浙江大学高等代数00

《浙江大学高等代数00》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江大学高等代数00（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、浙江大学二OOO年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、(20分)f (x)是数域P上的不可约多项式(1) g(X)G PX，且与f (X)有一个公共复根，证明f (X)I g(X)；11(2) 若c及-都是f (X)的根，b是f (X)的任一根，证明-也是f (X)的根.cb210 000121 000、(10分)计算行列式D =/ Q000 121000 012三、( 20 分)(1) A是正定阵，C是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P使得P-1AP,P 1CP同时为对角形；(2) A是正定阵，B是实矩阵，而AB是实对称的，证明：AB正定的充 要条件是 B 的特征值全大于 0.四、

2、(20分)设n维线性空间V的线性变换A有n个互异的特征值，线性变换B与A可交换的充要条件是B是E, A, A2,An-1的线性组合，其中E为恒等变换.五、(10分)证明：n阶幕零指数为n-1的矩阵都相似.(若An-1 = 0， An-2丰0而称A的幕零指数为n -1)六、(20分)设A,B是n维欧氏空间V的线性变换。对任意a,卩g V，都有(A (a )，卩)=a B 0 )证明：A的核等于B的值域的正交补.浙江大学高等代数 2001一.分别在复数域，实数域和有理数域上分解X4+1为不可约因式之积.(10分)二 设n=2，计算n阶行列式D =det(a )，其中a =-j|njj012 n-2

3、n 一 1101 n-3n 一 2210 n-4n 一 3也即D =nn - 2n-3n-401n 一 1n-2n-310三设A为m x n实矩阵(io分)1. 求证:秩(AA )=秩(A)2. 设X=(x xx ),b是m x 1矩阵1, 2, m求证:现性方程组AAX二Ab有解四设A是一个n x n矩阵，且A2二A求证:1.存在n级可逆矩阵P使P-1 AP =，其中E为r级单位矩阵,r m r2秩(A) + 秩(E-A)=n3. A 可以表示为两个对称矩阵的积五设A,B都是n级方阵且AB=BA，设A有n个不同的特征值，证明B相似于对角矩阵(六)、设U与W分别是数域P上齐次线性方程组x +

4、x + x二0与x二x二二x 12n12n的解空间，试求证Pn = UW(直利(七)、证明任一 n级复矩阵A均可分解为A二M + N,其中M为幕零矩阵(即存在某个正整数t使Mt = 0 ),而n相似于对角矩阵，而且MN=NM(八) 、设A =(a ) 是 n 级实矩阵，若对于内积ij nxm(a, P) = dAB, p e Rn (n维实行向量空间)Rn作为一个欧氏空间，证明A是正定矩阵(九) 、设A, B是数域P上n级方阵且满足AB=BA，求证：秩(A+B) 秩(A) +秩(B)- 秩(AB).浙江大学高等代数 2002一.设两个多项式f (x和g (x)不全为0 ,求证：对于任意的正整数

5、n,有(f (x), g (x)n 二(f (x)n, g (x)n )。.设 s = xk + xk + + xk ， ( k=0,1,2,); a = s ,(i,j=l,2,n),计算行列式:k12nji + j - 2aa11121naa21222 naan1n2nn三. 设A, B都是n级矩阵，且A + B = AB，求证：AB = BA四. 设A是m*n级阵，A的秩为m,B是n*（n-m）级矩阵,B的秩n-m,且AB =0,如果n维列向量n是齐次线性方程组AX =0的解，求证：存在唯一的（n-m）维列向量g，使得a = (1,2,1,2)1五.求V= L(a ,a ,a ),V =

6、 L(卩，卩)的和与交的基与维数。其中 a = (3,1,1,1),11232122a = (1,0,1,1)3出=（2,5,6,5）诃=（1,2,7,3）。2六.用正交线性替换化下面的实次型为标准型， 并写出所的正交线性替换f(x1,x2,x3,x4)=2 x x + 2 x x + 2 x x。2 32 43 4七.设A, B是n级复矩阵，且AB = BA，求证:存在一个n级可逆矩阵P，使得P-1AP与P1BP 都是上三角矩阵。八. 设A,B是n级复矩阵，其中A是幕0矩阵（即存在正整数m，使得 Am =），且AB = BA，求证:A + B = |B .九. 设b是n维线性空间V的线性变换

7、，b在V的某组下的矩阵是A，用Kr b表示b的 核，b （V）表示b的值域。求证：秩（A2 ）=秩（A ）的充分必要条件是V =b（V） Kerb。浙江大学 2003年研究生高等代数试题1. （20分）令a ,a，,a是Rn中s个线性无关的向量。证明：存在含n个未12 s知量的齐次线性方程组，使得a ,a，,a 是它的一个基础解系。12 s（A b 2. （20分）设有分块矩阵，其中A,D都可逆，试证：IC D丿二 det(A BD-iC)det D ； (A BD-iC)-1 二 A-1 A-1B(CA-iB D)-1CA-1。3 . （ 20分）设V是数域P上n维线性空间，a ,a ,a

