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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A4.3.1 4.3.1 函数项级数函数项级数 4.3.2 4.3.2 幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛半径4.3 4.3 幂级数幂级数第第4 4章章 无穷级数无穷级数4.3 4.3 幂级数幂级数4.3.1函数项级数函数项级数函数项级数的定义函数项级数的定义收敛点与收敛域收敛点与收敛域和函数和函数4.3.2 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性 幂级数的定义幂级数的定义 阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理 收敛半径与收敛域收敛半径与收敛域 标准幂级数收敛半径的求法标准幂级数收敛半径的求法 标准幂级数收
2、敛域的求法标准幂级数收敛域的求法习例习例1 一般幂级数收敛域的求法一般幂级数收敛域的求法 一般幂级数收敛域的求法一般幂级数收敛域的求法习例习例2-3 内容小结与思考内容小结与思考 注解注解演练例题演练例题幂幂 级级 数数一、函数项级数一、函数项级数 1.1.定义定义 2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注意注意:3.3.和函数和函数 (定义域是定义域是?)(1)函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是数实质上是数项级数的收敛问题项级数的收敛问题.的收敛域的收敛域.例如例如,等比级数它的收敛域收敛域是
3、它的发散域是或写作又如又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 1.1.定义定义 注注1 1 因经变换后因经变换后,幂级数幂级数(1)(1)与与(2)(2)可相互转化可相互转化,故下故下面主要讨论形式面主要讨论形式(1)(1)的幂级数的幂级数.类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。例例 1 解解2.阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理 证证由结论由结论(1),注意注意:Abel定理对标准幂级数给出定理对标准幂级数给出.几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域推论推论3.3.收敛半径与收敛域、收敛区间收敛半径与收敛域、收敛区
4、间 定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的幂级数的收敛区间收敛区间 是是开开区间区间规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?幂级数的幂级数的收敛域收敛域包括幂级数的包括幂级数的收敛区间及端点情况收敛区间及端点情况.4.标准幂级数收敛半径、收敛域的求法标准幂级数收敛半径、收敛域的求法 定理定理2证证则比值审敛法得：则比值审敛法得：1定理证毕定理证毕.例例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域求下列幂级数的收敛半径和收敛域标准幂级数收敛域的求法习例标准幂级数收敛域的求法习例解解收敛收敛.绝对收敛绝对收敛.解解发散发散.发散发散.解解解解5.一般幂
5、级数收敛域的求法一般幂级数收敛域的求法方法方法 1.(2)由标准幂级数收敛域的求法可得：由标准幂级数收敛域的求法可得：方法方法 2.(用比值法讨论用比值法讨论)例例 3 一般幂级数收敛域的求法习例一般幂级数收敛域的求法习例例例 3解解方方法法一一 方方法法二二 由比值法得，由比值法得，注意注意:(3)求一般函数项级数的收敛域时求一般函数项级数的收敛域时,可直接用比值法讨论可直接用比值法讨论.解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数绝对收敛级数绝对收敛,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为注解注解 我们所说的我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域求
6、幂级数的收敛半径及收敛区域”都是都是如如对标准幂级数对标准幂级数而言的而言的;但形但形非标准幂级数非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域下步骤求收敛半径和收敛区域:直接用上述方法求直接用上述方法求收敛半径和收敛区间收敛半径和收敛区间,却不能却不能而只能是采用如而只能是采用如第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数 如令变量代换 第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间;第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域.或用达朗贝尔判断方法去判断 。演练例题演练例题 求下列幂级数的收敛半径及收敛域:例例 求下列幂级数的收敛半径及收敛域:则原级数变为则此幂级数的收敛区间为(-1,1).而当t=-1时,级数 收敛;而当t=1时,级数 发散.故当-12x+11时,即-1x0时,级数收敛.解解即原级数收敛域为-1,0),收敛半径为则原级数变为由(1)知,则此幂级数的收敛区间为-1,1).时,原幂级数收敛.即原级数收敛区间为-2,2),收敛半径为R=2.
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