电路ch12非正弦周期电流电路和信号的频谱

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1、第 十 二 章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 电 路 中 的 激 励 信 号 周 期 信 号 非 周 期 信 号 正 弦 周 期 信 号非 正 弦 周 期 信 号 一 、 定 义 ： 12.1 非 正 弦 周 期 信 号按 非 正 弦 规 律 变 动 的 电 源 和 信 号二 、 常 见 的 非 正 弦 周 期 信 号 ： 音 频 信 号 、 脉 冲 信 号三 、 产 生 原 因 ： 电 路 和 元 件 的 非 线 性 ； 生 产 和 科 研 的 信 号 。四 、 非 正 弦 周 期 信 号 作 用 下 的 稳 态 解 -谐 波 分 析 法 ：1) 应 用 数 学 中 的 傅 里 叶 级 数

2、 展 开 方 法 ， 将 非 正 弦 周 期 激 励 电压 、 电 流 或 信 号 分 解 为 一 系 列 不 同 频 率 的 正 弦 量 之 和 ;2) 根 据 线 性 电 路 的 叠 加 定 理 ， 分 别 计 算 在 各 个 正 弦 量 单 独 作用 下 在 电 路 中 产 生 的 同 频 正 弦 电 流 分 量 和 电 压 分 量 ；3) 把 所 得 分 量 按 时 域 形 式 叠 加 ， 就 可 得 到 电 路 在 非 正 弦 周 期激 励 下 的 稳 态 电 流 和 电 压 。 12.2 周 期 函 数 分 解 为 傅 里 叶 级 数1. 三 角 函 数 形 式 ：式 中 ， T为

3、 周 期 函 数 f(t)的 周 期 ， k=0,1,2,3,当 周 期 信 号 满 足 狄 里 赫 利 条 件 ： 在 每 个 周 期 上 满 足 (1)连 续或 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ； (2) 有 有 限 个 极 值 点 ， 则 它 就 能展 开 成 一 个 收 敛 的 傅 里 叶 级 数 (此 时 它 是 三 角 级 数 )： kTtftf .tksinbtkcosa. tsinbtcosatsinbtcosaa)t(f kk 11 121211110 22 一 、 周 期 函 数 的 分 解对 周 期 性 的 信 号 ， 可 以 成 ： 1 110 k kk tks

4、inbtkcosaa ( 10-1 )式 中 1为 f(t)的 角 频 率 ， 1=2/T ( 10-1 )经 三 角 变 换 后 可 转 换 成 另 一 种 形 式 ： .tkcosA .tcosAtcosAA)t(f kkm mm 1 2121110 2 1 10 k kkm tkcosAA ( 10-1 )和 ( 10-2 )中 系 数 称 为 傅 里 叶 系 数 ， 各 系 数 关 系 为 ： 00 aA 22 kkkm baA kkmk cosAa kkmk sinAb kkk abarctan谐 波 分 析 ：式 ( 10-2 )中 第 1项 A0称 为 周 期 函 数 f(t)的

5、 恒 定 分 量 (或 直 流 分 量 )；上 式 第 2项 称 为 1次 谐 波 (或 基 波 分 量 )， 其 周 期 与 f(t)相 同 ；其 它 各 项 称 为 高 次 谐 波 ， 即 2次 、 3次 。 ( 10-2 ) 系 数 计 算 (也 可 通 过 查 表 (P287)得 出 )： dttfTdttfTa TTT 2200 11 tdtkcostftdtkcostf dttkcostfTdttkcostfTa TTTk 111120 12210 11 22 tdtksintftdtksintf dttksintfTdttksintfTb TTTk 111120 12210 11

