现代控制理论知识点总结

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1、现代控制理论知识点总 结作者:日期:第一章控制系统的状态空间表达式1. 状态空间表达式x Ax Bu 口阶口：厂 1 y:m 1 A:n n B:n r C:m n D:m r y Cx DuA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；B为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C输出矩阵，表示 输出与每个状态变量间的组成关系，D直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。2. 状态空间描述的特点 考虑了 “输入一状态一输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 状态方程和输出方程都是运动方程。 状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n

2、阶系统有n个状态变量可以选择。 状态变量的选择不唯一。 从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c将一阶微分方程组 化为向量矩 阵形式，即为状态空间描述。 状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。3. 模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积 分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接 起来。4. 状态

3、空间表达式的建立 由系统框图建立状态空间表达式：a将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b每个积分器的输出选作Xj ,输入则为xi ； c由模拟图写出状态方程和输出方程。 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL和KCL列微分方程，整理。 由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式注意：a如果系统函数分子幕次等于分母幕次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。b模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反

4、馈点之前。P28c对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。 不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量Pi的求解：也就是求（J A）x 0的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型（A为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，1= 2, 3为单根，对特征矢量P1, P3求法与前面相同，P2称作1的广义特征矢量，应满足（1丨 A）P2P1。系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。6由状态空间表达式求传递函数阵W （

5、s）W（s） C（sl A） 1 B D m r的矩阵函数Wij Wij表示第j个输入对第i个输出的传递关系。子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W（s）。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。第二章控制系统状态空间表达式的解一线性定常系统齐次状态方程（X Ax）的解：x（t） eAt X。二矩阵指数函数一一状态转移矩阵At1. （t） eAt表示X（0）到x（t）的转移。5个基本性质。At2. eAt的计算:a定义；b变换为约旦标准型(或J)1ATAtet 1Te T或JtTeAt 1c用拉氏反变换e L （slA) 1记忆常用的拉氏变换对11(t) 1;

6、1(t); tssat2; e1nnsa ;tn!n1s;ted应用凯莱-哈密顿定理三线性定常系统非齐次方程（x AxBu ）的解: 。求解步 然给出拉氏变换法的求解思路）骤：x(t)atat2 72a)sst 2 2； cos t 2 2(t)x(t )t(t0然后将Bu）Bu（ ）d。可由拉氏变换法证明（当和（t）代入公式即可。特殊激励下的解。先求线性控制系统的能控性和能观性线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）eAt第三章能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）判别方法（一）：通过线性变换x Ax Buz T 1ATz T 1Bu1 若A的特征值互异，

7、线性变换（x Tz）为对角线标准型，111AT,能控性充要条件：T 1B没有全为0的行。变换矩阵T的求法。2 若A的特征值有相同的，线性变换（xTz ）为约当标准型1T 1 AT每个约当块对应的T 1B中最后一行元素没有全为0的，能控性充要条件：对应于相同特征值的部B中对应于互异特征根部分，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 判别方法（二）：直接从A,B判别T 1 T 1B、 。x Ax Bu能控的充要条件是能控性判别矩阵M （B, AB, a2 B, An旧）的秩为口。在单输入系统中，M是一个n n方阵;而多输入系统，M是个

8、n nr的矩阵，可通过rankM rank （MM t ）三线性定常系统的能观性判别x Ax判别方法（一）：通过线性变换yCxz T 1 ATz y TCz1 若A的特征值互异，线性变换 x Tz ）为对角线标准（换矩阵T的求法。型，2 若A的特征值有相同的，线性变换 X TZ ）为约当标准型,每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为0 的。的。变换矩阵T的求法。T 1 AT ,能观性充要条 TC中没有全为0的列。变 件：冶，能控性充要条对应于相同特征值的部分, 对应于互异特征根部分，对应的中各列元素没有全为0这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求 T、T 1、TC判别

9、方法（二）：直接从a, c判别六.2. 1能观性的充要条件是能观性判别矩阵N在单输入系统中，N是一个n而多输入系统，N是一个能控性与能观性的对偶原理CA的秩为n 1CAnon的方阵;nmn的矩阵,可通过rankMrank ( MM t )(Ay B1，C1) 2 (A2, B2,C2)TTT若 A2 A1T , B2 C1T, C2 B1T，则对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。与2对偶，则1能控性等价于2能观性，1能观性等价于2能控性。对偶。时变系统的对偶原理？ ？七能控标准型和能观标准型对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识, 方便。能控

