汽车维修站模型

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1、汽车修理摘要本文通过对汽车维修服务系统的研究，建立了泊松模型，同时也针对一个服 务系统多个服务台的问题建立了 M /M /C模型，而在维修时间区间的确定上采 用了指数函数模型。首先对附表一中维修车辆数与天数间的数据关系进行统计分 析，并与泊松模型进行对比，从而确定了汽车到达为泊松流，进而解决工作台的 利用率等问题。通过负指数模型确定了汽车维修的预定区间。问题一，要求的是汽车维修服务系统所有工作台的平均利用率(即平均工作 强度)P。在确定为泊松流后，根据已知数据确定九,c,卩即可求得平均利用率为 81.15%。该平均利用率比较高。问题二，在汽车维修服务系统中，当到达的汽车数超过工作台的数量时，即

2、 顾客需要等待修车。所以当n c时概率P (n c)为顾客需要等候修车的可能n性。运用Little公式根据泊松模型的相关内容即可得到等待维修的平均水平 正在维修的平均水平问题三，根据已知条件确定一个工作台中规定三个工作台的模型，从而简化 模型，所以只要确定最佳工作台的数量，就可以得到最小费用，这就符合了 M /M /C模型，其中针对工作台数量 的运算采用了边际分析方法。得到的最 佳工作台的数量为3,即三个工作台，9个工作人员，费用为2488.4问题四，当汽车到达服从泊松流，工作台中的汽车修理服务时间则服从负指 数分布。于是，本文对附表二中汽车服务时间进行了数据处理，从而拟合出负指 数函数，建立

3、负指数模型。得到汽车大致的修理完成区间为20,155.56,置信度为 0.7。最后我们对所建立的模型进行了客观的评价，提出模型的优点与不足。一、问题重述1.1基本情况对于一个特定的汽车修理点来说，在某一时刻，到达的顾客数量超过了汽车 修理点的容量，顾客就必须排队等候，但如果顾客到达后需要排长队，就会造成 顾客流失，有些顾客将不愿长时间等候而另求服务，这对于汽车修理点来说是一 种损失。因此，作为汽车修理点的管理者，应根据自身的服务条件一一人员和 设备状况，考虑如何组织好修理生产，提高服务效率，以缩短顾客排队等候的时 间，为尽可能多的顾客服务。同时，还应考虑如何降低服务成本，提高效益， 使整个系统

4、达到最佳运行状态。该汽车修理点有三个工作台，共有九个维修技术工人。修理点的排队规则为 顾客到达服务机构时，若所有服务台都被占用，则按先后次序单列排队等候服 务。服务规则为先到先服务，即按到达的先后次序接受服务。如何得到系统的相 关信息对顾客及管理者都具有重要的意义。1.2有关信息附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料：附表一：该维修点2008年8月至2009年7月修理汽车数量的原始记录资料（统 计间隔时间均为一天，总天数为356天）。附表二：汽车修理服务时间记录表。1.3问题提出请根据这些数据资料，利用数学建模的方法，解决如下问题：（1）通过计算工作台的利用率并分析结果。（2）计算汽车需排队

5、候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均 水平，并给出你的建议。（3）从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。（4）根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间 区间（5）提出较好的改进或者管理建议？二、问题分析问题一：首先假定三个服务台的工作效率是相同的，即工作台的利用率为平 均利用率。在泊松模型中平均服务强度= 工作台的数量已知，只要对进行统计 分析，得到P再对其结果进行分析检验即可。问题二：在汽车维修服务系统中，顾客是否需要排队等候跟顾客数和工作台 数量有关。在对汽车需要排队侯修的可能性的问题上，只要计算工作台的空闲概 率或忙时概率就可得出相关结果。对等