8、,a e V ,1234W二L（a ,a ,a ,a ），又有p , p e W且p , p线性无关。求证：可用P , P替换1234121212a ,a ,a ,a中的两个向量a ,a，使得剩下的两个向量a ,a与p ,p仍然生成1 2 3 4i1 i 2i3 i 41 2子空间W，也即W二L（p , p ,a ,a ）。12 i3 i 44. （20分）设A为n阶复矩阵，若存在正整数n使得An = 0，贝廿称A为幕零矩 阵。求证：（1）A为幕零矩阵的充要条件是A的特征值全为零；（2 ）设A不可逆，也不是幕零矩阵，那么存在n阶可逆矩阵P，使得（B 0、P-1AP二，其中是B幕零矩阵，C是可逆

9、矩阵。10 C丿（4 2 2、5. （20分）已知实对称矩阵A二2 4 2，求正交矩阵P使得PTAP成为对2 2 4丿角矩阵。6. （20分）设V是n维欧氏空间，内积记为（a,卩），又设T是V的一个正交变换，记 V 二a e VI Ta二a,V 二a Ta | a eV。12证明：（1） V,V都是V的子空间；（2） V二VV。1 2 1 27. （10分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：若存在一个偶数a及一个奇数b，使得f （a）与f （b）都是奇数，则f （x）没有整数根。8. （10分）V，V是n维欧氏空间V的子空间，且V的维数小于V的维数，1 2 1 2证明：V中必有一个非零向量正

10、交于V中的一切向量。219 . （ 10分）设A二（a ）是可逆的对称实矩阵。证明：二次型的矩阵j nxnf (I，Xn )=0x1x1a11 xn ain是A的伴随矩阵A*。xa ann1nn阿浙 江 大 学二OO四年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数1.（每小题 8分，共 16 分）计算 n阶行列式：bbbba1bbbabbbab1bbab1)D =bbb=(a + (n 1)b)1bbbn baababbb1abbbabbbb1bbbb1bbba00abb 一 a000abb 一 a000b 一 a(a + (n 1)b)=(a + (n 一 1)b) 00ab0b 一 aa

11、一 b00b 一 a0ab00b 一 a000b 一 a0000b 一 a(n1)(n 2)n ( n 3)=(1)2(a + (n 1)b)(b a)(a b)n2 = (1) 2 (a b)n + nb(a b)ni123n 1n123n 1n234.n1134.n1345 12n( n +1)145 122.n12n 2n 一 1112n 2n 12) D =n123n 1n111 11 n011 11 n1111 n1n(n +1)0111 n1n(n +1)111 1122.01n1 111 n11 11111 11 一 n111000. 一nn000n(n +1)0000nn(n

12、+1)00022n000n-n00n(nT) nn + nn-121 -1-n000n(n-1) nn + n-22=(-1)22. (16 分)设 A g Pnxn, f (x) g Px。已知 f (A)可逆。求证：存在g(x) e Px使(f (A)-1 = g (A)。(注：P是数域，Pnxn表示元素在P中的n阶方阵的集合)3. (16 分)设 A，B g Pnxn，求证：(AB)* 二 B * A *。证明：(1) 当|AB丰0时，这时有|A|丰0,|B丰0，由公式A* = |A|A-1，可得(AB)* = |AB|( AB)-1 = |BB-1 |A|A-1 = B * A *。结

13、论成立(2) 当|AB = 0时，考虑矩阵A(X)二A 九E,B(X)二B 九E，由于A、B都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个X，使得 A(X)|丰0,|B(X)|丰0 那么有上面(1)的结论有 (A(X)B(X)*二(B(X)*( A(X)*令(A(X)B(X)* 二(f (X) ,(B(X)*( A(X)* 二(g (X)ijnxnijnxn由式有 f (X)二g (X)ij ij由于有无穷多个X使式成立，从而有无穷多个X使式成立，但f (X), g (X)都是多项式，从而式对一切X都成立。特别令X二0，有 ij ij(AB)* 二(A(0)B(0)* 二 B *(0) A *(0)

14、二 B * A *。证毕4. (题(1)为 15分，题(2)为5分，共20分)实二次型 f (x , x , x )二 x 2 + ax 2 + x 2 + 2bx x +2 x x + 2 x x 经正交线性替换12 3 1 2 3 12 13 23(x , x , x )t 二 P(y , y , y )t 化为标准型 y 2 + 2y 2。123 123 1 2(1)求a,b及正交矩阵P ；2）问二次型 f 是正定的吗？为什么？5. （16分）设A , B G Pnxn且秩（A） +秩（B） n。证明：存在n阶可逆矩阵M使 得 AMB = 0。证明：设矩阵A , B的秩分别为r,r。对于