10、标准丨型（如果已知系统的状态空间表达式）I I A I能观标准型比较判别系统的能控性。计算特征多项式n1an 1即可写出o求变换矩阵P1P1Ap1 0,0,1 b,Ab, An111B1。求p An1Tc11，计算Tc1 1bCTc1，也可以验证是否 有能控标准|型1A Tc1 ATc1判别系统的能控性。计算特征多项式11n1an 1a1ao,即可写出A o求变换矩 阵Tc2 b,Ab, , An ib。求Tc2 s 计算b Tc2ibcTc也可以验证是否有A Tc2 lATc2。3.能观标准I判别系统的型观性。计算特征多项式|A|n1an 1a0,即可写出A。求变换矩阵1T 1o1cA。求T

11、o1，计算n 1 cATo1 becT110，也可以验证是否有A To1 ATo1。4.能观标准11判别系统的能观性。计算特征多项式|n1an 1a0 ，即可写出A。求变换矩阵To2T1，AT1,An1T1,T1cA。求T02，计算b1b c cTO2 0 0502也可以验证是否有A To211ATo2n 1 cA5.W(s)如果已知传递函数阵，可直接写出能控标准I型和能观标准II型的状态空间 表达。忖 n 3 sSn 1 n 210Sn1n1n 11s能控标准I 型：01能观标准II型:a0a1八线性系统的结构分解1按能控性分解（状态不完全能控, 即a0a1a2n21an 1n1ran kM

12、n1n），通过非奇异 变换X Rcx ?完成。a2nRCr1r2Rn1Rn ,前n1个列矢量是M中n1个线性无关的列，其他列矢量保 证Rc非奇异的条件下是任2按能观性分解(状态不完全能观，即rankN ni n),通过非奇异变换x R。x?完成。R1R2，前叫个行矢量是N中巴个线性无关的行，其他行矢量保证Ro 1非奇异的条件下是任意的。niRn3按能控性和能观性分解(系统是不完全能控和不完全能观的)，采用逐步分解法，虽然烦琐，但直观。步骤：首先按能控性分解(xc能控状态，xc不能控状态)。对不能控子系统按能观性分解(xco不能控能观状态，xc。不能控不能观状态)。将能控子系统按能观性分解(xc

13、o能控能观状态，xc。能控不能观状态)。综合各步变换结果，写出最 后的表达式。另一种方法：化为约当标准型，判断各状态的能控性能观测性，最后按4种类型分类排列。九传递函数阵的实现问题1实现的定义：由W(s)写出状态空间表达式，甚至画出模拟结构图，称为传递函数阵的实现问题。条件：传递函数阵中每个元的分子分母多项式都是实常数；元是s的真有理分式。注意：如果不是有理分式，首先求出直接传递矩阵D lim W(s)。2能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，W (s)是有理分式，可直接根据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观标准2型实现。多输入多输出系统，W(s)W(s)n 1sn 2sn 1n 1n

14、 2是矩阵，将W(s)整理成和单入单出系统传递函数相类似的形式，即n 1 n 2 1s 0 ;此时的 1 n 1是血r维常数阵。其能控标准型和能观标准型实现与单入单出系统类似，只是各矩阵中的0变为全零矩阵，1变为单位矩阵I,常数变为常数 乘单位矩阵，即a0a0I o注意：能控标准型实现的维数是n r ；能观标准型实现的维数是n m。3最小实现(维数最小的实现)x Ax Bu为W(s)最小实现的充要条件是(A，B,C)是完全能控能观的。步骤：对给定的W (s)y Cx，初选一种实现(能控标准型或能观标准型)，假设选能控标准型，判断是否完全能观测，若完全能观测则就是最小实现；否则进行能观性分解，进