6、待修理与正在修理的汽车平均水平的问题上，排队模型中的公式提 供了很好的解决方案。只要根据泊松模型得到 等数据，就可以算出问题三：在汽车维修服务系统中，每天的成本费用是所有服务台每天的服务 成本费用和当天所有汽车因汽车故障造成的损失费用之和。为使费用最少，就必 须合理安排汽车维修点的人员和工作台的数量。为使模型简单，我们假定一个工 作台有三个工作人员，从而确立只需工作台的数量来确定最少费用。问题四：由附表二我们试图建立满足负指数分部的服务时间概率密度分布函 数，但由初步分析拟合结果发现不太好，所以需要找到一个合理的函数，通过设 定适当的置信度来得到有现实意义的置信区间。三、模型假设1假定服务时间

7、的分布是平稳的2假定该系统处于平衡状态3假设3个工作台的效率相同四、符号说明n汽车维修点的顾客总数平均到达率，即单位时间内平均到达的汽车数 平均服务率，即单位时间内服务完毕的顾客数 维修点有个顾客的概率 工作台的台数维修点的平均顾客数L q平均等待的顾客数顾客在汽车维修点的平均逗留时间 顾客在汽车维修点的平均维修时间 工作台的平均利用率 顾客汽车维修时的平均水平 单位时间（一个工作日）五、模型的建立与求解汽车维修模型的建立我们假设该汽车修理模型服从M/M/C模型，即汽车到达为泊松流。 n设单位时间内（一个工作日）到达 辆汽车的概率为 P =（九 T ） n e 一九 T / n !状态1转移到

8、状态0：即系统中有一名顾客被服务完了（离去）的转移率为卩p1 。状态2转移到状态1：两个服务台上被服务的顾客中有一个被服务完成而离去。因为不限哪一个，于是状态的转移率为2卩p2 。状态n转移到n-1：当n - C时，状态转移率为nc个顾客在被服务,n c当时，因为只有c个服务台，最多有cpp个顾客在等候，因此这时状态转移率应为nc由图可得d P =九P1 0(n +1)卩P + 九P =(九 + np)P (1 n c)n+1n-1nc pP + 九P =(九 + c p)P(nc)n+1n-1n兰 p = 1P 1这里i，且i=1用递推法解上述差分方程，可求得状态概率。c! 1_ P (p

9、丿n!c! cn-c ( P 丿因为另(n c)P,n=L nP=另n+cn=c+1n=1c !cnn=1n(cP )n+cP， 0=右边丿系统的运行指标为: 平均队长Pc!(1 - P )20平均等待时间和逗留时间可由Little公式求得,(1) L =九 Wss1 w = W +_ s q 卩(2) L =九 Wqq L = L +s q 卩九T 单位时间内汽车到达的平均数为平均到达率1.利用上述汽车维修模型计算工作台的利用率根据附表一可以得到九T = 3128 = 8.788车次，356入=1.0983车次/小时，由此，我们对附表一 2008年8月一2009年7月汽车修理数量表进行统计整

10、 理，结果如下表格11车次12345678天数419321622422521概率0.0112360.0533710.0898880.0449440.0617980.117980.0702250.058989910111213141516391717271092370.109550.0477530.0477530.0758430.028090.0252810.0646070.01966317181920212223241075210010.028090.0196630.0140450.0056180.002809000.002809对此，我们通过Matlab统计工具箱中的plot命令可以得到图形

11、一从图中可以看到，此模型是合理可信的。因为汽车到达服从泊松流，则工作台的利用率P=。通过附表2,我们cy可以得到y =0.4511 ,则工作台的利用率为81.15%。结果分析：我们假定一个工作日是八个小时，则工作台的平均利用率为81.5%，所 以我们可以得到三个工作台的平均利用长度为1.518小时。这个空闲时间长 度并不能说明每天汽车数量是有限源。有存在一种可能，则是因为工作台忙 碌的原因，而造成一些汽车顾客的流失，从而影响了空闲时间长度。但是从 总体上来看，工作台的平均利用率是比较高的。2.在问题一的求解结果下，利用汽车维修模型求解问题二中的汽车 需排队维修的可能性，及等待维修与正在维修的汽

