空间解析几何学习方法

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1、第九章 空间解析几何一、本章提要1基本概念空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解， 向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式 方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面，空间曲线在坐标面上的投影，失函数的导数，失函 数的积分2基本公式 两点间的距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公 式，平面与直线间的夹角公式3方程 直线的点向式方程，直线的参数方程，直线的一般式方程，平面的点法式方程，平面的 一般式方程二、要点解析问题 1 自由向量的基本特征为何?如何描述其基本特征?解析 向量含有两个基本特征，一

2、个是大小，另一个是方向所谓自由向量是只考虑大 小和方向，而不考虑它的始点和终点位置，即一个向量可以在空间自由地平行移动不论位 置如何，只要其大小相等、方向相同即认为是相等或同一向量本书讨论的向量均为自由向 量向量特征的描述，从几何上是用有向线段的方向代表向量的方向，有向线段的长度代表 向量的大小.从坐标表示上，以M （x , y ,z ）为始点，M （x , y ,z ）为终点的向量为1 1 1 1 2 2 2 2M M = x - x , y - y , z - z ,1 2 2 1 2 1 2 1其大小（模）为MM = x 一 x ）2 + （y 一 y ）2 + （z 一 z ）2 ,其

3、方向由其与坐标轴12*21 2 1 2 1正向的夹角Q,卩，丫的余弦确定，即y yCOS P 二 ，mm1 2z - zCOS Y =21mm1 2问题2 向量的点积与叉积有何物理意义？如何计算？如何利用它们判别向量的位置关系？解析设向量a与b的夹角为0，贝ya -b = |a b cos0 , ax b=aibi sin 0 - n。,其中n。为与a , b同时垂直，方向由右手螺旋法则确定的单位向量.点积为数量，叉 积为向量点积在物理上可以表示功，若物体在力F的作用下作直线运动，其位移向量为s，则 其功W为W = F|s| cos 0 = F - s .叉积在物理上可以表示力矩、磁力等.当单

4、位电荷以速度卩在磁场B中运动时，它所 受的磁力F为F = v x B，其大小为V|B| sin0，方向由右手螺旋法则确定.若 a = a , a , a ，b = b , b , b ，贝yx y z x y za - b = a b + a b + a b ，x x y y z zi j ka x b = a a a .bx by bzx y z向量之间的位置关系：(1) a 丄 b o a - b = a b + a b + a b = 0 ；x x y y z zaaa(2) a b a x b = 0 或一x =亠=z ；bbbxyza - ba b + a b + a b(3) a与

5、b的夹角0由cos 0 = zz 确定.aPa 2+ a 2 + a 2b 2+ b 2+ b 2xyzxyz例 1 设 a = 1,0,2， b = 3,1,1，求 a - b 和 a x b .解 a - b = 1 x (3) + 0 x 1 + (2) x 1 = 5.ijka x b = 10 2 = 2i + 5 j + k = 2,5,1 3 11问题 3 说明确定平面的条件及典型的平面方程解析 满足下列条件之一者可确定一个平面：(1) 过空间中不共线的三个点；(2) 过直线和直线外一点；(3) 过两条平行或相交的直线我们用向量的方法可将条件归结为：过一已知点且与一已知向量垂直便

6、可确定一个平 面由此条件建立的平面方程就是平面的点法式方程平面的主要方程形式：点法式：过点(x0,y0,z)，法向量为“=ABC的平面方程为A( x x ) + B (y y o)+C (z - z0)二0;(2) 般式：Ax + By + Cz + D = 0，其中n = A,B,C；xyz 截距式：一 + ?+= 1，其中平面与坐标轴交点为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)；abcx - x0 y - y 0 三点式：x! - x0 y! - y0X2 - X0 y 2 - y 0z 一 z0z - z = 0，其中(x , y , z )，(x , y , z )，100 0

