建筑环境测试技术第二章测量误差和数据处理

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1、第二章 测量误差和数据处理第 一 节 测 量 误 差 的 来 源第 二 节 随 机 误 差 分 析第 三 节 系 统 误 差 分 析第 四 节 误 差 的 合 成 、 间 接 测 量 的 误 差 传 递 与 分 配第 五 节 测 量 数 据 的 处 理 难 点 重 点v 正 态 分 布 的 标 准 差 、 近 似 标 准 差 （ 贝 塞尔 公 式 ）v 直 接 测 量 的 数 学 表 达 式v 误 差 的 合 成v 间 接 测 量 误 差 的 传 递 第 一 节 测 量 误 差 的 来 源v 1 仪 器 误 差v 2 人 员 误 差v 3 环 境 误 差v 4 方 法 误 差 N(t)Ax N

2、(t)AxN(t)Ax N(t)Ax只 有 随 机 误 差 累 进 系 统 误 差恒 定 系 统 误 差 周 期 性 系 统 误 差 第 二 节 随 机 误 差 分 析 就 单 次 测 量 而 言 ， 随 机 误 差 没 有 规 律 ，但 当 测 量 次 数 足 够 多 时 ， 则 服 从 正 态 分布 规 律 ， 随 机 误 差 的 特 点 为 对 称 性 、 有界 性 、 单 峰 性 、 抵 偿 性 。 f() 问 题 测 量 总 是 存 在 误 差 ， 而 且 误 差 究 竟等 于 多 少 难 以 确 定 ， 那 么 ， 从 测 量值 如 何 得 到 真 实 值 呢 ？ 例 如 ， 测

3、量 室 温 ， 6次 测 量 结 果 分 别 为19.2 ,19.3 ,19.0 ,19.0 ,22.3 ,19.5 ,那 么 室 温 究 竟 是 多 少 呢 ？ x=A ， 置 信 概 率 为 p x的 真 值 落 在 A-， A+区 间 内 的 概 率 为 p。 A和 如 何 确 定 呢 ？ 一 测 量 值 的 数 学 期 望 和 标 准 差1 数 学 期 望 对 被 测 量 x进 行 等 精 度 n次 测 量 ， 得 到 n个 测 量 值 x1， x2， x3， ， xn。 则 n个测 得 值 的 算 术 平 均 值 为 ： ni in xx 11 当 测 量 次 数 时 ， 样 本 平

4、 均 值 的极 限 定 义 为 测 得 值 的 数 学 期 望 。 ni innx xE 11lim Ax ii nAxni ini i 11v当 测 量 次 数 时 ， 测 量 值 的数 学 期 望 等 于 被 测 量 的 真 值 。n n ?分 析 ： 根 据 随 机 误 差 的 抵 偿 特 性 ， 当 时 =0， 即ni i1 xni inni i ExAnAx 111 n所 以 ， 当 测 量 次 数 时 ， 测量 值 的 数 学 期 望 等 于 被 测 量 的 真 值 。n nAxni ini i 111 1 1n ni i xni ix nA A x E 2 剩 余 误 差 （ 残

5、 差 ） 当 进 行 有 限 次 测 量 时 ， 测 得 值 与 算 术 平均 值 之 差 。 数 学 表 达 式 ： xxv ii 0 11111 ni inni ini ini i xnxxnxv对 上 式 两 边 求 和 得 ：所 以 可 得 剩 余 误 差 得 代 数 和 为 0。 011111 ni inni ini ini i xnxxnxv 11111 ni inni ini ini i ni innni xinn Ex 1 211 212 limlim )( 4 标 准 差 （ 标 准 误 差 ， 均 方 根 误 差 ） 对 方 差 开 平 方 。 ni inn 1 21lim

6、 反 映 了 测 量 的 精 密 度 ， 小 表 示 精密 度 高 ， 测 得 值 集 中 ， 大 ， 表 示 精密 度 底 ， 测 得 值 分 散 。 3. 方 差 f( ) 二 随 机 误 差 的 正 态 分 布 分 析1 正 态 分 布 高 斯 于 1809年 推 导 出 描 述 随 机 误 差 统计 特 性 的 解 析 方 程 式 ， 称 高 斯 分 布 规 律 。 22221)( ef 随 机 误 差标 准 误 差曲 线 下 面 的 面 积 对 应 误 差 在 不 同 区 间出 现 的 概 率 。 例 如 ： )()( bapdfba 1)()( pdf %3.68)()( pdf

