全电容回路和全电感割集上海交通大学

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1、电路基础电路基础第六章第六章 动态电路的复频域分析动态电路的复频域分析上海交通大学本科学位课程上海交通大学本科学位课程2欧姆定律的运算形式：欧姆定律的运算形式：运算阻抗（导纳）运算阻抗（导纳）在零状态下在零状态下 在在零状态情况下零状态情况下的运算形式和符号形式是一样的，只的运算形式和符号形式是一样的，只要将要将sj或或js 即可。即可。从以上情况看，直流电阻电路中的公式与复频域中的公从以上情况看，直流电阻电路中的公式与复频域中的公式，在形式上完全一样。因此，可以很自然地想到，式，在形式上完全一样。因此，可以很自然地想到，和符号电路一样，在直流电阻电路中的方法都能用到和符号电路一样，在直流电阻

2、电路中的方法都能用到复频域的分析中来。复频域的分析中来。6.2 6.2 用拉氏变换求解电路响应用拉氏变换求解电路响应3电路分析方法的运算形式电路分析方法的运算形式 节点分析节点分析 其中其中 Yn为节点运算导纳矩阵，为节点运算导纳矩阵，Un为节点电压列向量，为节点电压列向量，Ins 为为节点初始值列向量，节点初始值列向量，An为节点为节点原原始值列向量，元素始值列向量，元素ai 由电容由电容电压电压CuC(0-)及电感电流及电感电流 iL(0-)/s所决定，上述矩阵或列向量所决定，上述矩阵或列向量诸元素均为诸元素均为s 的函数。的函数。网孔分析网孔分析 其中其中 Zm为网孔运算阻抗矩阵，为网孔

3、运算阻抗矩阵，Im为网孔电流列向量，为网孔电流列向量，Ums为网为网孔电压源列向量，孔电压源列向量，Bm为网孔原始值列向量，元素为网孔原始值列向量，元素bi 由电感电由电感电流流LiL(0-)及电容电压及电容电压uC(0-)/s所决定，这些矩阵或列向量诸元所决定，这些矩阵或列向量诸元素都是素都是s的函数。的函数。6.2 6.2 用拉氏变换求解电路响应用拉氏变换求解电路响应4回路分析回路分析 割集分析割集分析 戴维宁定理戴维宁定理 在直流电阻在直流电阻电路电路中的中的电路电路定理，也适用于复频域定理，也适用于复频域 其中其中Zeq(s)是双零条件下是双零条件下(独立源置零，原始状态置零独立源置零

4、，原始状态置零)的等值运的等值运算阻抗，受控源保留，算阻抗，受控源保留，Uoc(s)是独立源和原始状态共同作用下的是独立源和原始状态共同作用下的端口开路电压。端口开路电压。6.2 6.2 用拉氏变换求解电路响应用拉氏变换求解电路响应5网络函数的分类网络函数的分类 1、驱动点函数驱动点函数 驱动点阻抗函数驱动点阻抗函数 驱动点导纳函数驱动点导纳函数 6.3 6.3 网络函数网络函数网络函数的定义网络函数的定义 62、转移函数转移函数转移阻抗函数转移阻抗函数 转移电流比转移电流比(电流放大倍数电流放大倍数)转移导纳函数转移导纳函数 转移电压比转移电压比(电压放大倍数电压放大倍数)6.3 6.3 网

5、络函数网络函数(分类分类)7 已知已知电路电路具有具有n+1个节点，电流源接于个节点，电流源接于i 节点和参考节点之节点和参考节点之间，求间，求 j 节点电压的节点方程节点电压的节点方程 全响应全响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应 其中其中n(s)=detYn(s)，ij(s)为其代数余子式为其代数余子式 6.3 6.3 网络函数网络函数(基本性质基本性质)网络函数的基本性质网络函数的基本性质 8 节点运算导纳矩阵节点运算导纳矩阵Yn(s)的元素是由的元素是由G,sC,1/sL等组成等组成(如有受控源如有受控源,还还可能包括可能包括gm)这些元素都是实数这些元素都是实数 一定