15、一步找出能控能观部分，即为最小实现。 注意：传递函数阵W ( s)的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。十传递函数W (s)中零极点对消与能控性和能观性之间的关系对单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，系统能控能观的充要条件是传递函数没有零极点对消。而对 多输入多输出系统，传递函数阵没有零极点对消只是最小实现的充分条件，也就是说，即使存在零极点对消，系统仍 有可能是能控能观的（P147例3-19）。对单输入单输出系统，若传递函数出现了零极点对消，还不能判断到底是不能控还是不能观，还是既不能控又不能 观。第四章稳定性与李雅普诺夫方法一. 稳定性的定义李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的

16、稳定性定义。1平衡状态X f（x,t）为齐次状态方程。满足对所有t,都有f （xejt） 0成立的状荼矢称为系统的平衡状态。稳定性问题 都是相对于某个平衡状态而言的。通常只讨论坐标原点处的稳定性。2稳定性的几个定义李雅普诺夫意义下稳定，（相当于自控里的临界稳定）；渐近稳定，（相当于自控里的稳定）；大范围渐近稳定，大范围渐近稳 定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；不稳定。二. 李雅普诺夫第一法（间接法）1线性定常系统的稳定判据状态稳定性：平衡状态Xe 0渐近稳定的充要条件是A的所有特征值具有负实部。输出稳定性：充要条件是传递函数的极点位于S 的左半平面。2非线性系统的稳定性线性化处理。X

17、 A x ； A f ,若A的所有特征值具有负实部，则原非线性系统在平衡状态xe渐近XX xe稳定。若A的所有特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态xe不稳定。若若A的所有特征值至少 有实部为零，则稳定性不能有特征值的符号来确定。三李雅普诺夫第二法（直接法）借助于一个李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出判断。1 预备知识V（X）是由n维矢量X定义的标量函数，且在X 处，恒有V（x） ,对任何非零矢量X,如果V（x） ,则称之为正定；如果V （x） ，则称之为负定；如果V （x） 则称之为半正定或非负定；如果V （x） 则称 之为半负定或非正定；如果V（x） 或V（x） ,则

18、称之为不定。V（x） xt Px为二次型标量函数，P为实对称阵。要判别V （x）的符号只要判别P的符号即可。P的定号判据（希尔维特斯判据）：首先求出P的各阶顺序主子式i，若所有的i ,则P（V（x）正定；若i 偶 数的i 奇数的i 则P （ V （ x）负定；2李雅普诺夫函数对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数V（X），而V（X）是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这 个标量函数V（X）叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫第二法的关键问题就是寻找李雅普诺夫函数V（X）的问题。3稳定性判据 设X f(X)，平衡状态为X0，如果存在标量函数v ( X)是正定的，即(k时，有V (x) 0,x 0

19、时，有V(x) 0,且满足V (x) 0，则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当x时，V (x)则系统是大范围渐近稳定的。 设x f (x)，平衡状态为x0，如果存在标量函数V ( x)是正定的，即0时，有V (x) 0,x 0时，有V(x) 0,且满足V(x) 0,但除x 0夕卜，即x 0 , V ( x)不恒等于o,则称原点平衡状态是渐近稳定的；如果当x 时，V (x)，则系统是大范围渐近稳定的 设x f ( x),平衡状态为xe0，如果存在标量函数V ( x)是正定的，即x 时，有V(x) 0, x0 时，有 V(x)0,且满足V (x) 0，但任意的X ,V (x)恒等于0,则称原点平衡

20、状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 设X f ( X),平衡状态为xe0 ,如果存在标量函数V ( X)是正定的，即X 时，有V(x) 0, X0 时，有 V(x) ,且满足V(X)0 ,则称原点平衡状态是不稳定的需要注意：这些判据定理知识充分条件，也就是说，没有找到合适的李雅普诺夫函数来证明原点的稳定性，不 能说明原点一定是不稳定的。如果V(X)是可找到的，那么通常是非唯一的，但不影响结论。V(X)最简单的形 式是二次型标量函数，但不一定都是简单的二次型。构造V(X)需要较多技巧四李雅普诺夫方法在线性系统中的应用1线性定常连续系统渐近稳定判据定理：X Ax,若A是非奇异的，原点xe0是唯一的平衡

