圆O上一点，点上一点，点P是圆是圆O外外一点，且一点，且OA=3，AP=4，OP=5，那么直线，那么直线PA与圆与圆O的位置关系是的位置关系是_.相切相切以算代证以算代证 练习2：如图，AB是O的直径，O过BC的中点 D，DEAC,E为垂足.求证：DE是O的切线.ABDCEO问题问题4：切线的判定定理告诉我们如何判断直线与圆相切，切线的判定定理告诉我们如何判断直线与圆相切，反过来，如果我们已知直线与圆相切，那会有怎样的性质呢反过来，如果

5、我们已知直线与圆相切，那会有怎样的性质呢？已知：直线已知：直线 是是 切线，切线，为切点为切点.求证：求证：已知：直线已知：直线 是是 切线，切线，为切点为切点.求证：求证：P 如图，假设如图，假设 与与OA不垂直不垂直.作作 ，垂足为，垂足为P，证明：证明：则则OAOP,即圆心即圆心O到直线到直线 的距离的距离d小于圆的半径小于圆的半径r.于是直线于是直线 与与 相交，矛盾相交，矛盾.所以所以反证法！反证法！反证法一般步骤是什么？反证法一般步骤是什么？1.反设反设2.归谬归谬3.存真存真2.切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.对于某条直线

6、，从下列三个条件中任取对于某条直线，从下列三个条件中任取两个，可以推出第三个的有两个，可以推出第三个的有_.问题问题5：依据是切线的性质定理依据是切线的性质定理为什么？为什么？经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点.经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心.推论推论1:为什么？为什么？推论推论2:例例2:如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点上一点.AD和过和过C点的切线互相垂直，点的切线互相垂直，垂足为垂足为D.求证：求证：AC平分平分DAB.ABCDO练习练习1：如图，：如图，OA和和OB是是 O的半径，的

7、半径，并且并且OA OB，P是是OA上任意一点，上任意一点，BP的延长线交的延长线交 O于于Q.过过Q作作 O的切的切线交线交OA的延长线于的延长线于R.求证：求证：RP=RQ.ABOQRP例例3：从圆外一点：从圆外一点P引圆引圆O的两条切线的两条切线PA，PB，点，点A，B 为切点，求证：为切点，求证：(2)PO垂直平分线段垂直平分线段AB.(1)PO平分平分证明：证明：（1）连接）连接OA，OB，则，则 即即PO平分平分例例3：从圆外一点：从圆外一点P引圆引圆O的两条切线的两条切线PA，PB，点，点A，B 为切点，求证：为切点，求证：(2)PO垂直平分线段垂直平分线段AB.(1)PO平分平

8、分证明：证明：（2）由）由 得：得：又又 平分平分 ，由等腰三角形三线合一定理知，由等腰三角形三线合一定理知，所以所以 垂直平分线段垂直平分线段 从圆外一点向圆作切线，该点到切点间线从圆外一点向圆作切线，该点到切点间线段的长称为切线长段的长称为切线长.3.切线长的概念切线长的概念.4.切线长定理切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等.例例3：如图，：如图，与与 外切于点外切于点 ，一条外公切线分，一条外公切线分别切两圆于点别切两圆于点 ，求证：，求证：.Q证明：证明：因为两圆外切于点因为两圆外切于点P，所以点，所以点P在两圆的连心线在两圆的连心线

9、上上.所以，以所以，以AB为直径的圆经过点为直径的圆经过点P.故故过点过点P作作 ，交，交AB于点于点Q，则，则PQ是两圆的内公切线是两圆的内公切线.由切线长定理知：由切线长定理知：同理，同理，练习：如图，已知直角三角形的三条边长分别是练习：如图，已知直角三角形的三条边长分别是3,4,5，求其内切圆半径，求其内切圆半径r的值的值.推广：已知直角三角形的三条边长分别是推广：已知直角三角形的三条边长分别是a,b,c，(c为斜边长为斜边长)求其内切圆半径求其内切圆半径r的值（结果用的值（结果用a,b,c)表示表示.从特殊到一般从特殊到一般1.如图，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB相

10、切于 点D.求证：AC与O相切.ABCDO巩固训练巩固训练 2.如图，如图，AB是是 O的直径，直线的直径，直线BC是是 O的切线，切点为的切线，切点为B，且，且OC AD,AD是弦是弦.求证：求证：DC是是 O的切线的切线.ABOCD3.把两圆的外公切线夹在两切点间的线段把两圆的外公切线夹在两切点间的线段的长称为两圆外公切线的长，求证：外切的长称为两圆外公切线的长，求证：外切圆的外公切线的长等于内公切线夹在外公圆的外公切线的长等于内公切线夹在外公切线间的线段长切线间的线段长.T4.如图，如图，P是半圆是半圆O的直径的直径BC的延长线上一点，的延长线上一点，PA切半圆于点切半圆于点A，于点于点

11、H.若若PA=1，PB+PC=a（a2)，求，求PH的长的长.5.求证：相离两圆的内公切线夹在外公切求证：相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长线间的线段长等于两圆外公切线的长.6.如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，C是圆是圆O上的上的一点，过点一点，过点C的切线与过的切线与过A，B两点的切两点的切线分别交于点线分别交于点E,F，连接，连接AF与与BE交于点交于点P，求证：，求证：本节课小结本节课小结1.切线的判定定理切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点.经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心.推论推论1:推论推论2:3.切线长定理切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等.一一.本节课我们学习了哪些定理？本节课我们学习了哪些定理？二二.几何证明的一般原则是什么？几何证明的一般原则是什么？有理有据有理有据三三.本节课我们学习哪些数学思想与方法？本节课我们学习哪些数学思想与方法？数形结合数形结合以算代证以算代证反证法反证法从特殊到一般从特殊到一般