6、是一定是s的实系数多项式之比的实系数多项式之比 初态为零时，零状态响应初态为零时，零状态响应 其中其中P(s)，Q(s)，分别为分别为s的实系数多项式的实系数多项式 6.3 6.3 网络函数网络函数(基本性质基本性质)9P(s),Q(s),分别为分别为s的实系数多项式的实系数多项式 网络函数的这一性质，使它具有如下形式网络函数的这一性质，使它具有如下形式任一网络函数只由任一网络函数只由电路电路本身的结构和元件参数所决定，本身的结构和元件参数所决定，与激励函数无关。与激励函数无关。任一网络函数都是复变量任一网络函数都是复变量s s 的实系数有限函数的实系数有限函数(是两个是两个实系数多项式之比实

7、系数多项式之比)。6.3 6.3 网络函数网络函数(基本性质基本性质)10 式中式中k=bm/an是一个实比例因子是一个实比例因子,zi 是分子多项式的零点，是分子多项式的零点，当当 s=zi 时，时，H(s)为零，称为网络函数的零点，为零，称为网络函数的零点，pj 是分母是分母多项式的零点，当多项式的零点，当s=pj 时，时，H(s)为无穷大，称为函数的为无穷大，称为函数的极点。极点。6.3 6.3 网络函数网络函数(基本性质基本性质)11 若用若用N(s)表示网络函数，用表示网络函数，用H(s)表示冲表示冲激激响应的响应的 即即H(s)=h(t)，其中，其中h(t)是是电路电路在冲在冲激激

8、信号信号(t)的作用的作用下产生的零状态响应，那么根据网络函数定义有下产生的零状态响应，那么根据网络函数定义有或者说或者说 -1H(s)=-1N(s)=h(t)总之，网络函数等于冲总之，网络函数等于冲激激响应的响应的，冲，冲激激响应就等于网络响应就等于网络函数的函数的 反变换。反变换。6.3 6.3 网络函数网络函数(和冲激响应和冲激响应 )网络函数和冲激响应网络函数和冲激响应 12 电路电路的性质取决于的性质取决于电路电路本身的结构和参数，冲本身的结构和参数，冲激激响应响应实为实为 t 0的零输入响应，又是网络函数的的零输入响应，又是网络函数的 反变换。反变换。因此，完全可以通过对网络函数极

9、点的分析来判定因此，完全可以通过对网络函数极点的分析来判定电电路路的性质。的性质。若网络函数的极点全部在若网络函数的极点全部在 s 的开左半平面上，则冲激的开左半平面上，则冲激响应随时间的增长趋于零，响应随时间的增长趋于零，电路电路是渐近稳定的，因为是渐近稳定的，因为在这种情况下在这种情况下h(t)=-1H(s)=k1e-1tcos(1t+1)+k2e-2tcos(2t+2)+其中其中 i0,i=1,2,6.3 6.3 网络函数网络函数(和冲激响应和冲激响应 )13若网络函数的极点有一个若网络函数的极点有一个(实极点实极点)或一对或一对(共轭复极点共轭复极点)在在s的开右半平面上，则冲的开右半

10、平面上，则冲激激响应随时间的增长趋于响应随时间的增长趋于,电电路路是不稳定的，冲是不稳定的，冲激激响应中含响应中含 k1e1tcos(1t+1)或或 k2e2t 若网络函数有位于若网络函数有位于j 轴的多重极点轴的多重极点,则无论其它极点位则无论其它极点位置如何，冲置如何，冲激激响应都将随时间增长而趋无穷大，响应都将随时间增长而趋无穷大，电路电路是是不稳定的。因为与不稳定的。因为与j轴上多重极点相对应，冲轴上多重极点相对应，冲激激响应中响应中含有含有(k1+k2t+)cos(1t+1)6.3 6.3 网络函数网络函数(和冲激响应和冲激响应 )14若网络函数的极点全部在闭左半平面上，且位于若网络

11、函数的极点全部在闭左半平面上，且位于j轴上的极点都是单极点，则冲轴上的极点都是单极点，则冲激激响应随时间的增长响应随时间的增长趋于一恒定常量或等幅振荡，趋于一恒定常量或等幅振荡，电路电路是稳定的或振荡是稳定的或振荡的，与的，与j轴上的单极点相对应，冲轴上的单极点相对应，冲激激响应中含有响应中含有 k1cos(1t+1)因此，对于一个稳定因此，对于一个稳定电路电路来说，它的任何一个网络函来说，它的任何一个网络函数的极点都不得位于数的极点都不得位于s 的开右半平面上的开右半平面上,在在j轴上的极轴上的极点必须是一阶的点必须是一阶的(无重极点无重极点)。6.3 6.3 网络函数网络函数(和冲激响应和

