第七章三角恒等式的证明

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1、第七章 三角恒等式的证明本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第七章 三角恒等式的证明要证明三角恒等式就必须了解证明三角恒等式的方法，为此我们将在下面一一介绍。第一节一般恒等式（一）基本思想、方法和技巧三角恒等变形的基本思想是：首先考察函数式能不能直接应用三角公式（或者 三角公式的变形）进行变形；若不能则用代数法对三角函数中的角进行适当的 变换，使之变形为可以应用三角公式的形式。1、熟悉公式的变形，做到“三会”（会正用，会逆用，会变形用）例题 1：在非直角三角形中， 求证:tan A + tan

2、 B + tan C = tan A tan B tan C.证明：由题有A+B+C=兀贝左=tan（A + B）（ - tan A tan B）+ tan C=-tan C （1 - tan A tan B ）+ tan C =右例题 2 :求证:tan 20 + tan 40 +、3 tan 20 tan 40 =、 3 .分析：在正切恒等式中常常出现肓，应于tan才=运相联系，这样问题就好解决了。证明： 仿例题1即可。例题 3 ：求证：Cos20Cos40Cos80 =1。8分析： 角度成倍数增长，就应该和二倍角联系在一起，构造适合条件形式，从而解决问题证明：左=2Sin 20Cos 2

3、0Cos 40Cos802Sin 201 Sin1608 Sin20=右例题 4：求证：1 + 2SinxCosx 1 + tan xCos 2 x - Sin 2 x 1 - tan x分析： 弦化切（先降次）或者切化弦证明：左=(Sinx + Cosx)2Cos 2 x - Sin 2 xSinx + Cosx 1 + tan xCosx - Sinx 1 - tan x2、注意角间的关系，正确应用三角公式进行变换必须领会和掌握公式的实质，决不能停留在表面上。若：Sin 2x = 2SinxCosx ,x x3 x3 x也可以改写为Sinx = 2Sin Cos 或者Sin3x = 2Si

4、n Cos，因此，对三角公式要善于变换其中角的表现形式以及发现恒等式变形问题中角之间的相互关系：改变角的表现形式；女口a = 2x , a =（a_B）+B， a-P = + （-卩）。 2角45。如可以表示为290。土 2O利用角间的数值关系，整合时应从产生特殊角或整合后再变形能够抵消或相约为 前提。利用题设中的角间的关系，对于特殊条件下的恒等变形，应注意掌握条件本身所 具有的规律。例题 1 :求证:Cos(n - 1)ACosA -CoanA = Sin(n - 1)ASinA. 分析与证明：将CosnA变形为Cos氐-1)+ 11A或者变形为CosnA = Cos (n - 1)ACos

5、A - Sin(n - 1)ASinA 就能够简单的证明了。 例题 2 :已知 3 Sin P = Sin(2a + P)；求证:tan(a + 卩)=2 tan a。 分析与证明：变形3SinK+ P)-a= SinK + P)+a，展开合并得 2Sin(a + P )Cosa = 4SinaCos+ P)，即有 tan (a + P)= 2 tan a。3、采用“一致代换”的方法所谓“一致代换”即在恒等变形中变异名、异角、异次为同一个三角式中的 同名、同角、同次的方法，它主要有：在三角函数式中，如果只含有同角的三角函数，贝g般是从变化函数入手，尽量化为同名函数，其常用“化弦”“化切”的方法

6、。在三角函数式中，如果只含有异角的三角函数，则一般是从变化角 入手，尽量化为不同角为同角，变复角为单角，减少不同角，便于 使用公式。在三角函数式中，如果只含有三角函数的异次幂，则一般利用升幂或者降幂公式，化异次为同次，使运算简洁例题 1：化简 :Cos2Cx + B）+ Cos2（a - P）- Cos2aCos2P 分析与解:Cos 2 （a +卩）+ Cos 2 Cx-卩）-Cos 2aCos 2 卩=11 + Cos2（a + 卩）+11 + Cos2（a -卩）一 Cos 2aCos2 卩22=1+2 cos2（a 2 卩）2Cos2（a -卩）一 Cos 2aCos2 卩=1+ Co

7、s2aCos2P - Cos2aCos2P =1.例题 2：求证：Sin（x + y ）Sin（x 一 y）= Sin2 x 一 Sin2 y分析与证明：左= Sin2 x Cos2y - Cos2x Sin2y=Sin2x（1-Sin2y）-Sin2y（1-Sin2x）=Sin 2 x - Sin 2 y =右。1 +、.3 tan例题3 :求证：（J3 tanx 、 6丿K、x 6丿=tan x分析与证明： tan x =tan（ 兀） tan x 一一I 6丿-=1 tan x _I 6丿K+ tan1 +、：3tan K tan =V3 - tan K ）x 、 6丿K ）。x 6丿（