6、 22 可 见 ， 一 个 周 期 函 数 可 以 展 开 成 三 角 级 数 形 式 。 这 种 数 学表 达 式 详 尽 ， 准 确 ， 但 不 直 观 。 2. 频 谱 图为 表 示 一 个 周 期 函 数 分 解 为 傅 里 叶 级 数 后 包 含 那 些 分 量 以及 各 分 量 所 占 比 重 ， 用 长 度 和 各 次 谐 波 振 幅 大 小 相 对 应的 线 段 ， 按 频 率 的 高 低 顺 序 把 它 们 依 次 排 列 起 来 ， 所 得 到的 图 形 ， 称 为 频 谱 图 。 因 只 表 示 各 谐 波 分 量 的 振 幅 ， 所 以称 为 贴 身 睛 度 频 谱 。

7、 由 于 各 谐 波 的 角 频 率 是 1的 整 数 倍 ，所 以 这 种 频 谱 是 离 散 的 。Akm 1 21 3141 51 k1O 二 、 利 用 函 数 波 形 的 对 称 化 简 系 数周 期 函 数 常 常 具 有 对 称 性 ， 其 傅 里 叶 级 数 中 不 含 某 些 谐 波 ，利 用 函 数 的 对 称 性 ， 可 使 系 数 a0、 ak、 bk的 确 定 简 化 。1. 偶 函 数 tftf tO2T 2Tf(t) tO2T 2Tf(t)偶 函 数 有 纵 轴 对 称 的 特 点 ， 即对 所 有 的 k， b k=0 dttkcostfTa Tk 1204 此

8、 时 1 10 k k tkcosaatf 2. 奇 函 数 tftf 奇 函 数 有 原 点 对 称 的 特 点 ， 即对 所 有 的 k， a k=0 tO2T 2Tf(t) tO2T 2Tf(t) dttksintfTb Tk 1204 此 时 1 1k k tksinbtf 3. 奇 谐 波 函 数 2Ttftf奇 谐 波 函 数 有 镜 对 称 的 特 点 ， 具 有 这 种 性 质 的 函 数 的 正 半波 无 论 是 后 移 或 前 移 半 个 周 期 都 与 负 半 波 互 成 镜 像 。 其 数学 表 达 式 为对 所 有 的 k， a 2k= b2k=0 a0=0 tO 2

9、Tf(t) T不 包 含 直 流 分 量 和 偶 次 谐 波 分 量 。 4. 函 数 的 对 称 性 与 计 时 起 点 的 关 系在 傅 里 叶 级 数 中 ， Akm与 计 时 起 点 无 关 ， 而 k与 计 时 起 点有 关 ， 由 于 系 数 ak和 bk与 初 相 k有 关 ， 所 以 它 们 也 随 计 时起 点 变 动 而 变 动 。由 于 系 数 ak和 bk与 初 相 k有 关 ， 所 以 函 数 的 奇 偶 性 质 就 可能 与 计 时 起 点 的 选 择 有 关 ， 如 方 波 函 数 的 波 形 ， 就 可 因 选择 的 起 点 不 同 ， 函 数 的 奇 偶 性

10、质 也 不 同 。 奇 谐 波 函 数 与 计时 起 点 无 关 。 因 此 对 某 些 周 期 性 函 数 可 以 适 当 选 择 计 时 起点 ， 使 它 成 为 奇 函 数 或 偶 函 数 ， 以 便 简 化 傅 里 叶 的 系 数 计算 。 12.3 有 效 值 、 平 均 值 、 平 均 功 率设 一 非 正 弦 周 期 电 流 i 可 以 分 解 为 傅 里 叶 级 数一 、 有 效 值任 一 周 期 信 号 f(t) 的 有 效 值 F定 义 为 ： 1 10 k kkm tkcosIIi T dttfTF 0 21def将 i 带 入 有 效 值 公 式 T k kkm dtt