12、冲激响应 )15对于一个渐近稳定对于一个渐近稳定电路电路来说，它的任何一个网络函数的来说，它的任何一个网络函数的极点都必须位于极点都必须位于s的开右半平面上。的开右半平面上。注意：同一对端钮的驱动点阻抗函数和导纳函数互为倒注意：同一对端钮的驱动点阻抗函数和导纳函数互为倒数，它们极零点互为倒置，因此，上面的结论也适用于数，它们极零点互为倒置，因此，上面的结论也适用于它们的零点。它们的零点。转移函数的零点则不受此限制。转移函数的零点则不受此限制。网络函数极点的实部、虚部网络函数极点的实部、虚部的变化与冲击响应的关系：的变化与冲击响应的关系：实部绝对值增大，衰减实部绝对值增大，衰减(增增长长)加快；

13、虚部绝对值增大加快；虚部绝对值增大,振荡频率增大。振荡频率增大。6.3 6.3 网络函数网络函数(和冲激响应和冲激响应 )16固有频率固有频率 网络函数是和零状态响应相联系的，固有频率是和零输网络函数是和零状态响应相联系的，固有频率是和零输入响应相联系的，固有频率反映了网络本身所具有的特入响应相联系的，固有频率反映了网络本身所具有的特性，是由网络本身的参数和结构所决定。但网络函数与性，是由网络本身的参数和结构所决定。但网络函数与固有频率并非毫无关系，通常由网络函数来确定固有频固有频率并非毫无关系，通常由网络函数来确定固有频率较为简便。率较为简便。17网络变量的固有频率网络变量的固有频率 在线性

14、定常电路中，网络变量在线性定常电路中，网络变量y的零输入响应方程的特征的零输入响应方程的特征方程的根方程的根si各不相同，则零输入响应各不相同，则零输入响应 称称si为网络变量为网络变量y的一阶固有频率。的一阶固有频率。若若s1为特征方程的为特征方程的3重根，则零输入响应中将含有重根，则零输入响应中将含有 零输入响应可表示为零输入响应可表示为 则称则称s1为网络变量为网络变量y的的3阶固有频率阶固有频率 18一般的零输入响应表达式为一般的零输入响应表达式为 称称si为网络变量为网络变量y的的ri阶固有频率。阶固有频率。网络变量的固有频率确定该变量零输入响应的性质网络变量的固有频率确定该变量零输

15、入响应的性质，从，从网络变量的固有频率也可知道网络是否稳定，主要看网络变量的固有频率也可知道网络是否稳定，主要看固有频率落在固有频率落在s平面上的位置，在开左半平面、开右半平面上的位置，在开左半平面、开右半平面，在虚轴上等，若在平面，在虚轴上等，若在j 轴上有高阶固有频率或在轴上有高阶固有频率或在右半平面上有固有频率，则网络是不稳定的，否则是右半平面上有固有频率，则网络是不稳定的，否则是稳定的。稳定的。19网络的固有频率网络的固有频率 网络中所有网络变量固有频率的集合，称网络中所有网络变量固有频率的集合，称网络的固有频率网络的固有频率，即网络中任一变量的固有频率都是网络的固有频率。即网络中任一

16、变量的固有频率都是网络的固有频率。已知节点分析方程为已知节点分析方程为 零输入响应节点方程零输入响应节点方程 其特征多项式其特征多项式n(s)=det Yn(s)=0的非零根就是网络的的非零根就是网络的非非零固有频率零固有频率，其中，其中Yn n(s)应是泛指的网络方程的系数矩阵，应是泛指的网络方程的系数矩阵，这种求网络固有频率的方法称系数矩阵法。这种求网络固有频率的方法称系数矩阵法。零输入响应零输入响应 其中其中 ij(s)Ai(s)为网络方程系数矩阵为网络方程系数矩阵Yn(s)的代数余子式。的代数余子式。20 若上式分子若上式分子ij(s)Ai(s)中正好有公因子和分母中的公因子中正好有公