7、 0 1 1 1z - z20(x2, y2, z2)为平面上不在一条直线上的三点例2求通过点M (2,-1,4)和z轴的平面方程.&解 因为z轴的单位向量k = 0,0,1和OM = 2,-1,4均在所求平面内，故可取该平0面的一个法向量为n = k x OM = 1,2,0，于是所求方程为01 x (x - 2) + 2( y +1) + 0 x (z - 4) = 0，即x + 2 y = 0 .问题 4 说明确定直线的基本条件及典型的直线方程解析 确定一条直线的条件有：过不重合的两点，或者二平面的交线等我们用向量的 方法可将这些条件归结为：过一已知点且与一已知向量平行可以确定一条直线，

8、由此条件建 立起来的直线方程为直线的点向式方程直线的主要方程形式：(1)点向式：其中(X0, y0, zo)为直线上定点汕=m，n，P为直线的方向向量；x = x + mt,0(2)参数式：s y = y + nt, 0z = z + pt；0x-x y- y z-z(3)两点式：4 =4 =4,其中(x , y , z ), (x , y , z )为直线上不x -x y - y z -z1 1 12 2 22 1 2 1 2 1重合的两点；(4)一般式：其中此二平面不平行Ax + By + C z + D = 0,1111Ax + By + C z + D = 0,2222例3求过点M(0

9、,1,0)且垂直于平面3x - y + 2 = 0的直线方程.解 因所求直线的方向向量s与已知平面的法向量同向，所以可取s = 3,-1,0，故所x求方程为-y-1-1注意：上式右端一项分母为零是一种记法，它只表示该直线与z轴垂直.曲线L :f (Xoy)= 0绕z轴旋转而成的曲面椭球面(a, b, c) 0抛物面x 2 y 2z=2P+石(p, q 0)单叶双曲面竺+上a 2 b 2方项系数相同方项系数同号含x, y的平项方项系数异方项，z的一次x, y的平方x, y, z的平形式且x, y的平项系数与z的平三、例题精解例4已知向量PP的始点为P (2,2,5)，终点为P (1,4,7)，试

10、求:1 2 1 2(1)向量PP的坐标表示；12向量PP的模；向量PiP2的方向余弦;(4) 与向量PP方向一致的单位向量.12解(1) PP = -1 - 2,4 - (-2),7 - 5 = -3,6,2；(2) PP =Q(-3)2 + 62 + 22 = J49 7 ；1 2 (3)pp在x, y,z三个坐标轴上的方向余弦分别为123 口 62cos a = - ,cos p= ,cos y ；7 7 7PP - 3i + 6j + 2k3. 6. 2f(4) (PP ) i =-_ i + j + k12pp7777例5求与a 1,2,3共线，且a -b 28的向量b .解由于b与a

11、共线，所以可设b = Aa 九,一2九,3九,由a-b 28，得1,-2,3九,-2九,3九 28 ,即A + 4A + 9九=28，所以A = 2，从而 b =2,-4,6.例6已知 a 1,0,-2, b 1,1,0，求 c，使 c 丄 a, c 丄 b 且 |c| 6.解一待定系数法.设c x, y, z，贝y由题设知c - a 0,c - b 0及|c| 6，所以有由得由得y = -x ，将和代入得6解得x = 4, y = 4, z = 2 ,于是c = 4,4,2或c = 4,4,2.解二 利用向量的垂直平行条件，因为c丄a,c丄b，所以c a xb . 设九是不为零的常数，则i

12、jkc = X(a x b) = X1 0 2 = 2/i 2歹 + Xk，1 10因为 |c| = 6，所以 pX222 + (2)2 +12 = 6，解得X = 2 ，所以c = 4,4,2或c = 4,4,2.解三 先求出与向量a xb方向一致的单位向量，然后乘以土 6 .i jka x b = 1 0 2 = 2i 2 j + k，1 10|a x b| = ；22 + (2)2 +12 = 3，故与a xb方向一致的单位向量为|2,2,1 于是c = |2,2,1，即c = 4,4,2 或 c = 4,4,2 .例7 求满足下列条件的平面方程：过三点 P (0,1,2)，P (1,2

13、,1)和勺(3,0,4)；过x轴且与平面5x + 2y + z = 0的夹角为3.解(1)解一用三点式.所求平面的方程为x 0y 1z 21 02 11 2= 0，3 00 14 2解二用点法式.|pip2|=i，i，-i，P1P3 = 3，-1，2，由题设知所求平面的法向量=PP x PP =1 21 3j1-1k-1 = i - 5 j - 4k,2又因为平面过点竹(0丄2)，所以所求平面方程为(x-0)-5(y-1)-4(z-2)=0，即x - 5 y - 4 z +13 = 0 .用下面的方法求出所求平面的法向量n = A,B, C，再根据点法式公式写出平面方程也可因为P-n 丄 PP