7、f( ) )()( bapdfba )()( bapdfba %3.68)()( pdff 从 正 态 分 布 曲 线 可 看 出 ： 绝 对 值 越 小 ， 愈 大 ， 说 明 绝 对值 小 的 误 差 出 现 的 概 率 大 。 大 小 相 等 符 号 相 反 的 误 差 出 现 的 概 率相 等 。 f( ) )(f 愈 小 ， 正 态 分 布 曲 线 愈 尖 锐 ， 愈大 ， 正 态 分 布 曲 线 愈 平 缓 。 说 明 反 映了 测 量 的 精 密 度 。 =1 =2 2 极 限 误 差 从 上 式 可 见 ， 随 机 误 差 绝 对 值 大 于 3的 概 率 很 小 ， 只 有

8、0.3%， 出 现 的 可 能 性很 小 。 因 此 定 义 ： %7.99)33()(33 pdf 3 3 随 机 误 差 的 特 点单 峰 性 误 差 绝 对 值 越 小 ， 出 现 密 度 越大 ， 误 差 绝 对 值 越 大 ， 出 现 密 度 越 小对 称 性 绝 对 值 相 同 ， 符 号 相 反 的 误 差出 现 的 概 率 相 等抵 偿 性 当 测 量 次 数 n时 ， 误 差 总 和为 零有 界 性 误 差 落 -3, 3的 概 率 为0.9973 3也 称 为 极 限 误 差 或 者 误 差 限 3 贝 塞 尔 公 式v 采 用 残 差 代 替 随 机 误 差v 有 限 次

9、 测 量 标 准 误 差 的 最 佳 估 计 值 （ 近 似 标 准 误 差 ） ni inn 1 21lim 标 准 差 （ 标 准 误 差 ， 均 方 根 误 差 ） ： ni ivn 1 211 贝 塞 尔 公 式 算 术 平 均 值 的 标 准 差平 均 值 标 准 误 差 的 最 佳 估 计 值 （ 近 似 平 均 值 标 准 误 差 ） 21 1 ( 1) n ix i vn nn 1 1 lim( ), m xj xm j xm n ni ix vnnn 1 2)1( 1/ 三 有 限 次 测 量 下 测 量 结 果 表 达 式步 骤 ：1） 列 出 测 量 数 据 表 ；2）

10、计 算 算 术 平 均 值 、 、 ；x iv 2iv3） 计 算 和 ； x 置 信 概 率 0.9973 xx 3 xx xx 2 置 信 概 率 0.9545置 信 概 率 0.68274） 给 出 最 终 测 量 结 果 表 达 式 ： 第 三 节 系 统 误 差 分 析 N(t)Ax N(t)Ax N(t)Ax累 进 系 统 误 差 恒 定 系 统 误 差周 期 性 系 统 误 差一 、 分 类 ： 恒 定 系 统 误 差 变 化 系 统 误 差 二 、 系 统 误 差 的 判 断1 理 论 分 析 法 ， 可 通 过 对 测 量 方 法 的 定性 分 析 发 现 测 量 方 法 或

11、 测 量 原 理 引 入 的系 统 误 差 。2 校 准 和 比 对 法 ： 测 量 仪 器 定 期 进 行 校准 或 检 定 并 在 检 定 书 中 给 出 修 正 值 。3 改 变 测 量 条 件 法 ： 根 据 在 不 同 的 测 量条 件 下 测 得 的 数 据 进 行 比 较 ， 可 能 发 现系 统 误 差 。4 剩 余 误 差 观 察 法 ： 根 据 测 量 数 据 列 剩余 误 差 的 大 小 及 符 号 变 化 规 律 可 判 断 有无 系 统 误 差 及 误 差 类 型 ， 这 种 方 法 不 能发 现 定 值 系 统 误 差 。 三 消 除 系 统 误 差 产 生 的 根