17、因子和分母中的公因子(s-si)相除，则网络变量中就不出现固有频率相除，则网络变量中就不出现固有频率si，所以，所以，在某些情况下，网络中的不同网络变量具有不同的固有在某些情况下，网络中的不同网络变量具有不同的固有频率。频率。右图中右图中C1=C2=C3=1F，G1=G2=1S，设电容初始电压设电容初始电压vC1(0)=V10，vC2(0)=V20而而vC3(0)=V10-V20 由于由于C1，C2，C3构成回路，只有两个电容电压是独立的。构成回路，只有两个电容电压是独立的。零输入条件下的节点方程：零输入条件下的节点方程：2122零输入条件下的节点方程零输入条件下的节点方程 v1和和v2都有都

18、有-和和-1两两个固有频率个固有频率 v3只有只有-一个固有频率，一个固有频率，-1不是不是v3的固有频率，整个网络的固有频率，整个网络的固有频率集为的固有频率集为-，-1 23s1=-，s2=-1，结果与上相同。结果与上相同。24网络固有频率的个数网络固有频率的个数 如上所述，若如上所述，若si是网络的固有频率，则网络中是网络的固有频率，则网络中必有一个网络变量的零输入响应中含有必有一个网络变量的零输入响应中含有 其中其中ki 的值由网络的初始状态决定，因此，网络如的值由网络的初始状态决定，因此，网络如果有果有n个固有频率个固有频率(k阶固有频率算作阶固有频率算作k个固有频率个固有频率)，那

19、么就有那么就有n个积分常数个积分常数ki 需要由网络的初始状态决定。需要由网络的初始状态决定。为此，网络中必须有为此，网络中必须有n 个独立的具有初始状态的变量个独立的具有初始状态的变量(电容电压或电感电流电容电压或电感电流)，反之亦然。，反之亦然。25结论结论 网络的固有频率数网络的固有频率数=网络的独立储能元件数网络的独立储能元件数 （或独立状态变量数）（或独立状态变量数）这个数目也称网络的这个数目也称网络的复杂度复杂度 网络中影响网络变量网络中影响网络变量(电容电压或电感电流电容电压或电感电流)的独立性的因的独立性的因素：素：无源无源RLC网络网络 若网络中不含若网络中不含全电容回路全电

20、容回路(全部由电容或由全部由电容或由电容和独立电压源构成的回路电容和独立电压源构成的回路),则每个电容电压都是独立的，则每个电容电压都是独立的，如果含有一个全电容回路，其中将有一个电容电压受其它电如果含有一个全电容回路，其中将有一个电容电压受其它电容电压的约束或电压源的制约。因此，如果网络中有容电压的约束或电压源的制约。因此，如果网络中有nC个电个电容元件，同时含有容元件，同时含有lC个相互独立的全电容回路，则独立电容个相互独立的全电容回路，则独立电容电压数电压数=nC-lC 26 如果网络中不含如果网络中不含全电感割集全电感割集(全部由电感或由电感和独立电全部由电感或由电感和独立电流源构成的

21、割集流源构成的割集)则每个电感电流都是独立的，如果含有则每个电感电流都是独立的，如果含有一个全电感割集，其中将有一个电感电流受其它电感电流一个全电感割集，其中将有一个电感电流受其它电感电流的约束或受电流源的制约。所以，如果网络中有的约束或受电流源的制约。所以，如果网络中有nL个电感个电感元件，同时含有元件，同时含有qL个全电感割集，则独立电感电流数个全电感割集，则独立电感电流数=nL-qL 因此，无源因此，无源RLC网络中，网络的复杂度，即网络固有网络中，网络的复杂度，即网络固有频率个数为：频率个数为：n=nC+nL-lC-qL 前面例题中，有三个电容，且构前面例题中，有三个电容，且构成了一个

22、全电容回路，所以网络成了一个全电容回路，所以网络的复杂度为的复杂度为2 27有源网络有源网络 网络中含有受控源或负值网络中含有受控源或负值RLC元件，称有源网元件，称有源网络。在有源网络中，全电容回路和全电感割集，络。在有源网络中，全电容回路和全电感割集，仍然对电容电压和电感电流施加约束。另外，受仍然对电容电压和电感电流施加约束。另外，受控源和负值元件的作用也可能产生对电容电压和控源和负值元件的作用也可能产生对电容电压和电感电流的约束。这种约束只有当网络元件取某电感电流的约束。这种约束只有当网络元件取某一特定数值时才产生。一特定数值时才产生。28例例 节点分析节点分析 (Cs+G)VC(s)=