14、 ,n 丄 PP，1 21 3所以 A + B - C = 0,3 A - B + 2C = 0,解得B = -5A,C = -4A，于是所求平面方程为A(x-0)-5A(y-1)-4A(z-2)=0x - 5 y - 4 z +13 = 0 .(2)因所求平面过x轴，故该平面的法向量n = A,B,C垂直于x轴，n在x轴上的 投影A = 0，又平面过原点，所以可设它的方程为By + Cz = 0，由题设可知B丰0 (因为B = 0时，所求平面方程为Cz = 0又C丰0，即z = 0 .这样它与已知平面V5x + 2 y + z = 0所夹锐角的余弦为0 x 75 + 0 x 2 + 1x10

15、2 + 02 + 12 x；5) 2 + 22 + 12丰 cos =C所以B丰0)，令 = C，则有By + Cz = 0，由题设得兀0 x J5 + 1 x 2 + C x 1COS ._,3-02 + 12 + C 2 ( 5)2 + 22 + 12解得C 3 或 C - 3,于是所求平面方程为y + 3z 0或3 y - z 0.例8已知平面在x轴上的截距为2,且过点(0,-1,0)和(2,1,3)，求此平面方程.解析 此题容易想到用三点式求平面方程，其实不然，因为用三点式需要解三阶行列式比较麻烦.注意到所求平面与三条坐标轴都相交，它在x轴上的截距已知是2,易知它在y 轴上的截距是-1

16、，在z轴上的截距也容易求得.故用截距式求该平面方程方便些.解 设所求平面方程为丄+上+三-1abc由题设知a 2, b -1，213平面过点(2丄3),所以卞+ r+ 1，得C 3 .于是，所求平面方程为2 -1 c即3x-6y+2z-60x-2 y +1 z-2例9求过点(2丄1),平行于直线 -且垂直于平面3 2-1x + 2y - 3z + 5 0的平面方程.解一 用点法式所给直线的方向向量s 3,2,-1，所给平面的法向量n1 1,2,-3.i j ks x n 3 2 -1 -4i + 8 j + 4k，11 2 -3由题设知，所求平面的法向量n丄s且n丄件，取n -4(sxn) i

17、-2/-k，于是所求平面方程为(x-2)-2(y-1)-(z-1)0，x-2y-z+1 0.解二 所求平面方程为Ax + By + Cz + D 0由平面过点(2,1,1)得2 A + B + C + D 二 0 , 有所求平面垂直于平面x + 2y 3z + 5 = 0 ,所以A + 2B 3C 0 ,x2 y +1 z2又由所求平面平行于直线一 -1-，知A, B, C丄3,2,-1,所以3 A + 2B C 0解，联立方程组得AD,B2D,C D，所求平面方程为x2yz+10x例10求过点A(3,0,1)且平行于平面n: 3x 4y z + 5 0，又与直线y 1 z + 1 相交的直线

18、L的方程.1 1解一 用点向式方程。因为直线L平行于平面n，故直线L的方向向量s m,n,p垂 1直于平面n的法向量n 3,4,1，从而得13m 4n p 0 ，又直线L的方向向量为s 2,1,1，B(0,l,1)是直线L上一点，A(3,0,1)是直线L上一点，根据题设：直线L与直线L相交，所以s,si及AB共面，因此np11 0,12m(s x s ) - AB 213即m+np0 ，将和联立解得由此得mnp- 5- 41，m = 一5p, n = -4p ,于是所求直线方程为x + 3 _ y _ z 一 1 - 5 _-4 _ T 解二 用一般式，即先求出过L的两个平面，将其方程联立便得