12、 源要 减 少 系 统 误 差 要 注 意 以 下 几 个 方 面 。v 1 采 用 的 测 量 方 法 及 原 理 正 确 。v 2 选 用 的 仪 器 仪 表 的 类 型 正 确 ， 准 确度 满 足 要 求 。v 3 测 量 仪 器 应 定 期 校 准 、 检 定 ， 测 量前 要 调 零 ， 应 按 照 操 作 规 程 正 确 使 用 仪器 。 对 于 精 密 测 量 必 要 时 要 采 取 稳 压 、恒 温 、 电 磁 屏 蔽 等 措 施 。 v 4 条 件 许 可 ， 尽 量 采 用 数 显 仪 器 。v 5 提 高 操 作 人 员 的 操 作 水 平 及 技 能 。 四 削 弱

13、系 统 误 差 的 方 法1 零 示 法 : 2 替 代 法 （ 置 换 法 ） ： 在 测 量 条 件 不 变的 情 况 下 ， 用 一 标 准 已 知 量 替 代 待 测 量 ，通 过 调 整 标 准 量 使 仪 器 示 值 不 变 ， 于 是标 准 量 的 值 等 于 被 测 量 。这 两 种 方 法 主 要 用 来 消 除 定 值 系 统 误 差 。 3 利 用 修 正 值 或 修 正 因 数 加 以 消 除 。4 随 机 化 处 理5 智 能 仪 器 中 系 统 误 差 的 消 除（ 1） 直 流 零 位 校 准 。（ 2） 自 动 校 准 。 第 四 节 误 差 的 合 成 、 间

14、 接 测 量 的 误差 传 递 与 分 配一 误 差 合 成 由 多 个 不 同 类 型 的 单 项 误 差 求 测 量 中 的总 误 差 是 误 差 合 成 问 题 。1、 随 机 误 差 合 成 若 测 量 结 果 中 有 k个 彼 此 独 立 的 随 机 误 差 ， 各个 随 机 误 差 互 不 相 关 ， 各 个 随 机 误 差 的 标 准方 差 分 别 为 1、 2、 3、 、 k则 随 机 误差 合 成 的 总 标 准 差 为 ： ki i1 2 若 以 极 限 误 差 表 示 ， 则 合 成 的 极 限 误差 为 ： ki ill 1 2 当 随 机 误 差 服 从 正 态 分

15、布 时 ， 对 应 的 极限 误 差 。 iil 3 2、 系 统 误 差 的 合 成（ 1） 确 定 的 系 统 误 差 的 合 成 又 称 已 定 系 统 误 差 ， 是 指 测 量 误 差 的 大小 、 方 向 和 变 化 规 律 是 可 以 掌 握 的 。 只要 是 已 定 的 系 统 误 差 ， 都 应 当 用 代 数 的方 法 计 算 其 合 成 误 差 。表 达 式 ： mi im 121 由 于 所 得 结 果 是 明 确 大 小 和 方 向 的 数 值 ，故 可 直 接 在 测 量 结 果 中 修 正 ， 在 一 般 情况 下 最 后 测 量 结 果 不 应 含 有 已 定

16、系 统 误差 的 内 容 。 （ 2） 不 确 定 系 统 误 差 的 合 成 不 确 定 系 统 误 差 又 称 未 定 系 统 误 差 ， 指 测 量误 差 既 具 有 系 统 误 差 可 知 的 一 面 ， 又 具 有 不可 预 测 的 随 机 误 差 一 面 。 在 通 常 情 况 下 ， 未定 系 统 误 差 多 以 极 限 误 差 的 形 式 给 出 误 差 的最 大 变 化 范 围 。 绝 对 值 合 成 法 ：当 m大 于 10时 ， 合 成 误 差 估 计 值 往 往 偏 大 。一 般 应 用 于 m小 于 10。 mi im 121 )( 表 达 式 ： (2)方 和 根

17、合 成 法一 般 应 用 于 m大 于 10。 mi ikm 1 22221 表 达 式 ：例 5：0.5级 ， 量 程 0600kPa， 分 度值 2kPa， h=0.05m， 读 数300kPa， 指 针 来 回 摆 动 1个格 ， 环 境 温 度 30C， 偏 离 1C的 附 加 误 差 为 基 本 误 差 的 4%。 仪 表 精 度 等 级 引 起 的 误 差 ： kpa3)600%5.0()(1 mj Lp 读 数 误 差 （ 即 分 度 误 差 ） 2kpa 2p kpa2.6)2.123( p kpa2.1%43103 p环 境 温 度 引 起 误 差 ： kpa5.010100

