九章节假设检验续

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1、九章节假设检验续 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、一致最优功效检验一、一致最优功效检验 设统计模型为设统计模型为 ，考虑检验问题考虑检验问题对这个一般的假设检验问题给出最优检验的定对这个一般的假设检验问题给出最优检验的定义如下：义如下：定义定义9.1 在检验问题在检验问题(7)中，中，的检验，的检验，有有不等式不等式(Uniformly Most Powerful Test)一致最优功效检验一致最优功效检验，简记为简记为UMPT。对所有的对所有的

2、 都成立，都成立，对复合假设检验而言，对复合假设检验而言，UMPT的存在性不的存在性不但与总体的分布有关，但与总体的分布有关，而且与所考虑的假设检而且与所考虑的假设检验问题有关。验问题有关。为了说明问题，为了说明问题，我们先看下面两个我们先看下面两个例子。例子。例例9.1的简单样本。的简单样本。求检验问题求检验问题解解由例由例8.1可知，可知，检验问题检验问题水平为水平为 的最优功效检验具有拒绝域的最优功效检验具有拒绝域或检验函数或检验函数它显然也它显然也是检验问题是检验问题(9)的水平为的水平为 的检验。的检验。又由于又由于是检验问题是检验问题(9)的水平为的水平为 的的MPT，所以对任意所

3、以对任意给定的给定的有有都有都有由此例可知对简单原假设对简单备择假设检由此例可知对简单原假设对简单备择假设检如果如果MPT不依赖于备择假设的参数，不依赖于备择假设的参数，验问题，验问题，则则可适当扩大备择假设，可适当扩大备择假设，并由并由MPT获得获得UMPT。这这扩大了扩大了N-P引理的应用范围。引理的应用范围。例例9.2的简单样本，的简单样本，试证明检验问题试证明检验问题证明证明反证法反证法假设所考虑检验问题的水平为假设所考虑检验问题的水平为的的UMPT是是 ，有有则对任何水平为则对任何水平为 的检验的检验因此有因此有特别地，特别地，根据根据N-P引理知引理知 具体具体表示式为表示式为此时

4、此时MPT 的功效为的功效为由分布函数的非减性知，由分布函数的非减性知，单调增函数，单调增函数，这与这与(9)矛盾，矛盾，故结论成立。故结论成立。我们将我们将N-P引理应用这个例子，引理应用这个例子，对检验问题对检验问题而对检验问题而对检验问题这说明对检验问题这说明对检验问题相应相应MPT的拒绝域与备择假设有关，的拒绝域与备择假设有关，因此一致因此一致最优功效检验最优功效检验(UMPT)就不一定存在。就不一定存在。那么在什那么在什么情况下么情况下UMPT存在？存在？若存在，如何来求？若存在，如何来求？为为了方便我们将检验问题分成单边检验问题和双边了方便我们将检验问题分成单边检验问题和双边检验问

5、题：检验问题：双边检验双边检验问题问题并分别进行讨论。并分别进行讨论。（一）单边假设检验（一）单边假设检验从例从例9.1可知，可知，在有些情况下，在有些情况下，关于单边假设检关于单边假设检验问题验问题存在存在UMPT。但一般来说对单边检验问题，但一般来说对单边检验问题，由于由于MPT依赖于参数的备选值，依赖于参数的备选值，所以所以UMPT可以不存在。可以不存在。那么在什么情况下那么在什么情况下UMPT存在及如何求呢？存在及如何求呢？我们我们有下面的判断定理。有下面的判断定理。定理定理9.1率率)是单参数的并可表示为是单参数的并可表示为函数，函数，则对单边检验问题则对单边检验问题(1)其检验函数

6、为其检验函数为水平为水平为 的的UMPT存在，存在，（10）其中常数其中常数 和和 有下式确定有下式确定(2)的增函数。的增函数。注意：注意：有关这个定理的详细证明可参看有关这个定理的详细证明可参看Bickel P.J.Mathematical Statistics -Basic Ideas and Selected Topics(1)的确定方法可参看的确定方法可参看N-P引理的注。引理的注。如果定理中的如果定理中的 是是 的的严格单减函数严格单减函数，则则定理的结论同样成立，定理的结论同样成立，只需要将只需要将(10)中的不中的不等号改变方向等号改变方向。(2)(3)对假设检验问题对假设检验

7、问题则定理则定理8.1的结论全部成立。的结论全部成立。(4)对假设检验问题对假设检验问题和假设检验问题和假设检验问题可以分别化为假设检验问题可以分别化为假设检验问题同样可以使用定理同样可以使用定理8.1来求来求UMPT。和假设检验问题和假设检验问题例例9.3分布，分布，设某种设备的寿命服从参数为设某种设备的寿命服从参数为 的指数的指数即密度函数为即密度函数为我们想知道这种类型的设备的平均寿命我们想知道这种类型的设备的平均寿命 是否是否大于大于 ，即所考虑假设检验问题为即所考虑假设检验问题为现抽取现抽取 个此类设备进行试验直到设备不能正个此类设备进行试验直到设备不能正解解常工作为止，常工作为止，

8、并记录其寿命分别为并记录其寿命分别为样本的联合密度函数为样本的联合密度函数为令令则假设检验问题变为则假设检验问题变为可改写为可改写为这样这样的拒绝域为的拒绝域为由定理由定理9.1可知水平为可知水平为 的的UMPT单调增函数，单调增函数，(连续随机变量连续随机变量)其中其中 满足满足因此只要求出因此只要求出 的分布，的分布，就可确定常数就可确定常数 ，留留作课后习题。作课后习题。例例9.4设设 是来自正态总体是来自正态总体的简单样本，的简单样本，其中其中 是未知参数。是未知参数。试求检验问试求检验问题题的水平为的水平为 的的UMPT。解解样本的联合密度函数为样本的联合密度函数为(11)即即这样这

