2023年2007-全国初中数学联赛分类汇编6 几何解答题 人教新课标版.doc

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1、用心 爱心 专心 1 2007-2012 年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编 6-几何解答题 1、如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N.证明：AFN=DME.（2007）证明 设MN与EF交于点P，NE/BC，PNEPBC，PCPEPBPN,PCPNPEPB.又ME/BF，PMEPBF，PFPEPBPM,PFPMPEPB.PFPMPCPN,故PFPCPNPM 又FPN=MPE，PNF PMC，PNF PMC，NF/MC ANF EDM.又ME/BF，FAN MED.ANF FAN E

2、DM MED，AFN=DME.2 如图，圆O与圆D相交于,A B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.（2008）解 （1）连,OA OB OC AC，因为O为圆心，ABBC，所以OBAOBC，从而OBAOBC 因为,ODAB DBBC，所以 9090DOBOBAOBCDBO ，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC.设2ACy(0)ya，OEx，ABl，则222axy，()Sy ax，22222222()2222()aSlyaxyaax

3、xaaxa axy.因为22ABCOBAOABBDO ,ABBC,DBDO，所以BDOABC，所以BDBOABAC，即2raly，故2alry.A B C D E F M N P 用心 爱心 专心 2 所以2 2223222()4422a laaSSaSryyyy，即22Sr，其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S.3设 CD是直角三角形 ABC的斜边 AD上的高，1I、2I分别是ADC、BDC的内心，AC 3，BC 4，求1I2I.（2009）解 作1IEAB于 E，2IFAB于 F.在直角三角形 ABC中，AC 3，BC 4，22AB=AC+BC5.

4、又 CD AB，由射影定理可得2AC9A D=AB5，故16BD=ABAD5，2212CD=ACAD5.因为1IE为直角三角形 ACD的内切圆的半径，所以1I E13(ADCDAC)25 连接 D1I、D2I，则 D1I、D2I分别是ADC和BDC的平分线，所以1IDC 1IDA 2IDC 2IDB 45，故1ID2I90，所以1ID2ID，1113I E3 25DIsinADIsin 455.同理，可求得24I F5，24 2DI5.所以1I2I2212DIDI2.FEI1I2DBAC上且证明点在圆的圆周上设的面积为求圆的的半径的最小值解连因为为圆心所以从而因为所以所以因此点在圆的圆周这时是

5、圆的直径所以圆的的半径的最小值为设是直角三角形的斜边上的高分别是的内心求解作于于在直角三角形中又知中边上的高线与的两条内角平分线分别交于两点的中点分别为求证解因为是的平分线所以又因为所以因此又又是的用心 爱心 专心 3 4 已知ABC中，ACB 90，AB边上的高线 CH与ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于 P、Q两点.PM、QN的中点分别为 E、F.求证：EFAB.（2009）解 因为 BN是ABC的平分线，所以ABNCBN.又因为 CH AB，所以 CQNBQH90ABN90CBNCNB ，因此CQNC.又 F是 QN的中点，所以 CFQN，所以CFB90CHB ，因此 C、F、H

6、、B四点共圆.又FBH=FBC，所以 FCFH，故点 F在 CH的中垂线上.同理可证，点 E在 CH的中垂线上.因此 EFCH.又 AB CH，所以 EFAB.5、已知等腰三角形ABC中，AB AC，C的平分线与 AB边交于点 P，M为ABC的内切圆I 与 BC边的切点，作 MD/AC，交I 于点 D.证明：PD是I 的切线.（2010）证明 过点 P作I 的切线 PQ（切点为 Q）并延长，交 BC于点 N.因为 CP为ACB的平分线，所以ACP BCP.又因为 PA、PQ均为I 的切线，所以APC NPC.又 CP公共，所以ACPNCP，所以PAC PNC.由 NM QN，BA BC，所以Q

7、NM BAC，故NMQ ACB，所以 MQ/AC 又因为 MD/AC，所以 MD和 MQ为同一条直线.又点 Q、D均在I 上，所以点 Q和点 D重合，故 PD是I 的切线.6如图，在四边形ABCD中，已知60BAD，90ABC，120BCD，对角线BDAC,交于点S，且SBDS2，P为AC的中点求证：（1）30PBD；（2）DCAD（2011）证明（1）由已知得 90ADC，从而DCBA,四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心 作BDPM 于点M，知M为BD的中点，所以BPMFQEPHNMACBNQIPCAMBNMSDCPAB上且证明点在圆的圆周上设的面积为求圆的的半径的最小值解连因为为圆心所以

8、从而因为所以所以因此点在圆的圆周这时是圆的直径所以圆的的半径的最小值为设是直角三角形的斜边上的高分别是的内心求解作于于在直角三角形中又知中边上的高线与的两条内角平分线分别交于两点的中点分别为求证解因为是的平分线所以又因为所以因此又又是的用心 爱心 专心 4 12BPD60A ，从而30PBM （2）作BPSN 于点N，则12SNSB 又BDMBDMSBDS21,2，SNSBSBSBDMDSMS21232，Rt PMSRtPNS，30NPSMPS，又PBPA，所 以1152PABNPS ，故DCADAC45，所 以DCAD 7如图，已知P为锐角ABC内一点，过P分别作ABACBC,的垂线，垂足分

9、别为FED,，BM为ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N 如果PFPEPD，求证：CN是ACB的平分线（2011）证明 如图 1，作BCMM1于点1M，ABMM2于点2M，BCNN 1于点1N，ACNN2于点2N 设NMNP，11/MMPDNN，111MNDN 若11MMNN，如图 2，作1MMNH，分别交PDMM,1于点1,HH，则1NPHNMH，NMNPMHPH1，MHPH1，111NNMHHHPHPD11111)1()(NNMMNNNNMM 若11MMNN，则1111)1(NNMMMMNNPD N2N1M1M2DEFNMCBAPH1HN1M1DNMP上且证明点在圆的圆周上设的面积为求

10、圆的的半径的最小值解连因为为圆心所以从而因为所以所以因此点在圆的圆周这时是圆的直径所以圆的的半径的最小值为设是直角三角形的斜边上的高分别是的内心求解作于于在直角三角形中又知中边上的高线与的两条内角平分线分别交于两点的中点分别为求证解因为是的平分线所以又因为所以因此又又是的用心 爱心 专心 5 若11MMNN，同理可证11)1(NNMMPD 2/NNPE，12NMPMNNPE，2)1(NNPE 2/MMPF，NMNPMMPF2，2MMPF 又PFPEPD，2211)1()1(NNMMNNMM 又因为BM是ABC的平分线，所以12MMMM，21)1()1(NNNN 显然1，即01，21NNNN，C

11、N是ACB的平分线 8如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，AD OP于点 D.证明：2ADBD CD.（2012）证明：连接 OA，OB，OC.OA AP，AD OP，由射影定理可得2PAPD PO，2ADPD OD.又由切割线定理可得2PAPB PC，PB PCPD PO，D、B、C、O四点共圆，PDB PCO OBC ODC，PBD COD，PBD COD，PDBDCDOD，2ADPD ODBD CD.DPOABC上且证明点在圆的圆周上设的面积为求圆的的半径的最小值解连因为为圆心所以从而因为所以所以因此点在圆的圆周这时是圆的直径所以圆的的半径的最小值为设是直角三角形的斜边上的高分别是的内心求解作于于在直角三角形中又知中边上的高线与的两条内角平分线分别交于两点的中点分别为求证解因为是的平分线所以又因为所以因此又又是的