12、车的平均水平。-1从前面的汽车模型，我们可以得到当所有的工作台都是空闲时(即顾客不用 等待)的概率1 1+ c! l p由已知条件和问题一，我们可以得到c = 3 p = 0.8115卩=0.4511而当n c时即来到汽车维修点的顾客总数大于工作台的数量时1九丫Pn = c !cn-c j 卩丿由此，可得汽车需要侯修的可能性为：P(n 3) = P(n = 3) = 12.77%首先我们对等待修理的汽车平均水平 Wq和W正在修理的汽车平均水平 建立模型根据Little公式，可以得到(1) L =入 Wss1 w = W +_ s q 卩(2) L =入 Wqq L = L +s q 卩在模型解

13、释中写到排队系统的运行指标九屮,Po，通过Matlab命令可以得到左1丄11-1P =+ =0.05220k!L k =0c !LpIh丿-L =L 二兰(n -c)P=(Cp)c pP =3.4597qqn=c+1nc!(1-p )20由此，我们可以得到平均队长L二L + 二5.8 943s q 卩顾客平均等待时间W二匕=3.1501q 九顾客平均逗留时间 W = 土 = 5.3667s 九我们设定顾客在维修点的平均逗留时间平均等待时间和顾客平均修理 时间三者的关系为W + W二Wq S所以顾客汽车平均修理时间W二W -W二2.216S q3.从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配

14、置。首先我们假定一个工件台固定由三个工件人员负责，所以我们就可以建立标 准的M/M/c模型，且在稳态情形下，这时单位间全部费用(服务成本与等待费用之和)的期望值(31)z = c c + c Lsw其中c是服务台数；c是每服务台单位时间的成本；c为每个顾客在系统 sw停留单位时间的费用;L是系统中顾客平均数Ls或队列中等待的顾客平均数Lq。 因为c只取整数，z(c)不是连续函数，故采用边际分析法。根据z (c*)是最小的特点，有(32)z(c*) z(c* -1)z(c*) z(c* + 1)将(32)式中z代入，得c c* + c L(c*) c (c* -1) + c L(c* -1)sw

15、swc c* + c L(c*) c (c* +1) + c L(c* +1)swsw上式化简后，得L(c*) - L(c* +1) cs / c L(c* -1)- L(c*)依次求L的值，并作两相邻的L值之差，因c /c是已知数，根据这个数落在s w哪个不等式的区间里就可定出C；工件台利用率:aP 二 c卩队列中平均顾客数:pp00.1 - pP00(cpP0factorial (c)(l- p)顾客在队列中平均等待时间：Wq=aLp系统中平均顾客数:s=训qL = a (Wu +1)u qp所有服务台是空的概率Po, P0-1 1k!_ k = 0k+ c! 1_p (卩丿Pol=(l+

16、(c *p)c/(fac torial(c) *( 1-p)厂(T);Po2=(l+(c *p)l/fac to rial(1) + (c *p)c/(fac to rial(c) *(l-p)厂(-1); Po3=(1+(c *p)1/fac torial(1) + (c *p)2/fac torial(2) + (c *p)c /(fac torial(c) *( 1-p)厂(-1);Po4=(1+(c *p)1/fac torial(1) + (c *p)2/fac torial(2) + (c *p)3 /fac to rial(3) + (c *p)c/(fac torial(c)

17、*(1-p)厂(-1);Po5=(1+(c *p)1/fac torial(1) + (c *p)2/fac torial(2) + (c *p)3 /fac to rial(3) + (c *p)4/fac to rial(4) + (c *p)c/(fac to rial(c) *(1-p)(-1);Po6=(1+(c *p)1/fac torial(1) + (c *p)2/fac torial(2) + (c *p)3/fac to rial(3) + (c *p)4/fac to rial(4) + (c *p)“5/fac to rial(5) + (c *p)c/(fac t o

18、rial(c) *(lp)厂(T);Po7=(l+(c *p)l/fac torial(l) + (c *p)2/fac torial(2) + (c *p)3/fac to rial(3) + (c *p)4/fac to rial(4) + (c *p)“5/fac to rial(5) + (c *p)6/fac to rial(6) + (c *p)c/(fac torial(c) *(l-p)厂(-1);设工件台为c ，计算c=1,2,3,4,5,6,7,根据Little公式，可得如下表格 ,单位时间指定是一天。表3-1c1234567入/cp2.43461.21730.811530