9、样格单调增函数，格单调增函数，所以有定理所以有定理9.1对检验问题对检验问题(11)而言，而言，UMPT存在。存在。由于由于 是连续随机变量，是连续随机变量，水平为水平为 的的UMPT的检验函数为的检验函数为其中其中 常数由下式确定常数由下式确定又由于当又由于当 时，时，再由再由 相互独立性可得相互独立性可得所以所以从而从而可可得得 ，故所求的检验问题的水平为故所求的检验问题的水平为 的的UMPT的拒绝域为的拒绝域为（二）双边假设检验（二）双边假设检验这里仅讨论假设检验问题这里仅讨论假设检验问题的的UMPT的存在性及求法，的存在性及求法，至于另两类双边假设至于另两类双边假设检验问题留在后面讨论

10、。检验问题留在后面讨论。定理定理9.2率率)是单参数的并可表示为是单参数的并可表示为(12)函数，函数，则对双边检验问题则对双边检验问题(12)，存在水平为存在水平为的的UMPT,其检验函数为其检验函数为其中四个常数其中四个常数 由下式确定由下式确定二、一致最优功效无偏检验二、一致最优功效无偏检验 对另外两类双边假设检验问题对另外两类双边假设检验问题和和即使样本的联合密度函数即使样本的联合密度函数(或分布率或分布率)(单参数单参数)具具有定理有定理9.1和定理和定理9.2中的常见表达式，中的常见表达式，关于这两关于这两类检验问题的类检验问题的UMPT也不存在。也不存在。实际上例实际上例9.2早

11、早已说明了这一事实。已说明了这一事实。(13)(14)既然对上述两类检验问题不存在既然对上述两类检验问题不存在UMPT，哪哪如何处理呢？如何处理呢？象估计问题一样，象估计问题一样，自然是对检验提自然是对检验提出某种合适的要求，出某种合适的要求，然后在满足这种特定要求的然后在满足这种特定要求的较小的检验类中寻找最优的检验，较小的检验类中寻找最优的检验，其中一种简单其中一种简单的要求就是所谓的无偏性。的要求就是所谓的无偏性。定义定义9.2设设 是假设检验问题是假设检验问题的检验函数，的检验函数，若其功效函数若其功效函数 满满足条件足条件则称则称 为水平为为水平为 的的无偏检验无偏检验。(Unbia

12、sed Test)显然，显然，水平为水平为 的的UMPT一定是无偏检验。一定是无偏检验。定义定义9.3 在检验问题在检验问题中，中，若存在一个水平为若存在一个水平为 的无偏检验的无偏检验 ，使得使得对任一水平为对任一水平为 的无偏检验的无偏检验 ，不等式不等式对所有的对所有的 都成立，都成立，则称检验则称检验 是水平是水平简记为简记为UMPUT。为为 的的一致最优功效无偏检验一致最优功效无偏检验，(Uniformly Most Powerful Unbiased Test)对某些检验问题，对某些检验问题，虽然不存在虽然不存在UMPT，但存但存在在UMPUT，例如对上面提到的两类双边检验问例如对

13、上面提到的两类双边检验问题，题，就存在就存在UMPUT。UMPUT存在性及如何构存在性及如何构造归结为如下两个定理。造归结为如下两个定理。定理定理9.3率率)是单参数的并可表示为是单参数的并可表示为函数，函数，则对双边检验问题则对双边检验问题(14)和任一水平和任一水平存在存在UMPUT,其检验函数为其检验函数为其中四个常数其中四个常数 由下式确定由下式确定定理定理9.4率率)是单参数的并可表示为是单参数的并可表示为函数，函数，则对双边检验问题则对双边检验问题(13)和任一水平和任一水平存在存在UMPUT,其检验函数为其检验函数为其中四个常数其中四个常数 由下面两个式子确定由下面两个式子确定例

14、例9.5设设 是来自正态总体是来自正态总体 的的简单样本，简单样本，其中其中 是未知参数。是未知参数。试求检验问题试求检验问题的水平为的水平为 的的UMPUT。解解 样本的联合密度函数为样本的联合密度函数为这样这样增函数。增函数。又由于又由于所以由所以由定理定理9.4知水平为知水平为 的的UMPUT存在，存在，其检验函数其检验函数为为其中其中 满足满足所以由第一所以由第一式可得式可得由于被积函数是奇函数，由于被积函数是奇函数，将将 代入第二式可得代入第二式可得所以只有当所以只有当（15）时上式才能成立。时上式才能成立。这样分布的对称性及这样分布的对称性及(15)式可式可即即再由再由 可得可得 故水平为故水平为的的UMPUT的拒绝域为的拒绝域为得得这说明初等假设检验中有关方差已知的正态总体这说明初等假设检验中有关方差已知的正态总体均值的均值的u检验是检验是UMPUT。以上仅讨论单参数情形下如何构造最优检验，以上仅讨论单参数情形下如何构造最优检验，关于多参数的情形也有有关的最优检验的构造方关于多参数的情形也有有关的最优检验的构造方法就不涉及。法就不涉及。若感兴趣，若感兴趣，可参看可参看茆诗松茆诗松等编著的等编著的高等数理统计学高等数理统计学。