8、K（K ）x 一 一+ tanx 一一1 6丿 31 6丿1 +、3 tan 或者K ）1 3K ）x 一1 tanx 6丿3k6丿3 一 tan（ 兀兀）= tan x一一 + =tanxI 6 6丿Sin2x4、将原三角函数式同加减或者同乘除一个函数式，再进行变换例题 1：求证：1 + Cosx（S7nx + Cosx +1）6 inx +1 Cosx）SinxSin2x2SinxCosx分析与证明：左二2x 一 G Cosx一 Sin2x 1 Cos 2x + 2Cosx2SinxCosxSinx1 + Cosx=石。2Cosx（1 Cosx） 1 Cosx Sinxtan a tan

9、B SinCx B） 例题2：求证：=誌丽。tan a + tan分析与证明：切化弦为顺其自然，而弦化切则涉及到分子、分母同乘以一个式子。所以一般采用切化弦SinaCosP - SinCosa/CosaCosP卄左 SinaCosP+ SinpCosa =右。CosaCosP5、重视等量代换、特别是数值“1”的代换例题 1：求证(L + Cscx)Cosx - Cotx) (L + Secx )(Siinx 一 tan x)=Cot 5 x1 + Sinx Cosx(S7nx -1)分析与证明：左=1 +Zx Sinx弊)=Cot 3 xSin 2 x 一1 =右、Cosx 1)Cos 2 x

10、 1CosxCosx(二)基本方法1、综合法即从左n右，右n左或者从已知n结论。例题：求证 1 + Cos2x + 2Sin2x = 2。分析与证明 :左=2 Cos2x +2 Sin2x =2 ( Cos2x + Sin2x) =2=右。2、分析法即执果索因，指出在三角证明中极少使用。例题：若 Sinf - y)= Sinf + z)，求证 Cozy Cotz = Cot(x + z)+ Cot(x y)。SinySinz分析与证明：假设求证式子成立则：Cosy Cos(x + z ) Cosz Cos(x y ) Siny Sin(x + z) Sinz Sin(x y)即 Sin(x 故

11、 Sin(x y)_ Sin(x + z)SinySinzSin(x + z )SinySinzSin(x + y )恰为已知，且以上过程可逆，所以命题成立。3、转化命题法俗称变更证明，即转化为其等价命题来证明例题 1：求证：Sinx _ 1 - Cosx1 + Cosx Sinx分析与证明：即证明Sin2x = 1 Cos2x成立，显然上式成立，所以命题成立。 例题2 :求证：弘竺+卩）2Cos（a + P）= Sin卩SinaSinx分析与证明：即证明 Sin（2a + P） SinP =2 Cos （a + P ）sina ,而 Sin（2a +13 ） SinB = SinKp +a）

12、+a SinKp + a）a=2 CosCx +13 ）sina ;故命题成立。4、左右归一即两边等于同一个式子。例题：求证：tanGo+x）tanGo。-x）=Ho|吕。v33+ tanx tan x 分析与证明:tan（30 + x）tan（30 x）=叩7、/ 31 tan x 1 + tan x331 3tan2 x3 tan 2 x1 3 Sin 2 xCos2x _ Cos2x 3Sin2xSin 2 x3 Cos 2 x Sin 2 x3 -Cos 2 x2Cos2 x 1 = 2 vos 2 x Sin 2 x一in 2 x + Cos 2 x Cos2 x 3Sin2 x 2

13、Cos 2 x +1 2vos 2 x Sin 2 x ）+ ;Sin 2 x + Cos 2 x3 Cos 2 x - Sin 2 x知左=右，所以命题成立。第二节 条件三角恒等式证明条件三角恒等式的基本方法1、从已知条件出发进行变换，逐步推出求证的等式。2、从要证明的等式的一边出发进行变换，在变换过程中利用已知条件逐步推出另一边；或 者把条件作为参数带入所证的式子的一边或两边，再加以推证。注意带入前应先化简3、对三角形中边角等式的证明，一般用正、余弦定理或者射影定理a = (bCosC + cCosB ),化边为角可用三角公式证明；化角为边可用代数方法证明；边角统一可用射影定理证明。例题

14、1 :若 tan x + Sinx =m, tan x - Sinx =n;求证：Cm2 - n2) = 16mn . 分析与证明 :左=Ian x + Sinx一 (tan x 一 Sinx=(4 tan xSinx=16 tan2 xSin2x(在此可以用左右归一证明 16mn=16 tan 2 xSin2x )= 16tan2 xC - Cos 2 x)= 16(an2 x - Sin 2 x)=16 (tan x + Sinx )(tan x - Sinx) =16mn=右。例题2 :已知 Cot2x = 1 + 2Cot2y ；求证:Sin2y = 1 -Cos2x。分析与证明：由已知1 + Cot2x = 2C + Cot2y即Cs c2x=2Csc2y则 Sin2 y = 2Sin2x = 1 - Cos2x。例题3 :在三角形 ABC 中证明 a2 + b2 + c2 = 2(bcCosA + acCosB + abCosC).分析与证明：直接用三个余弦定理就可以得到证明。例题4 :设tan a ,tan卩是方程x2 + px + q = 0的两个解，则分析与证明：由已知 tan a + tan P = - p,tan aianP = q ,p2+ qq 1I p 2p 2齐+芦+q=q；=q；所以tan(a +卩)=二满足已知，所以命题成立 q1