19、.608650.48690.40580.3478Wq p1.4210.22980.0560.01440.0036Ls5.89432.9942.5712.46962.4433表3-2工件台cLsL(c)-L(c+1)L(c)-L(c-1)总费用z(c)1oooo2oooo35.89432.9003 o2488.4( *)42.9940.423 2.90032831.452.5710.1014 0.4233422.162.46960.0263 0.1014404572.44334675.3c s / c /=6.33，落在区间2.9003内，所以c=3。即以设3个工件台使总费w用为最小，直接代入(

20、3-1)式也可验证总费用为最小。z = c sc + c L = 2488.44.通过统计分析给出较好的维修时间的置信区间通过对附表二数据的分析我们得到以维修时间为x轴，维修车辆数为y轴的 统计结果，并对统计结果进行计算、分析，得到以维修时间为x轴，以该维修时 间上所对应的维修车辆数的概率密度为y轴的统计结果，并拟合得到函数具体形 式。对附表二统计分析以40为步长，0为起点得到以维修时间为x轴，处在各段维修时间长度的 汽车数量为y轴的条形统计图：以维修时间为x轴，该维修时间段上汽车数量i为y轴的条形统计图 图一将各段上的频数除以总数100得到各段时间上的频率p,再将频率除以步长1 得到该段上的

21、概率密度pi100以汽车维修时间为x轴，概率密度p为y轴绘制散点图:以维修时间为x轴，以维修车辆数在对应维修时间上的概率密度p为y轴的散 点图-图二从散点图中可以看出近视符合指数函数分布（在模型中我们认为是负指数函 数分步，为了结果计算的精确性我们在此只认为是指数函数分布），利用 MATLAB软件我们可以比较容易的得到拟合度较高的函数形式。用MATLAB拟合上述散点得:散点拟合图 图三 拟合结果为：General model Expl:f(x) = a*exp(b*x)Coefficients (with 95% confidence bounds): a =0.3879 (0.30& 0.4

22、678)b =-0.3077 (-0.3881, -0.2274)Goodness of fit:SSE: 0.002369R-square: 0.9591Adjusted R-square: 0.9523RMSE: 0.01987可以得到函数表达式为：f (X) = 0.3879 e0.3077 X从上述拟合结果可以看出拟合度接近1,标准差RMSE： 0.01987较小。可见用 指数函数拟合维修车辆数的概率密度p与维修时间的x间的函数关系是合理的。置信区间的计算从拟合函数图(图三)可以看出函数单调递减，在x=0附近的有极大值，即概 率密度p在x=0附近较大，随x的增加概率密度p递减。在本题中

23、即为维修车辆的数量随维修时间的增加而减小。所以维修人员应回答车主维修时间的区间应该在维修车辆数量较集中的区间，即 维修时间所在区域的概率密度较大的区间。在所给数据中有30min为最小值，因此我们可以知道车辆维修所需时间的最小值 应该小于等于30min，并且大于Omin。从实际情况来分析在此我们假设最少时 间为20分钟，对应x轴上x最小值0.5。设我们给定置信度为a,置信区间为0.5,b.有a = b f（x）dx = b 0.3879 e-0.3077 xdx0.50.5积分后得到e - 0 . 3 0b 7-7 e -X0 . 5 金.-0.777 9 3 a移向后求对数并化简得b 二ln（

24、0.8574 0.7932a）0.3077（1）由上式得e 0.3077 a0.7932e - 0.5 x 0.30770.7932=1.0809这是由于积分下限所致的限制条件，同时若a取值太大将会得到很大的置信区 间，这将会使其失去实际意义。但a作为置信度又不能太小，于是我们综合考虑 各宗因素将置信度a取为0.7。所以，将a=0.7带入（1）式计算得b=3.889对应维修时间为40b=155.56min所以置信度为0.7的置信区间为20，155.56因此维修工作人员应该给车主提供置信度为0.7的置信区间20,155.56较为合理。六、模型的评价与推广本模型利用了 M / M / C模型进行了