19、L的方程.直线L在过点A且平行于平面n的平面n上，平面n的方程为1 2 23（x + 3） 一 4（ y 一 0） - （z 一 1） _ 0，3 x 一 4 y 一 z + 10 _ 0，直线L又在过点A及直线L1的平面n3上，平面n3的法向量可取为J k1-1 _一 + J 一 k ,1-2故平面n的方程为3-(x + 3) + (y - 0) - (z -1) _ 0，即x 一 y + z + 2 _ 0 ,于是所求直线方程为 3x - 4 y - z +10 _ 0,x 一 y + z + 2 _ 0.小结：在求平面或空间直线的方程时，“定点”（确 定所求平面或所求直线上的一点）和“定

20、向”（确定所求 平面的法向量或所求直线的方向向量）是关键例 11求空间曲线C:在 xOy平面上的投影曲线方程并作其图形解 将所给方程组消去z，就得到包含曲线C的投影柱面的方程I x 2 + y 2 = 1 所以柱面与xOy平面的交线C :；即为所求曲线C的投影曲线(如右图).Z = 0四、练习题1判断正误(1) 若 a - b = b - c 且 b 主 0，则 a = c ；( x )解析 a - b b - c = b - (a c) =0 时，不能判定b = 0 或a = c .例如a = i, b = j ,c = k，有 a - b = b - c = 0，但a 丰 c .(2) 若

21、 a x b = b x c 且 b 主 0，则 a = c ；( x )解析 此结论不一定成立.例如a = i，b = j，c = (i + j)，则a x b = i x j = k，b x c = j x (i + j) = k， a x b = b x c，但 a 丰 c .(3) 若 a - c = 0，则 a = 0 或 c = 0 ；( x)解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零.(4) a x b = b x a .( v )解析 这是叉积运算规律中的反交换律.2.选择题(1) 当 a 与 b 满足(d)时，有 a+b=ai+b ；(A)a 丄b ；(B) a = xb (九为

22、常数)；(C) a b ；(D) a-b = |b .解析 只有当a与b方向相同时，才有a+b|=a|+|b|.(A)中a，b夹角不为0, (B)，(C)中a，b方向可以相同，也可以相反.(2) 下列平面方程中，方程( C )过 y 轴；(A) x + y + z = 1 ；(B) x + y + z = 0 ；(C) x + z = 0 ；(D) x + z = 1.解析 平面方程Ax + By + Cz + D = 0若过y轴，则B = D = 0，故选C.(3) 在空间直角坐标系中，方程z = 1 x2 2 y2所表示的曲面是(B )；(A) 椭球面；(B) 椭圆抛物面；(C) 椭圆柱面

23、；(D) 单叶双曲面.解析 对于曲面z = 1 x2 - 2y2，垂直于z轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x轴或y轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.空间曲线1z = x2 + y 2 - 2, 八(C) 1在 xOy 面上的投影方程为( C )；(A) x2 + y2 = 7 ；(B) 1解析 曲线 1与 xOy 平面平行，在 xOy 面上的投影方程为 11-yz | 1(5)直线 = 与平面x- y + z二1的位置关系是(B ).2 1 1 nn(A)垂直；(B)平行；(C)夹角为t；(D)夹角为 44解析 直线的方向向量s =2， 1，-1，平面的

24、法向量=1，-1， 1, s -n =2TT=0,所以，s丄n，直线与平面平行.3填空题若匕|0| =迈，(Gb) = 2，则 a Xb = 2 ，a -b =0:解 a x b = G|b| sin(a,b) *2 sin = * 2，2 a - b = G|b| cosb)二 2 cos =o.2 与平面x y + 2z 6 = 0垂直的单位向量为 厂1,1,2；解 平面的法向量n = 1，-1，2与平面垂直，其单位向量为n二C +1 + 4二6, 所以，与平面垂直的单位向量为1,-1,2.过点(3,1,2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为7y + z 5 = 0 ；解 已知平面平

25、行于x轴，则平面方程可设为By + Cz + D二0，将点(-3,1, -2)和(3，0，5)代入方程，有B 2C + D = 0,5C + D = 0,-Dy - Dz + D = 0, 55xy(4) 过原点且垂直于平面2y - z + 2 = 0的直线为0 = 2 = -z ；解 直线与平面垂直，则与平面的法向量n = 0,2,-1平行，取直线方向向量s = n = o,xy2，-1，由于直线过原点，所以直线方程为 0 = = -z .z = 2 x 2 + y 2,(2 x 2 + y 2 = 1,(5) 曲线丿在xOy平面上的投影曲线方程为z = 1 z = 0.I 2 x 2 +