23、CvC(0-)-IC(s)如果如果=-1 则则VC(s)=0 没有固有频率。没有固有频率。其中其中IC(s)=CsVC(s)-CvC(0-)如果如果-1则有一个固有频率则有一个固有频率 29 总之，无论在无源网络中还是在有源网络总之，无论在无源网络中还是在有源网络中，中，网络固有频率网络固有频率的个数至多等于网络中的个数至多等于网络中储能元件的总数，而就某一网络变量来说，储能元件的总数，而就某一网络变量来说，其固有频率可能还要少些。值得指出，除其固有频率可能还要少些。值得指出，除某些特殊网络以外，在大多数网络中，不某些特殊网络以外，在大多数网络中，不同的网络变量都具有相同的固有频率，这同的网络

24、变量都具有相同的固有频率，这样，样，网络变量的固有频率网络变量的固有频率和网络的固有频和网络的固有频率也就没有什么区别了。率也就没有什么区别了。30零固有频率零固有频率 当网络某网络变量的零输入响应中含有当网络某网络变量的零输入响应中含有ke0t=k，即常数项，即常数项，称为零固有频率。称为零固有频率。网络中出现零固有频率，就是网络变量的零输入响应中网络中出现零固有频率，就是网络变量的零输入响应中含有常数项。若该网络变量是电流的话，即电流是常含有常数项。若该网络变量是电流的话，即电流是常量的话，只能想到电感。电感上的电压量的话，只能想到电感。电感上的电压 因此，因此，纯电感组成的回路纯电感组成

25、的回路满足这一情况。所以全电感满足这一情况。所以全电感回路电流的零输入响应中可有常数项。回路电流的零输入响应中可有常数项。31 若该网络变量电压，即电压是常量的话，也只能想到电若该网络变量电压，即电压是常量的话，也只能想到电容。电容中的电流容。电容中的电流 则组成割集的纯电容中没有电流流过，而可能有恒则组成割集的纯电容中没有电流流过，而可能有恒定的电压在电容上。所以定的电压在电容上。所以纯电容割集电压纯电容割集电压的零输入响应的零输入响应中可以有常数项。中可以有常数项。至于电感，除了其两端的电压恒为零的情况外，不至于电感，除了其两端的电压恒为零的情况外，不可能是常量或为零。可能是常量或为零。3

26、2 网络中出现网络中出现零固有频率零固有频率只有以下两种情况才有可能：只有以下两种情况才有可能：全电容割集全电容割集(全部由电容或由电容和独立电流源构成的割全部由电容或由电容和独立电流源构成的割集集)全电感回路全电感回路(全部由电感或由电感和独立电压源构全部由电感或由电感和独立电压源构 成的成的回路回路)33全电感回路中的恒定电流可以是其初始状态，也全电感回路中的恒定电流可以是其初始状态，也可以是与其构成回路的电压源在置零前提供的，可以是与其构成回路的电压源在置零前提供的，全电容割集的恒定电压可以是其初始状态，也可全电容割集的恒定电压可以是其初始状态，也可以是与其构成割集的电流源在置零前提供的

27、。以是与其构成割集的电流源在置零前提供的。如果网络中含有如果网络中含有qC个全电容割集和个全电容割集和lL个全电感回路，则个全电感回路，则网络的零固有频率数网络的零固有频率数n0=qC+lL 在进行网络分析时，如能事先对网络的固有频率和网络在进行网络分析时，如能事先对网络的固有频率和网络变量的固有频率作出判断，有时会对分析求解带来方便。变量的固有频率作出判断，有时会对分析求解带来方便。如网络具有某种对称性如网络具有某种对称性(例题中含三个电容的例子、电桥例题中含三个电容的例子、电桥平衡电路平衡电路)时，网络变量的固有频率可能不同；网络中具时，网络变量的固有频率可能不同；网络中具有零固有频率时，各网络变量的固有频率也不完全相同。有零固有频率时，各网络变量的固有频率也不完全相同。