21、点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵Q,李雅普诺夫方程At P PA Q ,存在唯一的对称正定解P。该定理等价于A的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值复杂。步骤：选定正定矩阵Q,通常为Q 1 ，代入 李雅普诺夫方程，确定出P，判断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。第五章线性定常系统的综合综合：常规综合，使系统性能满足某种笼统指标要求；最优综合，使系统性能指标在某种意义下达到最优。一线性反馈控制系统的基 本结构及其特性1状态反馈将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。K称为状 态反馈增益阵，r n。设原受控系统0

22、(A，B,C) ,D=0。状态反馈闭环系统的状态空间表达式X (A BK )x Bvy Cx简称K(A BK ,B,C)与原受控系统 ( A, B, C)比较，状态反馈增益阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择改变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。2输出反馈由输出端y引入输出反馈增益阵H( r m ),然后反馈到输入端与参考输入相加，作为受控系统的控制输入。状x ( A BHC ) x Bv态空间表达式为y Cx简称 h( A BHC, B,C)通过H的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能，但可供选择的自由度远比K小(通常m n )3从输出到状态变量导数X的反馈 从

23、输出y引入反馈增益阵G( n m )到状态变量的导数 x ,所得状态空间表达式为x ( A GC ) x Buy Cx简称 H ( A GC， B， C)通过G的选择也可以改变闭环系统的特征值，从而改变性能。以上三种反馈的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维，其次，反馈增益阵都是常数矩阵，反馈为 线性反馈。4闭环系统的能控性与能观性a状态反馈不改变受控系统o(A，B，C)的能控性，但不保证系统的能观性不变。b输出反馈不改变受控系统o (A，B，C)的能控性和能观性。二极点配置问题就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所希望的动态性能。只讨论单

24、输入单输出系统1采用状态反馈对系统0(A，b，c)任意配置极点的充要条件是0完全能控。给定0 ( A，b,c)，给定期望的极点，设计状态反馈控制器的方法：能控规范型法，适合于n 3。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。通过线性变换x Tcix化为能控标准1型，得到(A,b,C)。加入状态反馈增益矩阵K ko， ki， ，kn 1 ,得到闭环系统K (A bK,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f () 1 1 (A bK)l。由给定的期望极点，求出期望的闭环特 征多项式f*( )(i*)。将f()与f*()比较，即可得到Kk0，k1，kn1 。把对应与的1K ,通过K K

25、 Tc1 ko , k1，kn。进一步画出模拟结构图。当阶次较低时，n 3,可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反馈增益矩阵K k0，k1，1，不通过非奇异变换，使设 计工作简单。首先判断是否完全能控，是，则存在状态观测器。加入状态反馈增益矩阵K k0，k1，1, 得到闭环系统K (A bK，b，c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f()丨1 (A bK) I。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f *( ) ()。将f ()与f *()比较，即可得到K k0,k1，kn 1。进一步画出模拟结构图2 采用输出反馈注意，如果给定的是传递函数，则先画出其要求的模拟结构图，写出状态空

26、间描述，然后做其他工作。不能任意极点配置，正是输出线性反馈的基本弱点0完全能观。3 采用从输出到x的反馈 对系统o (A,b,c)任意配置极点的充要条件是设计0从输出到X的反馈阵G的问题就是其对偶系统0设计状态反馈阵K的问题。方法：(1)能观标准型法,适合于口 3。首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈G。通过线性变换X To2X化为能观标准2型，得(A，b , c )。加入输出反馈增益矩阵Ggo，gl，gnt环系统G(A Gc,b,c)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f ()丨IA G C)1。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f *()(*)i。将f()比较，即可得到G

27、g0, g,T，gn 1 t。把对应与的G，通过G TO2Ggn 1 进一步画出模拟结不通过非奇异变换，构图。当阶次较低时，n 3,可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态反馈增益矩阵使设计工作简单。首先判断是否完全能观，是，则存在输出反馈G加入从输出到x的反馈增益矩阵G g0，g1，gn 1，得到闭环系统G (A Gc，b,C)状态空间表达式，求出对应的闭环特征多项式f()11 (A Gc)丨。由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f * ( )( i* )。将f()与f * ()比较，即可得到G g0，g1， ，gn 1。进一步画出模拟结构图。五状态观测器作用：闭环极点的任意配置、系统解