15、矩阵A , B，存在着可逆的n12级矩阵 P, Q , P, Q，使得 PAQ =A , PBQ =A，贝U1 1 2 21 1r1 2 2r2AQ = P-iA ,PB = A Q-i1 1 r1 2r2 2（AQ）（PB） = AQPB = P-iA A Q-1 = 0,令 AMB = 0 ,则有 AMB 二 0 成立。121 21 r1 r2 26. （16分）设A是n阶复矩阵，且存在正整数m使得Am二E （这里E是n阶单 位阵）。证明：A与对角矩阵相似。7. （每小题9分，共18分）设V = Pnxn看成P上的线性空间。取定A, B ,C D G Pnxn。对任意 X 二 Pnxn，令

16、 Q （x）二 AXB + CX + XD。求证：（1） O 是 V 的线性变换；（2）当时C二D二0，a可逆的充要条件是|AB|丰0。& （16分）设a是线性空间V的线性变换且a 2 =a。令V二a （V）, V =a-1（0）。12证明：V二VV且对每个a gV有a （a）二a。1 2 19. （16分）设V是n维欧氏空间，V,V是V的子空间，且dimV det A2 det A3 det A4 而秩A是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，必然存在一个正整数m,使det Am = det Am+1浙江大学 2006 年攻读硕士研究生入学初试试题一、（15分）矩阵A,B具有相同的行数，把

17、B的任意一列加到A得到矩阵秩不变， 证明把B的所有列同时加到A上秩也不变.、（15分）（1）把下面的行列式表示成按X的幕次排列的多项式a+ xa+ x a+ x11121na+ xa+ x a+ x21222n. . a+ xa+ x a+ xn1n2nnD =（2）把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变.三、（15分）证明下面的（i）和（ii）等价：（i）矩阵A是正交矩阵；（ii）矩阵A的行列式为土 1当|A| = 1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身, 当A| = 1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以一1.a b四、（15分）（1）设矩阵A二,则矩阵

18、A满足方程x2 -（a + d）x + ad -bc = 0;c d二阶矩阵满足Ak二0, k 2,贝加二0.3 2 210 10五、（15分）设矩阵A 二 2 3 2 , P 二 1 0 1,B二P-1 A*P + 2E,求B的特征值和特征向量.六、（15分）设W,W,W是向量空间V的子空间，W匸W ,W nw = W nw,W + W = W + W,1 2 1 2 1 2 1 2 证明W二W .12七、（15分）三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.八、（15分）设屮是向量空间V的正交变换，W是屮的不变子空间，证明W丄也是屮的不变子空间.九、（15分）设A

19、为实矩阵，证明存在正交矩阵G,使G-1AG为上三角矩阵的充要条件是 A的特征值均为实数.十、(15分)设P为数域，f 二 f (x) e Px,g 二 g (x) e Px,i 二 1,2,证明(f, g )(f , g )二i ii i1122(f1f2, f1g2,g1f2,g1g2)1 2 1 2 1 2 1 2浙江大学二OO七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目高等代数编号741注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。.(17分)设整系数的线性方程组为Y a x = b , (i = 1,2,.n)，证明该方程组对任意整 (/ j ij=1数bi，b2，.,bn都有整

20、数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于土 1 .ns1s2sn-1ssss123nssss234n+1ssssn-1nn+12n-2, 其中 S 二 Xk + Xk + . + Xkk12n二.(17分)计算n(n 1)阶行列式.(17分)假设矩阵A,B,C满足ABC有意义求证: 秩(AB)+秩(BC) 1)阶方阵A满足A2 - 5A + 6E = 0,其中E是n阶单位矩阵证明：A相似于对角矩阵;如果A行列式等于2m3n-m (0 m n,m是正整数).求与A相似的对角矩阵.六.(17分)假设V = M2(R)是由实数域上所有2 x 2矩阵构成的实数域上向量空间.-1 -1-12 _A

21、=,B =九1-1-1，其中九是参数.(1)证明9 (X)二AXB是V上的线性变换; 当九工-1时，证明9是可逆线性变换;(3)当九=-1时，求线性变换9的核和值域;(4)在值域中取一组基,并把它扩充成V的基，求线性变换9在这组基下的矩阵.1-九九2九七(16分)求九-矩阵九九九1 +九2九2一九2_ 811181八(16分)已知矩阵A =118111的初等因子和不变因子.(x )1x2X3求二次型 / (xr x2, x3, x4)= (%用正交线性替换化二次型f (xi，x 2, x3, x 4)为标准型; 证明Q,P) = atap定义了 R4上的内积，其中a,卩是R4的列向量，a T是a的转置，并求在该内积下R4的一组标准正交基. 求实对称矩阵B使得Bk二A，其中k为正整数(只要写出B的表达式,不必计算其中的矩阵 乘积)九(16分)设f (x)二(x a )2(x a )2(x a )2 +1，其中a ,a，,a是互不相同的整12n12n数证明f(x)是有理数域上的不可约多项式.