11、kcosIITI 0 21 101 求 得 i 的 有 效 值 为 ： 1 220222120 k kII.IIII即 非 正 弦 周 期 电 流 的 有 效 值 等 于 恒 定 分 量 的 平 方 与 各 谐波 有 效 值 的 平 方 之 和 平 方 根 。 依 此 可 求 得 正 弦 电 流 的 平 均 值 为二 、 平 均 值任 一 周 期 电 流 i 在 电 工 中 的 平 均 值 Iav定 义 为 ： 40 4004 41 Tm TmT mav tsinTI dttcosTIdttcosITI Tav dtiTI 01def I.I. m 89806370 因 为 取 电 流 的 绝

12、 对 值 相 当 于 把 负 半 周 的 值 变 为 对 应 的 正值 ， 所 以 其 平 均 值 相 当 于 正 弦 电 流 经 全 波 整 流 后 的 平 均值 。 三 、 测 量 正 弦 周 期 信 号 的 有 关 量 时 ， 应 选 择 适 当 的 仪 表对 于 同 一 非 正 弦 周 期 电 流 ， 当 用 不 同 类 型 的 仪 表 进 行 测 量时 ， 会 得 到 不 同 的 结 果 。 用 磁 电 系 仪 表 (直 流 )仪 表 测 量 ，所 得 结 果 是 电 流 的 恒 定 分 量 ； 用 电 磁 系 仪 表 测 得 的 结 果 为电 流 的 有 效 值 ； 用 全 波 整

13、 流 仪 表 测 量 时 ， 所 得 结 果 为 电 流的 平 均 值 。 因 此 在 测 量 非 正 弦 周 期 电 流 和 电 压 时 ， 应 注 意选 择 合 适 的 仪 表 。 四 、 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 平 均 功 率任 意 一 端 口 的 瞬 时 功 率 (吸 收 )为 ： 1 101 10 k ikkmk ukkm tkcosIItkcosUUuip 平 均 功 率 (有 功 功 率 ) 为 ： T pdtTP 01则 有 ： .cosIU.cosIUcosIUIUP kkk 22211100式 中 ： ikukkkmkkmk ,II,UU 22即 平 均 功

14、 率 等 于 恒 定 分 量 构 成 的 功 率 和 各 次 谐 波 平 均 功率 的 代 数 和 。考 虑 非 同 频 的 电 压 谐 波 和 电 流 谐 波 只 形 成 瞬 时 功 率 而 不 形成 平 均 功 率 ， 12.4 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 计 算1. 将 给 定 的 非 正 弦 周 期 信 号 分 解 成 傅 里 叶 级 数 ， 看作 是 各 次 谐 波 串 联 的 结 果 ；非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 分 析 计 算 方 法 基 于 正 弦 交 流 电 路 的相 量 法 叠 加 定 理 ， 即 谐 波 分 析 法 ， 可 归 结 为 三 个 步

15、骤 ：2. 应 用 相 量 法 分 别 计 算 各 次 谐 波 单 独 作 用 时 所 产 生 的 响应 ；3. 应 用 叠 加 定 理 将 所 得 各 次 响 应 的 解 析 式 相 加 ， 得 到 用时 间 函 数 表 示 的 总 响 应 。 1. 电 感 、 电 容 元 件 对 不 同 频 率 的 谐 波 分 量 有 不 同 的 感 抗和 容 抗 ， 如 设 基 波 角 频 率 为 ， 对 k次 谐 波 有 ：在 计 算 时 注 意 ： 1kLLkXLk 111 CCk XkCkX 对 直 流 分 量 ， 电 感 视 作 短 路 ， 电 容 视 作 开 路 。2. 求 最 终 响 应 时

16、 ， 一 定 是 在 时 域 中 叠 加 各 次 谐 波 的 响 应 ，若 把 不 同 次 谐 波 正 弦 量 的 相 量 进 行 加 减 是 没 有 意 义 的 。3. 非 正 弦 周 期 电 压 、 电 流 、 平 均 功 率 与 各 次 谐 波 有 效 值和 平 均 功 率 的 关 系 为 ： .cosIU.cosIUcosIUIUP kkk 22211100 .IIII 222120 .UUUU 222120 例 12-2 。和 电 阻 吸 收 的 平 均 功 率求 电 流 。输 入 电 源 为，图 示 电 路 中 ， P9711572020 52828313474014110 459

