线性代数考试题型及范围

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1、线性代数考试题型及范围：一、填空1、已知矩阵A或B,求A与B之间的运算，如AB, A逆B逆，kA2、已知方阵A,求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式3、求向量组的秩4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式5、其次线性方程组有非零解的充要条件二、选择1、同阶方阵A、B的运算性质2、两个相似矩阵 A B 的性质3、关于向量线性相关性的选择题4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系5、二次型正定性的判定三、计算题1、行列式的计算2、求A的逆矩阵四、解答题1、求向量组的极大线性无关组2、用基础解析求方程组的通解五、给定实对称矩阵A,求可逆阵P,使P-1AP为对角阵六、证明题：（关于

2、矩阵，具体内容未知）记住这些话：第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开 定理以及 AA*=A*A=|A|E 。第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f（A）=0,要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE, I t再说。第四句话：若要证明一组向量a1,a2,as线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。第七句话：若已知A的特征向量p,则先用定义Ap=A

3、p处理一下再说。第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。线性代数复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算；N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算） 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化,如能,要

4、能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用n人2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶|a|=a行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化

5、为0，利用定理展开 降阶。特殊情况（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；III行列式某行（列）的元素对应成比例；W奇数阶的反对称行列式。二矩阵1.矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|； |kA|=S

6、 n|A|3矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2) 秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=I,称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2) 性质：(AB)人-1=(B1)*(A1), (A)A-1=(AA-1)； (A B 的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|WO；r(A)=n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A1=(1

7、/|A|)A*； (A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1)5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，贝y X=(AA-1)B；XB=A，贝y X=B(AA-1)；AXB=C，则 X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：r(A,b)知(A)无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解； 特别地：对齐次线性方程组 AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1) |A|WO只有零解(2) |A|=0 有非零解2齐次线性方程组(1) 解的情况：r(

8、A)=n,(或系数行列式DWO)只有零解；r(A)vn,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。( 2)解的结构：X=c1a1+c2a2+.+C n-ra n-r。( 3)求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系； 写出通解。3非齐次线性方程组(1)解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：X=u+c1a1+c2a2+.+C n-ran-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤： 与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法： 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1 N 维向量的定义 注：向

9、量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2向量的运算： （1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积 aB=a1b1+a2b2+.+anbn；（ 3）向量长度|a|=Vaa=V（a1人2+a2人2+.+an人2） （V 根号）（4）向量单位化 （1/|a|）a；（ 5）向量组的正交化（施密特方法）设al, a 2,，an线性无关，则p1=a1,p2=a2- （a2p1/p1p） *p1,p3=a3- （a3p1/p1p1） *p1- （a3p2/p2p2） *p2,3线性组合(1) 定义 若B=k1a1+k2a 2+.+knan,则称p是向量组al, a 2,an的一个线性 组合，

10、或称p可以用向量组al, a 2,，an的一个线性表示。(2) 判别方法 将向量组合成矩阵,记A=(a1, a 2,，an), B=(a1, a2,，an,p)若r (A)=r (B),则p可以用向量组al, a 2,，an的一个线性表示；若r (A)r (B),则p不可以用向量组al, a 2,，an的一个线性表示。(3) 求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性(1) 线性相关与线性无关的定义设 k1a1+k2a2+.+knan=0,若k1,k2,., kn不全为0,称线性相关；若k1,k2,., kn全为0,称线性无

11、关。( 2)判别方法： r(a1, a 2,，an)=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展 开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为 0 的几种情况：I行列式某行（列）元素全为0；II行列式某行（列）的对应元素相同；III行列式某行（列）的元素对应成比例;W奇数阶的反对称行列式。二矩阵1.矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法

12、运算的条件、结果；（ 2 ）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA，称A、B是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|AB| = |A|*|B|； |kA|=S n|A|3矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（ 2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=I,称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边 也成

13、立）；（2） 性质：（AB）人-1=（B1）*（A1）, （A）A-1=（AA-1）； （A B 的逆矩阵，你懂的）（注 意顺序）（3）可逆的条件： |A|WO；r（A）=n;A-I;4)逆的求解伴随矩阵法A1=(1/|A|)A*； (A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1)5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，贝y X= (AA-1) B；XB=A，贝y X=B(AA-1)；AXB=C，则 X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理：r(A,b)知(A)无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)n

14、有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组 AX=0(1) r(A)=n 只有零解；(2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵，(1) |A|WO只有零解(2) |A|=0 有非零解2齐次线性方程组(1)解的情况：r(A)=n,(或系数行列式DWO)只有零解; r(A)vn,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。( 2 )解的结构：X=c1a1+c2a2+.+C n-ra n-r。( 3)求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系； 写出通解。3非齐次线性方程组(1)解的情况：利用判定定理。( 2)解

15、的结构：X=u+c1a1+c2a2+.+C n-ran-r。(3) 无穷多组解的求解方法和步骤： 与齐次线性方程组相同。( 4)唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)四、向量组1 N 维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2向量的运算：(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同)；(2)向量内积 aB=a1b1+a2b2+.+anbn；( 3)向量长度|a|=Vaa=V(a1人2+a2人2+.+an人2) (V 根号)(4)向量单位化(1/|a|)a；( 5)向量组的正交化(施密特方法)设al, a 2,，an线性无关，则p1=a1,p2=a2- (a2p1

16、/p1p) *p1,p3=a3- (a3p1/p1p1) *p1- (a3p2/p2p2) *p2,。3线性组合(1) 定义 若B=k1a1+k2a 2+.+knan,则称p是向量组a1, a 2,an的一个线性 组合，或称p可以用向量组al, a 2,，an的一个线性表示。(2) 判别方法 将向量组合成矩阵,记A=(a1, a 2,，an), B=(a1, a2,，an,p)若r (A)=r (B),则p可以用向量组al, a 2,，an的一个线性表示；若r (A)r (B),则p不可以用向量组al, a 2,，an的一个线性表示。(3) 求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最

17、简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性(1)线性相关与线性无关的定义设 k1a1+k2a2+.+knan=0.若k1,k2,., kn不全为0,称线性相关;若k1,k2,., kn全为0,称线性无关。(2)判别方法： r(a1, a 2,，an)n,线性相关；r(a1, a 2,，an)=n,线性无关。 若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij=0,线性相关(主0无关)(行列式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩(1) 定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2) 求法 设A=(a1, a 2,，an),将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每 行的第一

18、个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1.定义 对方阵A,若存在非零向量X和数入使AX=AX,则称入是矩阵A的特征值，向 量X称为矩阵A的对应于特征值入的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|入I-A|=0的根即为特征值，将特征值入代入对应齐次线性方程组(入I-A)X=0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：(1) A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；(2) A与A的转置矩阵A有相同的特征值；(3) 不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1.定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使P1AP=B，则称A与B相似。2求A与对角矩阵

19、人相似的方法与步骤（求P和A）：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为 A。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型n1.定义n元二次多项式f（xl,x2,., xn）=aijxixj称为二次型，若aij=O（iwj）,则称为二交 型的标准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q, QA-1=Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0； A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；