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1、2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF射线OB(1).例题应用：.如图1所示，在ABC中，NABC=3ZC, AD是NBAC的平分线，BE丄AD于F。.已知：如图2,在MBC中，ZBAC的角平分线AD交BC于D, 且AB二AD, 作CM丄AD交AD的延长线于M.求证：AM =丄(AB + AC)2分析：此题很多同学可能想到延长线段CM,但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题 突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CEAB交AM的延长线于点E.例题变形:如图，4 = Z2 , B为AC的中点，CM丄
2、FB于M, AN丄FB于N.=2 BM;FB = 2( FM + FN).求证：.模型巩固:练习一、如图3,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90, BD平分ZABC交 AC于点D, CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。练习一变形:如图4,在AODC中，ZD = 900, EC是SCO的角平分线且0丄CE ,过点E作EF丄OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.图4练习二、如图5,已知 ABC中，CE平分ZACB,且AE丄CE, ZAED+ZCAE= 180度, 求证：DEBC练习三、如图6, AD丄DC, BC丄DC, E是DC上一点，AE平分ZDA
3、B, BE平分ZABC, 求证：点E是DC中点。DEC图6AE丄CE,垂足分别是D、E,连接DE.求证：DE BC,DE = 2( AB + BC + AC)图 7(a)图 7(b)图 7(c)练习四、如图7 (a).BD、CE分别是AABC的外角平分线，过点A作AD丄BD、如图7 (b),BD、CE分别是AABC的内角平分线，其他条件不变;、如图7(c), BD为AABC的内角平分线，CE为AABC的外角平分线，其他条件不变则在图7 (b)、图6 (c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与AABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行
4、)练习五、如图8,在直角三角形ABC中，ZC = 90。，ZA的平分线交BC于D .自C作 CG丄AB交AD于E，交AB于G .自D作DF丄AB于F，求证：CF丄DE .练习六、如图9所示，在AABC中，AC AB , M为BC的中点，AD是ZBAC的平分线， 若CF丄AD且交AD的延长线于F，求证MF = 2 (AC - AB)-图9练习六变形一：如图10所示，AD是AABC中ZBAC的外角平分线，CD丄AD于D , E是 1BC 的中点，求证DE AB 且DE = -(AB + AC) 2图 10练习六变形二：如图11所示，在AABC中，AD平分ZBAC , AD = AB, CM丄AD于M, 求证 AB + AC = 2AM .图 11练习七、如图12，在AABC中，ZB = 2ZC， ZBAC的平分线AD交BC与D .则有 AB + BD = AC .那么如图 13,已知在 AABC 中，ZABC = 3ZC，Z1 = Z2，BE 丄 AE .求证：AC AB = 2BE .图 12图 13练习八、在AABC中，AB = 3AC , ABAC的平分线交BC于D，过B作BE丄AD, E为垂 足，求证：AD = DE.C练习九、AD是AABC的角平分线，BE丄AD交AD的延长线于E , EF AC交AB于F. 求证：AF = FB .C
角平分线加垂线