18、005.04 ghp 安 装 位 置 引 起 的 误 差 ：前 三 项 属 于 未 定 系 统 误 差 ， 最 后 一 项属 于 已 定 系 统 误 差 。前 三 项 按 绝 对 值 合 成 法 ：300.5 6.2kPaP 3 随 机 误 差 与 系 统 误 差 的 合 成 其 中 为 已 定 系 统 误 差 ， e为 未 定 系 统 误差 ， l为 随 机 误 差 的 极 限 误 差 。 le 二 间 接 测 量 的 误 差 传 递研 究 函 数 误 差 一 般 有 以 下 三 个 内 容 ： 已 知 函 数 关 系 及 各 个 测 量 值 的 误 差 ，求 函 数 即 间 接 测 量 的

19、 误 差 。 已 知 函 数 关 系 及 函 数 的 总 误 差 ， 分 配各 个 测 量 值 的 误 差 。 确 定 最 佳 测 量 条 件 ， 使 函 数 误 差 达 到最 小 。 1 函 数 误 差 传 递 的 基 本 公 式 假 设 间 接 测 量 的 数 学 表 达 式 为 ：将 上 式 按 泰 勒 级 数 展 开 ),( 21 nxxxfy 直 接 测 量 值间 接 测 量 值 nnn xxfxxfxxfxxxfyy 221121 ),( 2222222221212 212121 nn xxfxxfxxf 略 去 高 阶 项绝 对 误 差 ： ni iinn xxfxxfxxfxx

20、fy 12211 ni iinn yxxfyxxfyxxfyxxfyy 12211 相 对 误 差 ： 2 系 统 误 差 的 函 数 传 递 当 系 统 误 差 为 已 定 系 统 误 差 时 将 各 直 接测 量 的 系 统 误 差 代 入 上 式 计 算 即 可 。 当系 统 误 差 为 未 定 系 统 误 差 ， 当 各 分 项 数小 于 10可 采 用 绝 对 和 法 ， 当 各 分 项 数 大于 10可 采 用 方 和 根 法 。绝 对 和 法 ： ni ii xxfy 1方 和 根 法 ： ni ii xxfy 1 22 （ 1） 和 差 函 数 的 误 差 传 递 设 ， 则

21、绝 对 误 差21 xxy 21 xxy 21 xxy 221 221 1221 22121 1121 21 1 xxy xx xxx xxxx xxxxx xxxx xxyy 2 21 221 1221 22121 1121 21 1 xxy xx xxx xxxx xxxxx xxxx xxyy 若 误 差 符 号 不 确 定 ：相 对 误 差 ： 1 21 2f fy x xx x （ 2） 积 函 数 误 差 传 递 设 ， 则 绝 对 误 差21 xxy 2112 xxxxy 2121 2112 xxy xx xxxxyy 21 xxy 若 误 差 符 号 不 确 定 ： 相 对 误

22、 差 ：1 21 2f fy x xx x （ 3） 商 函 数 误 差 传 递设 ， 则 绝 对 误 差21xxy 2221121 xxxxxy 21 xxy yy 相 对 误 差 ： 21 xxy 若 误 差 符 号 不 确 定 ： 1 21 2f fy x xx x （ 4） 幂 函 数 的 误 差 传 递 设 ， 则 绝 对 误 差nm xkxy 21 21211211 xxknxxxkmxy nmm 21 xxy nmyy 相 对 误 差 ： 21 xxy nm 若 误 差 符 号 不 确 定 ： 例 6： 已 知 ： R1=1k ， R2=2 k ， ， ，求 。 %51 R %5

23、2 R21 RRR R %5 21 21 221 1 RRR RR RRR R 解 ：结 论 ： 相 对 误 差 相 同 的 电 阻 串 联 后 总 电 阻 的相 对 误 差 保 持 不 变 。 %521 21 221 1 RRR RR RRR R 1 25% 5%1 2 1 例 7： 温 度 表 量 程 为 100 ， 精 度 等 级 1级 ， t1=65 ， t2=60 ， 计 算 温 差 的 相对 误 差 。解 1： 1%1100 mt 1 211 2 22 40%5m mt t tt t 解 ： 11 t ttmt t 1 1 1.5%65t 2 1 1.7%60t 1 265 60