25、相关的计算，比较简单，容易 理解。由于给出的数据较少，再加上相关的统计知识的不足，对汽车 到达时间间隔及汽车服务时间的分布拟合不是特别好,存在一定的误 差。该模型也可以运用到相似的单队列多服务台的排队模型。七、参考文献雷渝、杜金玲、李永福 编著，中国电力出版社，2007.8;排队论 八、附录附表一 2008年8月2009年7月汽车修理数量统计表单位：（辆）年月2008 年2009 年日8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月7月期115616661591215182915121219156101196315761793376969421921510465125885912731817

26、333117561643209246156177724361279127121458892863152561531091651814112415146111210101529466619939111787126733921261231013121239121116138138161015981991271813141161143151241326615713755347211121016137611129115961591711586176199591431810113765121413109192031107717811858201041395331612917102145611312127

27、16362258157626111528152382146247131417111324149612159591271592510101549310168332613113159982394279816212636412528187971718218598291551910439564302141768912676315721082统计 天数313031303124263130313031附表二汽车修理服务时间记录表编号服务时间（分）编号服务时间（分）编号服务时间（分）编号服务时间（分）编号服务时间（分）118021146412516112581352340221054284621208258

28、340232734322363908314241652435544212641108460535251724583651158514063422658465466168868675427175471606764871388140281654817368255889091382960491946918689115106630355040701349013011393115851907118591173128532120523507284922151330333553707346933714703440545574208942601550359555310756595461611636605625

29、676305963001710837705717677409776181723865587078339865194039100591427923999302202004070608080160100260部分编程代码：%泊松分布拟合x=l:l:24;y=4/356 19/356 32/356 16/356 22/356 42/356 25/356 21/356 39/356 17/35617/356 27/356 10/356 9/356 23/356 7/356 10/356 7/356 5/356 2/356 1/356 0 0 1/356l=9;k=1:1:24;Px=poisspdf(

30、k,3128/356);a=0.756;b=0.003;f=a*Px+b;plot(x,y,k+,k,f)grid%M/M/c模型计算p=a/(c*u)Poo=(c*p)Ac*Po/(factorial(c)*(1-p)Lp=p*Poo/(1-p)Wq=a*Lp s=Wq*uL=a/u*(Wq*u+l)Pol=(l+(c*p)人c/(factorial(c)*(l-p)人(-1);Po2=(1+(c*p)人1/factorial(1)+(c*p)人c/(factorial(c)*(1-p)人(-1);Po3=(1+(c*p)A1/factorial(1)+(c*p)A2/factorial(2

31、)+(c*p)Ac/(factorial(c)*(1-p)A(- 1)；Po4=(1+(c*p)A1/factorial(1)+(c*p)A2/factorial(2)+(c*p)A3/factorial(3)+(c*p)Ac/(f actorial(c)*(1-p)A(-1)；Po5=(1+(c*p)A1/factorial(1)+(c*p)A2/factorial(2)+(c*p)A3/factorial(3)+(c*p)A4/f actorial(4)+(c*p)Ac/(factorial(c)*(1-p)A(-1)；Po6=(1+(c*p)A1/factorial(1)+(c*p)A2

32、/factorial(2)+(c*p)A3/factorial(3)+(c*p)A4/f actorial(4)+(c*p)A5/factorial(5)+(c*p)Ac/(factorial(c)*(1-p)A(-1)；Po7=(1+(c*p)A1/factorial(1)+(c*p)A2/factorial(2)+(c*p)A3/factorial(3)+(c*p)A4/f actorial(4)+(c*p)A5/factorial(5)+(c*p)A6/factorial(6)+(c*p)Ac/(factorial(c)*(1-p) A(-1)；z=633*c+100*L中南大学数学建模第三轮C题：汽车修理参赛队号188号参赛队员颜桂明刘统军廖丁丁2010-8-18