第4章静态电磁场边值问题的解法

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1、第四章 静态电磁场边值问题的解法三类边值问题三类边值问题镜像法镜像法分离变量法分离变量法无限大导体平面的镜像法无限大导体平面的镜像法无限大介质分界面的镜像法无限大介质分界面的镜像法电轴法电轴法直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法一一.静态电磁场静态电磁场第一节第一节 三类边值问题三类边值问题 静态电磁场问题中最重要的是静态电磁场的位静态电磁场问题中最重要的是静态电磁场的位函函数方程数方程以及求解位函数必需的以及求解位函数必需的边界条件边界条件。1.静电场静电场静电场、恒流电场、恒流磁场统称静

2、电场、恒流电场、恒流磁场统称静态电磁场。静态电磁场。2.恒流电场恒流电场3.恒流磁场恒流磁场 标量磁位标量磁位 矢量磁位矢量磁位二二.三类边值问题三类边值问题第一类边值问题：第一类边值问题：给定所有边界位函数之值。给定所有边界位函数之值。第二类边值问题：第二类边值问题：给定所有边界上位函数沿外法给定所有边界上位函数沿外法线方向的偏导数值。线方向的偏导数值。第三类边值问题：第三类边值问题：给定部分场域边界上位函数之值，给定部分场域边界上位函数之值，及其余边界上位函数沿边界外法向的偏导数的值。及其余边界上位函数沿边界外法向的偏导数的值。第二节第二节 镜像法镜像法v 唯一性定理唯一性定理 在静态电磁

3、场问题的求解中，往往在静态电磁场问题的求解中，往往使用不同的方法，只要所得的解能使用不同的方法，只要所得的解能满足位函数方程满足位函数方程（泊（泊松方程或拉普拉斯方程）又能松方程或拉普拉斯方程）又能满足给定的边界条件满足给定的边界条件，那，那么这个解就是唯一正确的解。么这个解就是唯一正确的解。v 镜像法镜像法1）保持求解区域中电荷分布不变，介质分布不变，把保持求解区域中电荷分布不变，介质分布不变，把原分区域均匀介质空间看成全部均匀的介质空间；原分区域均匀介质空间看成全部均匀的介质空间；2）用求解区域外虚设的简单电荷来代替实际边界上复用求解区域外虚设的简单电荷来代替实际边界上复杂的分布电荷；杂的

4、分布电荷；只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理，生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理，这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置，这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置，故称故称镜像法镜像法。（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）一一.无限大导体平面的镜像法无限大导体平面的镜像法 若导电平面上方有若导电平面上方有N N 个电荷，个电荷，则只需在其镜像位置放则只需在其镜像位置放N N 个镜像个镜像电荷即可。电荷即可。（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）空间任一点空间任一点Q点电位

5、为：点电位为：二二.无限大介质分界平面的镜像法无限大介质分界平面的镜像法上上半半空空间间下下半半空空间间上半空间电势为上半空间电势为下半空间电势为下半空间电势为即即 中的电场是由中的电场是由 与与 共同产共同产生，其有效区在上半空间，生，其有效区在上半空间，是等效是等效替代极化电荷的影响。替代极化电荷的影响。中的电场是由中的电场是由 与与 决定，决定，其有效区在下半空间，其有效区在下半空间，是等效替是等效替代极化电荷的作用。代极化电荷的作用。三三.电轴法电轴法以以 y y 轴为参考点轴为参考点,C=C=0,0,则则等位线方程为：等位线方程为：圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径 当当K K 取不同数值

6、时取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的就得到一族偏心圆。且每个圆的半径半径 ，圆心位置，圆心位置 和电轴位置和电轴位置b b 之间满足之间满足 将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导线系统的方法，称为线系统的方法，称为电轴法电轴法。两个电轴点对任意等位线圆互为镜像，故两个电轴点对任意等位线圆互为镜像，故电轴法电轴法也也是是镜像法镜像法之一。之一。1.线电荷与圆柱导体线电荷与圆柱导体 将圆柱导体表面的分布将圆柱导体表面的分布电荷集中到电轴上，成为一电荷集中到电轴上，成为一条线电荷，导体圆柱面成为条线电荷，导体圆柱面成为等位面。等位面。2.两

7、个相同半径的平行导体圆柱两个相同半径的平行导体圆柱 将两圆柱表面看成等位面，将两圆柱表面看成等位面，该问题变为双线电荷问题。该问题变为双线电荷问题。电轴位置为：电轴位置为：圆心位置为：圆心位置为：镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理；镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的实质实质是用虚设的镜像电荷（电是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；质；镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的关键关键是确定镜像电荷（电轴）是确定镜像电

8、荷（电轴）的个数（根数），大小及位置。的个数（根数），大小及位置。应用镜像法（电轴法）解题时，应用镜像法（电轴法）解题时，注意：注意：镜像电荷镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时叠加时，要，要注意场的适用区域。注意场的适用区域。第二节第二节 分离变量法分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况。一般情况下下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波

9、动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。解题的一般步骤：解题的一般步骤：根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；方程；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；解常微分方程，并叠加各特解得到通解；利用给定的边界条件确定积分常数，最终得

10、到电位利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。函数的解。一一.直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的拉普拉斯方程：直角坐标系中的拉普拉斯方程：设其解为：设其解为：将其代入拉普拉斯方程：将其代入拉普拉斯方程：即：即：X、Y、Z分别只是分别只是x、y、z的函数，为使其对所有的的函数，为使其对所有的x、y、z点均能得到满足，它们的分式必须分别为常数。点均能得到满足，它们的分式必须分别为常数。即：即：1）两个实数和一个虚数；两个实数和一个虚数；3）若其中一个为零，则另两个可以为一若其中一个为零，则另两个可以为一实一虚，也可以都为实一虚，也可以都为0。2）两个虚数和