28、藕以及最优控制系统都离不开状态反馈。但状态变量并不是都能直接检测，有 些根本无法检测，这就提出状态观测或状态重构问题。龙伯格提出的状态观测器理论，解决的状态重构问题，使状态反 馈成为一种可实现的控制律。x?一个状态观测器。构造原则：0必须是完全能观或不能观子系统是渐近稳定的；的输出x?应以足够快的速度渐近 lim 1 y y?1 lim |cx cx?| lim |c (x x?)| 0。同时，引入反馈阵g,使系统的特征值具有负 实部。2.于数)等价性指标X ；?在结构上尽可能简单(具有尽可能低的维以便于物理实现动态系统x? Ax? Bux Ax Bu yy cx?原系统cxx x? A( x

29、 x?)得到 x x?eAt (x0x?只要系统是稳定的，即A的特征值具有负实部， 重构状态方程原因：系统的状态是不能直接量测的，因此很难判断是否有就可做到X?与X是稳态等价的。X?逼近于X :不一定能保证A的特征值均具有负实部。克服这个困难，用对输出量的差值y y?的测量代替对状态误差x x?的测量，当lim 1x x?状态重构方框图为P213 5.16 (a)要求熟练记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。状态观测器方程为这里的G称为输出误差反馈矩阵。可以证明，如果 减到0,即估计状态X?逼近于实际的状态X。逼近的速度取决于GX? Ax? Bu G (y y?) (A GC) x? Gy Bu

30、 ?y? Cx?记为(A GC,B,G)A GC的特征值具有负实部，那么状态误差X x?将逐渐衰 的选择，即A GC的特征值的配置。4 观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。观测器存在的充要条件是0不能观子系统是渐近稳定的。六利用状态观测器实现状态反馈的系统(带观测器的状态反馈闭环系统)1系统的结构与状态空间表达结构框图要非常熟悉P221图5.21前提：受控系统完全能控能观，状态反馈闭环系统和观测器都可以 任意极点配置。状态观测器G(A GC，B，G)X? Ax?Bu G(y y?)(AGC)x? Gy Buy?Cx?反馈控制率u v Kx?XAxBKx Bv*3式整

31、理得整个闭环系统的状态空间表达式X?GCx(AGC)x?Gy Bv也可写成矩阵形式yCx显然，这是一个2n维的闭环控制系受控系统0 J bc x Ax B汰1式y Cx2闭环系统的基本性质(1) 分离性 复合系统(由观测器构成的状态反馈闭环系统)其特征多项式等于矩阵A BK和A GC特征多项式的乘积。即闭环系统的极点等于直接状态反馈(A BK )的极点和状态观测器(A GC)的极点总和，且相互独立。所以输 出误差反馈阵G和状态反馈阵K可以分别进行设计。(2) 传递函数矩阵的不变性1可以推出复合系统的传递函数为W (s) Csl (A BK) 1B，等于直接状态反馈闭环系统的传递函数。或者说它与

32、采用观测器反馈无关。(3) 观测器反馈与直接状态反馈的等效性稳态时，两者等价。选择k,可以改变闭环系统的极点到期望极点，从而改善系统性能。选择G,可以改变观测器的极点，从而加速使状态误差X X?衰减到0。一般取观测器的极点比闭环系统的期望极点(A BK ) 的极点)略负，既保证状态误差有较快的衰减速度，又不致引人更多的噪声干扰。3 设计步骤(只给出低阶系统的设计步骤):判断原受控系统的能控性能观性，是完全能控能观，则状态反馈阵K和观测器输出误差反馈阵G存在，且闭环系统和观测器极点可以任意配置。设计状态反馈阵K：求A BK的特征多项式fK ()，由期望的闭环极点得期望的特征多项式fK ()，比较系数，从而得到K。设计观测器输出误差反馈阵G:求A GC的特征多项式fG ();期望的配置极点得期望的特征多项式fG* ()，比较系数，从而得到G。给出观测器方程即次2式。结合次由观测器1式和*3式，画出相应的模拟结构图。