26、y 2 = 1,解 曲线在xOy面上的投影柱面为2x2 + y2 = 1，故为空间曲线在 z = 0xOy平面上的投影曲线方程.4解答题已知 a = 1,-2,1，b = 1,1,2，计算(a) a X b ；(b)(2a -b) - (a + b) ；(c)匕-b2 ；ijk解(a) a x b = 1 - 21 = -5,-1,3，112(b) 2a-b=2,-4,2-1,1,2=1,-5,0，a + b = 1,-2,1 + 1,1,2 = 2,-1,3，所以(2a 一b) -(a + b) = 1,5,0 - 2,1,3 = 7 .(c) a-b =1,-2,1-1,1,2=0,-3,

27、-1，所以a - bp=g.9+t)2=10.x1z 1 1(2) 一直线通过点A(1,2,1)，且垂直于直线L :亍=寺=丁，又和直线x = y = z J厶JL相交，求该直线方程；解 设所求直线的方向向量为s=m,n,p，因为直线过点A(1,2,1)，则所求直线方程为x -1 = y - 2 = z -1联立由，令口 =二2 = z -1mn口 = 口 = 口,m n px = y = z ,1 3m + 2 n + p = 0 ,Ix =1+ Xm,=X，贝y有S y = 2 + Xn，代入方程1z =1+ Xp,1 +Xm = 2 + Xn,可得代入解得n = -2 p ,因此，所求直

28、线方程为x -1 = y - 2 = z -1 1-2f1 + 九m = 1 + X p,I x + 5 y + z = 0,一平面过直线1 x - z + 4 = 0且与平面x - 4y - 8z +12 = 0垂直，求该平面方程;解 直线x+5y+z =0,4 4x- z + 4 = 0 在平面上令x =0，得 y = -5，z =4,则(-5，4)为平面上的点设所求平面的法向量为n=A, B,C，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 n1 =1，5，1， n2=1，0，-1则直线的方向向量ijks 二 n x n 二151=-5, 2， -5,1 2101由于所求平面经过直线，故平面的

29、法向量与直线的方向向量垂直，即v - n = -5， 2， -5 A,B, C = 5A + 2B 5C =0，因为所求平面与平面x 4 y 8 z +12 = 0垂直，则A, B, C - 1,-4,8 = A 4 B 8C =0，解方程组I A=2C,B=-2C,A 2 B + 5C = 0,A4B8C =0,54所求平面方程为2C(x 0) C(y + 5) + C(z 4) = 0 ,(4)指出下列方程表示的图形名称：(a) x2 + 4 y2 + z2 = 1 ；解 绕 y 轴旋转的旋转椭球面(b) x2 + y2 = 2z ；解 绕 z 轴旋转的旋转抛物面.(c) z = x2 +

30、 y2 ；解 绕 z 轴旋转的锥面.(d) x 2 - y 2 = 0 ；解 母线平行于 z 轴的两垂直平面： x = y ， x = - y(e) x2 - y 2 = 1 ；解 母线平行于z轴的双曲柱面.(f)z = x 2 + y 2z=2解 旋转抛物面被平行于XOY面的平面所截得到的圆，半径为：2 ,圆心在(0, 0, 2)处(5)设r(t) = a sin2 ti + a sin2j + a costk，求r(t)， Jnr(t)dt.0解 矢函数的导数 r(t) = (a sin21)i + (a sin 2t)j + (a cos t)k=2a sin t cos t i + 2a cos 2tj - a sin tk=a sin2ti + 2a cos2tj - a sin tk，矢函数的积分Jn r (t)dt = Jn a sin2 tdti + fn a sin 2tdtj + fn a cos tdtk 0 0 0 0 a Jn 1cos2t d 优 + (- ) Jn - sin 2td(21)j + a Jn cos tdzk0 2 2 0 0=a(2 - 4 sin 2t) ” i - 2cos2t| n j + a sin t “ kn . =ai.2