24、39.9%65 60 65 60t t t 1 265 39.9%65 60t t t 例 8： 已 知 ， ， ， ， 求 。RtIQ 2%2i %1R %5.0t Q %5.52 tRiQ解 ： 3 随 机 误 差 的 函 数 传 递),( 21 nxxxfy 已 知 各 个 直 接 测 量 的 标 准 误差 ， ， ， 则 1x 2x nx ni xixnxxy in xfxfxfxf 1 2222222221 21 n ini xixnxxy Dxfxfxfxf in 1 21 2222222221 21 部 分 误 差 ii xifD x ni xixnxxy yxfyxfyxfyx

25、fy in 1 2222222221 21 ni xixnxxy yxfyxfyxfyxfy in 1 2222222221 21 相 对 误 差 三 间 接 测 量 的 误 差 分 配解 决 误 差 分 配 问 题 。 通 常 采 取 的 方 法 为 等 作 用 原 则 ， 调 整 原 则 。所 谓 等 作 用 原 则 ， 即 假 设 各 直 接 测 量 的部 分 误 差 相 等 D1=D2=Dn ynD 1按 照 等 作 用 原 则 进 行 误 差 分 配 并 不 合 理 ， 主 要原 因 ， 在 实 际 应 用 中 ， 有 些 量 达 到 高 精 度 测 量比 较 困 难 ， 要 付 出

26、 很 高 代 价 ， 而 有 些 则 相 对 较容 易 。 故 需 要 根 据 实 际 情 况 进 行 调 整 。2 21ny iD nD 2 21ny iD nD 例 9： 散 热 器 装 置 ： ， 设 计工 况 L=50L/h， 进 出 口 温 差 。 )( 21 ttcLQ 25t 22222122 21 QtfQtfQLfQ ttLQ %1022 222122 21 QtfQtfQLfQ ttLQ按 照 题 意 ， 误 差 应 写 成 极 限 误 差 的 形 式 。 即 分 析 ： 直 接 测 量 为 流 量 L， 散 热 器 进 出 口温 度 t1、 t2。 间 接 测 量 为 热

27、 量 Q。 要 求 测量 误 差 小 于 等 于 10%。 按 照 等 作 用 原 则 ， 可 得 流 量 及 温 差 的 部分 误 差 分 别 为 7.1%。 再 根 据 实 际 情 况 选 择 调 整 。 211 22212221 2221 12 tt ttLLtt ttt tLL 第 五 节 测 量 数 据 的 处 理一 有 效 数 字 的 处 理1 有 效 数 字 ： 从 数 字 的 左 边 第 一 个 不 为 零 的 数字 起 ， 到 右 面 最 后 一 个 数 字 （ 包 括 零 ） 止 。2 舍 入 原 则 ： 小 于 5舍 ， 大 于 5入 ， 等 于 5时 采 取偶 数 法

28、则 。 12.5写 作 12； 13.5写 作 143有 效 数 字 的 运 算 规 则 ： 运 算 时 各 个 数 据 保 留 的位 数 一 般 以 精 度 最 差 的 那 一 项 为 基 准 。 加 减 法运 算 以 小 数 点 后 位 数 最 少 的 为 准 。 乘 除 法 运 算以 有 效 数 字 位 数 最 少 的 数 为 准 。 乘 方 、 开 方 运算 结 果 比 原 数 多 保 留 一 位 有 效 数 字 。 二 等 精 度 测 量 结 果 的 处 理 处 理 步 骤 ：1） 利 用 修 正 值 等 方 法 对 测 得 值 进 行 修 正 ；将 数 据 列 成 表 格 。3）

29、列 出 残 差 ： ， 并 验 证xxv ii 01 ni iv ni in xx 112） 求 算 术 平 均 值 ： ni ivn 1 2114） 计 算 标 准 偏 差 ： 5） 按 照 原 则 判 断 测 量 数 据 是 否含 有 粗 差 ， 若 有 则 予 以 剔 除 并 转 到 2从新 计 算 ， 直 到 没 有 坏 值 为 止 。3iv nx 6） 根 据 残 差 的 变 化 趋 势 判 断 是 否 含 有 系统 误 差 ， 若 有 应 查 明 原 因 ， 消 除 后 从 新测 量 。7） 求 算 术 平 均 值 的 标 准 偏 差 ： xxx 38） 写 出 最 终 结 果 表