11、一个实数；两个虚数和一个实数；并且：并且：为为分离常数分离常数分离常数分离常数的取值的取值v 以以 为例：为例：1）若若 取实数，则取实数，则 X(x)的解为的解为：（令：（令 ）或或2）若若 取虚数，则取虚数，则 X(x)的解为的解为：（令：（令 ）或或3）若若 为为0，则，则 X(x)的解为的解为：v 分离常数的取值到底为实数、虚数、或分离常数的取值到底为实数、虚数、或0，由边界，由边界条件决定。即：条件决定。即：若在某个坐标方向上，边界条件是周期性的，则该若在某个坐标方向上，边界条件是周期性的，则该坐标的分离常数必为实数。坐标的分离常数必为实数。若在某个坐标方向上，边界条件是非周期性的，

12、则若在某个坐标方向上，边界条件是非周期性的，则该坐标的分离常数必为虚数。该坐标的分离常数必为虚数。若位函数与某一坐标变量无关则其分离常数为若位函数与某一坐标变量无关则其分离常数为0。解得解得X(x)、Y(y)、Z(z)后，其乘积：后，其乘积：即为待求拉普拉斯方程之解，利用边界条件确定分离常即为待求拉普拉斯方程之解，利用边界条件确定分离常数和其它待定常数，再把求得的所有特解线性叠加，即数和其它待定常数，再把求得的所有特解线性叠加，即为所求方程之通解。为所求方程之通解。例例1 设有无限长矩形管，其一边宽为设有无限长矩形管，其一边宽为a，另一边宽为另一边宽为b，图中矩形管除上臂电位为图中矩形管除上臂

13、电位为 外，其余各臂的电位为外，其余各臂的电位为0，求矩形管内的电位分布。，求矩形管内的电位分布。解解 矩形管无限长，管臂上电矩形管无限长，管臂上电位沿位沿z方向无变化，故管内的电方向无变化，故管内的电位函数与位函数与z无关，即：无关，即：此为二维平行平面场，拉普拉斯方程为：此为二维平行平面场，拉普拉斯方程为：场域边界场域边界x=0、x=a处管壁上处管壁上 场域边界场域边界y=0、y=b处管壁上处管壁上即沿即沿x方向，场重复出现零值，方向，场重复出现零值，作周期变化，因此分离常数作周期变化，因此分离常数 为实数。为实数。即沿即沿x方向，边界条件是非周期的方向，边界条件是非周期的，因此分离常数因

14、此分离常数 为为虚数。且：虚数。且：设：设：，则，则 ，因，因 此：此：边界条件：边界条件：（1）（2）（3）（4）由（由（1）可得：）可得：由（由（2）可得：）可得：由边界条件（由边界条件（3）则方程的解为所有特解的线型叠加，即：则方程的解为所有特解的线型叠加，即：由边界条件（由边界条件（4）（n为奇数）为奇数）（n为偶数）为偶数）由三角函数的正交性由三角函数的正交性（m为奇数）为奇数）（m为偶数）为偶数）（m为奇数）为奇数）（m为偶数）为偶数）（m为奇数）为奇数）（m为偶数）为偶数）满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。

15、界条件的解是唯一的。二二.圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：选择圆柱坐标系的情况多数为电位选择圆柱坐标系的情况多数为电位 仅与仅与r 和和 有关，有关，与与 z 无关。故今分析电位与坐标变量无关。故今分析电位与坐标变量 z 无关的情况，此时，无关的情况，此时，第三项为第三项为0，电位，电位 满足二维拉普拉斯方程：满足二维拉普拉斯方程：设其解为：设其解为：将其代入拉普拉斯方程：将其代入拉普拉斯方程：R、分别只是分别只是r、的函数，为使其对任一点成立的函数，为使其对任一点成立，它它们的分式必须分别为常数。令第一项等于们的分式必须

16、分别为常数。令第一项等于 ，可得：，可得：当当 时，上面两方程的解为时，上面两方程的解为:通常：通常：为整数为整数（n为整数）为整数）将将 和和 的基本解叠加，构成一般解为：的基本解叠加，构成一般解为：当当 时：时：基本解：基本解：一般通解为：一般通解为：二二.球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法球坐标系中的拉普拉斯方程：球坐标系中的拉普拉斯方程：只讨论轴对称场，即只讨论轴对称场，即电位电位 与坐标与坐标 无关此时无关此时拉普拉斯方程为：拉普拉斯方程为：设其解为：设其解为：将其代入拉普拉斯方程：将其代入拉普拉斯方程：R、H分别只是分别只是r、的函数，为使其对任一点成立的函数，为使其对任

17、一点成立，它它们的分式必须分别为常数。令第一项等于们的分式必须分别为常数。令第一项等于k，可得：可得：令令 ，则：，则：勒让德方程勒让德方程 勒让德方程的解具有幂级数形式，且在勒让德方程的解具有幂级数形式，且在 收敛，如选择收敛，如选择 ，其中，其中n为正整数，则解的收为正整数，则解的收敛域扩展为敛域扩展为 （和（和 的收敛域一致）的收敛域一致）时，勒让德方程的解为时，勒让德方程的解为n阶勒让德多项式：阶勒让德多项式：勒让德多项式也是正交函数系，正交关系为：勒让德多项式也是正交函数系，正交关系为：将将 代入代入 ，解之得：，解之得：取不同的取不同的n值对应的基本解进行叠加，得到球坐标值对应的基本解进行叠加，得到球坐标系中二维拉普拉斯方程的通解为：系中二维拉普拉斯方程的通解为：