17、C13R 11 111 1i V.tcos.tcos. tcos.tcos.tcos.u .s 解 ：则 电 路 中 的 电 流 相 量 表 达 式 为 ： +-us i R C CkjR UI kSmkm 11 式 中 ， Im(k)为 k次 谐 波 电 流 的 振 幅 。 根 据 叠 加 定 理 ，按 k=0,1,2顺 序 ， 逐 一 求 解 ：已 知 1为 基 波 频 率 ， 设 k为 谐 波 次 数 ， 作 用 下 ， 响 应 为即 在 基 波时 ，当 V.k Sm 04141U 1 1 +-us i R C 响 应时 ，当 013473 3 V.Uk Sm 当 k=0时 ， 即 直

18、流 分 量 U0=11V作 用 下 ， 电 容 相 当 于 开 路 ， 电 感 相 当 于 短 路 ， 则 I0=0， P0=0 A.A.j V.Im 397226144593 041411 A.tcos.i 39722614 11 W.RIP m 0230521 2 11 A.A.j V.Im 44683101533 013473 A.tcos.i 44638310 13 W.RIP m 9317521 2 33 W.P,A.Im 52952132987 55 同 理 求 得 ： W.P,A.Im 55562324146 77 W.P,A.Im 60362919944 99 最 后 按 时

19、域 形 式 叠 加 ： A.tcos.tcos. .tcos.tcos.i 2324714621325987 4463831039722614 11 11 W.P.PPPP 806699310 分 析 ： 从 本 例 可 看 出 ， us各 次 谐 波 的 振 幅 与 k成 反 比 衰 减 ， 电路 输 入 阻 抗 的 虚 部 也 与 k成 反 比 减 小 ， 所 以 各 次 谐 波 的 电 流 振幅 误 差 非 常 缓 慢 。 例 12-3 波 分 量 。求 负 载 两 端 电 压 的 各 谐 。正 弦 全 波 整 流 波 形 。 设 为负 载 电 阻，图 示 电 路 中 ， VU,s/ra

20、d,HL m 157314 u,2kR F10C 5 1 s 解 ： 从 表 12-1中 查 得 us的 傅 里 叶 级 数 为 ： .tcostcosus 11 4151231211574 +-us RCL us 1t 2OUm 用 结 点 电 压 法 有 ： ，次 谐 波 的 复 振 幅 相 量 为设 负 载 两 端 电 压 的 第 kmUk 1 例 12-3 波 分 量 。求 负 载 两 端 电 压 的 各 谐 。正 弦 全 波 整 流 波 形 。 设 为负 载 电 阻，图 示 电 路 中 ， VU,s/rad,HL m 157314 u,2kR F10C 5 1 s 解 ： kSmkm

21、 ULjkUCjkRLjk 1111 111 +-us RCL us 1t 2OUm 11 111 LjkCjkR UU kSmkm 将 k=0,2,4.代 入 ， 可 求 得 ： U0=100V V.U m 53321 V.U m 171041 例 12-3 波 分 量 。求 负 载 两 端 电 压 的 各 谐 。正 弦 全 波 整 流 波 形 。 设 为负 载 电 阻，图 示 电 路 中 ， VU,s/rad,HL m 157314 u,2kR F10C 5 1 s 分 析 ： +-us RCL us 1t 2OUm图 示 为 一 全 波 整 流 电 路 的 滤 波 电 路 。它 利 用 了 电 感 对 高 频 电 流 的 抑 制 作 用 ，电 容 对 高 频 电 流 的 分 流 作 用 ， 使 得 输入 电 压 中 的 2次 和 4次 谐 波 分 量 大 大 削 弱 ， 面 负 载 两 端 的 电 压 接 近 直 流 电 压 。 U0=100V V.U m 53321 V.U m 171041