30、 达 式 。 例 题 使 用 某 水 银 玻 璃 棒 温 度 计 测 量 室 温 ， 共进 行 了 16次 等 精 度 测 量 ， 测 量 结 果 列 于表 中 。 该 温 度 计 的 检 定 书 上 指 出 该 温 度计 具 有 0.05 的 恒 定 系 统 误 差 。 请 写 出最 后 的 测 量 结 果 。 例 题 解 答 （ 1）N x i x i v i v i 2 vi (v i )21 205.35 205.30 0.00 0.0000 0.09 0.00812 204.99 204.94 -0.36 0.1296 -0.27 0.07293 205.68 205.63 0.33

31、 0.1089 0.42 0.17644 205.29 205.24 -0.06 0.0036 0.03 0.0009 5 206.70 206.65 1.35 1.8225 坏 值6 205.02 204.97 -0.33 0.1089 -0.24 0.05767 205.41 205.36 0.06 0.0036 0.15 0.02258 205.21 205.16 -0.14 0.0196 -0.05 0.00259 205.76 205.71 0.41 0.1681 0.50 0.2500 10 204.75 204.70 -0.60 0.3600 -0.51 0.260111 204

32、.91 204.86 -0.44 0.1936 -0.35 0.122512 205.40 205.35 0.05 0.0025 0.14 0.019613 205.26 205.21 -0.09 0.0081 0.00 0.000014 205.24 205.19 -0.11 0.0121 -0.02 0.0004 15 205.26 205.21 -0.09 0.0081 0.00 0.000016 205.37 205.32 0.02 0.0004 0.11 0.0121计 算 值 v i=0 v i =0 例 题 解 答 （ 2）1. 判 断 是 否 存 在 粗 大 误 差2. 修 正

33、 恒 定 系 统 误 差3. 求 出 算 术 平 均 值 ， 205.304. 计 算 残 差 ， 列 于 表 中5. 计 算 标 准 偏 差 （ 最 佳 估 计 值 ）6. 判 断 有 无 坏 值 ， 剔 除 坏 值 。7. 重 新 计 算 残 差 ， 列 于 表 中 。8. 重 新 计 算 标 准 偏 差 。9. 对 残 差 做 图 ， 判 断 有 无 系 统 误 差 。10.计 算 算 术 平 均 值 的 标 准 偏 差 （ 最 佳 估 计 值 ） 。11.写 出 测 量 结 果 例 题 解 答 （ 3） -0.6-0.4 -0.20 0.20.4 0.6 1 3 5 7 9 11 13

34、 15 作业11.某 蒸 汽 供 热 系 统 的 蒸 汽 压 力 控 制 指 标 为1.5Mpa， 要 求 指 示 误 差 不 大 于+0.05Mpa， 现 用 一 只 刻 度 范 围 为 02.5Mpa， 精 度 等 级 为 2.5级 的 压 力 表 ，是 否 满 足 使 用 要 求 ？ 为 什 么 ？ 应 选 用 什么 级 别 的 仪 表 ？2.测 量 孔 板 内 径 得 测 量 数 据 为 ： 25.34，25.45， 24.97， 24.86， 25.23， 24.89，25.06， 24.91， 25.13（ 单 位 mm） ，试 求 孔 板 的 真 实 内 径 。 3.采 用 仪

35、表 精 度 等 级 均 为 1级 的 表 间 接 测 量 电 阻上 消 耗 的 功 率 。 采 用 以 下 三 种 方 法 测 量 ， 分别 计 算 功 率 的 相 对 误 差 ， 再 比 较 讨 论 。（ 1） 测 量 电 流 I和 电 压 V。（ 2） 测 量 电 阻 R和 电 流 I。（ 3） 测 量 电 阻 R和 电 压 V。 4.采 用 毕 托 管 测 管 道 内 流 速 ， 总 压 和 静 压 的 测量 值 分 别 为 （ 单 位 ： Kpa） 总 压 P为 ： 150.1，150.4， 151.1， 151.3， 150.8， 151.9。 静 压Pj为 ： 113.1， 112.0， 113.8， 112.9， 113.3，112.5。 密 度 =1000kg/m 3， 根 据 流 速 公 式 ，求 流 速 的 最 优 概 值 并 估 计 其 误 差 。 )(2 PjPV