积分常用公式

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1、积分常用公式基本不定积分公式：J dx = x + CJ x a dx = x a+1 a +1axa xdx =+ Cln a(a 北 一1)(a 0, a 丰 1)3. Jdx = ln|x| + Cx5. Jexdx=ex +C1246810121314135791011J sin xdx = 一 cos x + C7 J cos xdx =sinx+CJ sec2 xdx = J一1 dx = tan x + Ccos2 x9. Jcsc2 xdx = J1 dx = -cotx + Csin2 xJ sec x - tan xdx = sec x + C11. J csc x - c

2、ot xdx = - csc x + C1Jdx = arcsin x + C1 x 2(或 J 1dx = arccos x + C )1 x 21J1 dx = arctan x + C1+x21(或dx = arc cot x + C )1+x21Jsinhxdx =coshx+C15J cosh xdx =sinhx+CJ cot xdx = InSin x| + C常用不定积分公式和积分方法：2J tanxdx = 一lnos x| + Cdx1xJ= arctan + Ca 2 + x2aa4dx 1 -J= lnx 2 一 a 22a+C6J secxdx = ln|secx +

3、 tan x + CJ csc xdx = ln|csc x 一 cot x + CdxxJ= arcsin + Ca2 一 x2a8J d = ln x + 4x2+02 + CVx2 土a 2xa 2J xa2 一 x2dx =a2 一 x2 +arcsin + C2aJ Jx2 土a2dx = Jx2 土a2 lnx + Qx2 土a2 + C2 2第一类换元积分法（凑微分法）：f g(x)dx = f f P(x)P(x臨=f f P(x)dP(x)但并未明显做变换 FP(x) + C12第二类换元积分法(典型代换:三角代换、倒代换、根式代换):f g( x)dx 令令=)J g(p(

4、t)Jp(t)dt = f f (t )dt = F (t) + C = F P-1( x) + C注：要求代换申(t)单调且有连续的导数，且“换元须还原”13分部积分法(典型题特征:被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分) f udv = uv - f vdu14万能置换公式(针对三角有理函数的积分。“尽管万能但往往很繁，尽量不用”):x2u1 - u 22令 u = tan ，则 sin x =， cos x =， dx = du21+u21+u21+u215有理真分式Qn；彳(n m)分解定理:m(1)。分母Q (x)中如果有因式(x - a) km(k为正整

5、数)，则分解式中有下列k个最简分式之和:A A A+2+kx-a (x -a)2(x -a)k(A , A ,A都是常数)12k(2)分母Q (x)中如果有因式(x2 + px + q)k (k为正整数)，其中p2 -4q g(x)，则 Jb f (x)dx Jbg(x)dxaa推论 1:若在,b上, f (x) 0，则 Jb f (x)dx 0a推论2：若在a,b上f (x)可积，则f (x)在区间a,b上也可积，且Jbf(x)dx Jbf(x)dx5.估值定理：若在a, b 上, m f (x) M，则 m(b 一a) Jb f (x)dx g(x)，直线x = a及x = b (a vb

6、 )围成，则A=Jbf(x)-g(x)dxa若平面图形由曲线x = 9(y)， y =屮(y) (9(y)v(y)，直线y = c及y = d (a vb)围成，贝U a = J d 9 (y) 一屮(y)dyc(2) 曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：(看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小)x = 9 (t)，直线x = a、x = b (a vb)及x轴围成的曲边梯形，则y =v (t)A = flbydx =丿却(t加)dt，其中 t =9-i(a), t =-i(b) at112(3) 极坐标系下的面积公式：1若平面图形由曲线p = p(e)，射线0 =a及e = p (ap

7、 )围成的曲边扇形，则A = JPp 2(0脚2 a2立体的体积(1) 已知平行截面的面积,求立体的体积：已知立体垂直于x轴的截面面积为A(x)， a x )dxa(2) 旋转体的体积(a)由曲线y = f (x)，直线x = a、x = b (a g( x) 0)直线x = a及x = b (a 屮(y)直线y = c及y = d (c d)围成的图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积V = 2kxf dy9 (y)-V (y)dyc柱壳法)成的旋转体的体积V = kyfd92(y)-V 2(y)dyc薄片法)(c)由曲线x =9(y)，直线y = c、y = d (c V (y) 0)直线y =

8、 c及y = d (c g( x)直线x = a及x = b (a b)围成的图形绕y轴旋转形成的旋转体的体积V = 2kyfbxf(x)- g(x)dxa柱壳法)3平面曲线的弧长(a) 直角坐标系下的弧长公式(b) 参数方程下的弧长公式(c) 极坐标系下的弧长公式s = J1 + (y)2dx 或 s =1 + (x)2dyacs = f%9 2(t )+v 2(t)dtas = fp 2(0) +p 2(0 )d0a八定积分的物理应用(微元法分析)1.变力做功(用到的中学物理公式W = F - S (功=常力x距离)2液体的侧压力(用到的中学物理公式F = P - A (压力=压强x面积)

9、，P = p - g - h (压强=密度x重力加速度x深度)3.引力(用到的中学物理公式F = kMm，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解到各r2坐标轴上再用定积分)九. 广义积分：1. 无穷区间上的广义积分:设f (x)在下列给定的区间上连续，F(x)是f (x)的一个原函数，则(1) J+8 f (x)dx = F(+8)-F(a),其中F(+) = lim F(x),axt+8(2) J f (x)dx = F (b) - F (-8)，其中 F(-8)= lim F(x)-8xT-8(3) J+8f (x)dx = F(+8) F(-8)，其中 F(+) = lim F

10、(x)，F(-8) = lim F(x)-8x+8x-8若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。2. 无界函数的广义积分(瑕积分)：若lim f (x) = 8或lim f (x) = 8，则称x = g为f (x)的瑕点。设 f (x)在a, b)上连续，b 为瑕点，则 Jb f (x)dx = lim Js f (x)dxasb a(2) 设 f (x)在(a, b上连续，a 为瑕点，则 Jbf (x)dx = lim Jb f (x)dxat Ta + t(3) 设f (x)在a,b上除点x = c (a c b )外处处连续，c为瑕点，贝UJ b f ( x )dx = lim J s f ( x )dx + lim Jb f ( x )dxas T c - at T c + t若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。