正交试验的原理和实施

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1、为什么要用正交试验我们知道如果有很多的因素变化制约着一个事件的变化，那么为了弄明白哪些因素重要, 哪些不重要，什么样的因素搭配会产生极值，必须通过做实验验证(仿真也可以说是试验，只 不过试验设备是计算机)，如果因素很多，而且每种因素又有多种变化(专业称法是：水平)， 那么试验量会非常的大，显然是不可能每一个试验都做的。就影响主轴温升的试验来讲，影 响主轴温升的因素很多，比如转速、预紧力、油气压力、喷油间隙时间、油品等等；每种因 素的水平也很多，比如转速从8Krpm到20Krpm，等等，计算一下，所有因素都做，大概一 共要900次试验，按一天3次试验计，要不停歇的做10个月，显然是不可能的。能够

2、大幅度减少试验次数而且并不会降低试验可行度的方法就是使用正交试验法。首先 需要选择一张和你的试验因素水平相对应的正交表，已经有数学家制好了很多相应的表，你 只需找到对应你需要的就可以了。所谓正交表，也就是一套经过周密计算得出的现成的试验 方案，他告诉你每次试验时，用那几个水平互相匹配进行试验，这套方案的总试验次数是远 小于每种情况都考虑后的试验次数的。比如3水平4因素表就只有9行，远小于遍历试验的 81次；我们同理可推算出如果因素水平越多，试验的精简程度会越高。正交试验设计介绍当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中， 选择一部分有代表性水平组合进行试验。因

3、此就出现了分式析因设计(fractional factorial de signs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较 困难的。正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方 法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具 备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。是一种高效 率、快速、经济的实验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合 列成表格，称为正交表。例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行

4、3社27 种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按Lg(3)彳正交表按排实验，只需作9次， 按8(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交实验设计在很多领域的 研究中已经得到广泛应用。1正交表正交表是一整套规则的设计表格。L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c 为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如Lg（3 4），（表11），它表示需作9次实验， 最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我 们称它为混合型正交表，如L8（4x24 ） （表 12），此表的5列中，有1列为4水平，4列为2 水平。根据正交表的数据结构看出，

5、正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1, 2, Sj组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列的数码个数为3, S=3，即由 1、2、3组成，各数码均出现1 次。正交表具有以下两项性质：（1）每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数 码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、 “2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。（2）任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列（同一 横行内）有序对子共有 4 种：（1， 1）、（1， 2）、（2， 1）、（2， 2）。每种对数出现

6、次数相等。在三 水平情况下，任何两列（同一横行内）有序对共有9种， 1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、 3.2、3.3，且每对出现数也均相等。以上两点充分的体现了正交表的两大优越性，即“均匀分散性，整齐可比”。通俗的说， 每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。表 1 L4 (23 ) 正交表列号试验号、12311112122321242212. 交互作用表每一张正交表后都附有相应的交互作用表，它是专门用来安排交互作用试验。表14 就是L8(2 7 )表的交互作用表。安排交互作用的试验时，是将两个因素的交互作用当作一个新的因素，占用一列，为交 互作用列

7、，从表14中可查出L8(27 )正交表中的任何两列的交互作用列。表中带()的为主因 素的列号，它与另一主因素的交互列为第一个列号从左向右，第二个列号顺次由下向上，二 者相交的号为二者的交互作用列。例如将A因素排为第(1)列，B因素排为第(2)列，两数字相 交为3,则第3列为AxB交互作用列。又如可以看到第4列与第6列的交互列是第2列，等 等。3正交实验的表头设计表头设计是正交设计的关键，它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中 的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。表头设计的主要步骤如下：(1) 确定列数根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用，明确其共有多少个数，如果

8、对研 究中的某些问题尚不太了解，列可多一些，但一般不宜过多。当每个试验号无重复，只有 1 个试验数据时，可设2个或多个空白列，作为计算误差项之用。(2) 确定各因素的水平数根据研究目的，一般二水平(有、无)可作因素筛选用。也可适用于试验次数少、分批进 行的研究。三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配，多水平能以一次满足试验要求。(3) 选定正交表根据确定的列数c,与水平数(t)选择相应的正交表。例如观察5个因素8个一级交互作 用，留两个空白列，且每个因素取2水平，则适宜选L16(2 15 )表。由于同水平的正交表有多 个，如L8(27)、L12(2“)、L16(215), 般只要表中列数比考虑需要

9、观察的个数稍多一点即 可，这样省工省时。(4) 表头安排应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首 先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。例如某项目考察4个因素A、B、C、 D及AxB交互作用，各因素均为2水平，现选取L8（2 ）表，由于A、B两因素需要观察其 交互作用，故将二者优先安排在第1、2列，根据交互作用表查得AxB应排在第3列，于是 C排在第4列，由于AxC交互在第5列，BxC交互作用在第6列，虽然未考查AxC与Bx C,为避免混杂之嫌，D就排在第7列。（5） 组织实施方案 根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按实验号

10、依次进行，共 作n次实验，每次实验按表中横行的各水平组合进行。例如L9（3 4）表，若安排四个因素，第 次实验A、B、C、D四因素均取1水平，第二次实验A因素1水平，B、C、D取2水平，第九次实验A、B因素取3水平，C因素取2水平，D因素取1水平。实验结果数据记录在 该行的末尾。因此整个设计过程我们可用一句话归纳为：“因素顺序上列、水平对号入座，实 验横着作”。4二水平有交互作用的正交实验设计与方差分析例8 某研究室研究影响某试剂回收率的三个因素，包括温度、反应时间、原料配比，每 个因素都为二水平，各因素及其水平见表16。选用L8（2 7 ）正交表进行实验，实验结果见表 17。首先计算Ij与l

11、lj，Ij为第j列第1水平各试验结果取值之和，llj为第j列第2水平各试 验结果取值之和。然后进行方差分析。过程为：求：总离差平方和各列离差平方和 SSj=本例各列离均差平方和见表10最底部一行。即各空列SSj之和。即误差平方和自由度v为各列水平数减1，交互作用项的自由度为相交因素自由度的乘积。 分析结果见表18。从表18看出，在a=0.05水准上，只有C因素与AxB交互作用有统计学意义，其余各 因素均无统计学意义，A因素影响最小，考虑到交互作用AxB的影响较大，且它们的二水平 为优。在C2的情况下，有B、A2和B、A1两种组合状况下的回收率最高。考虑到B因素 影响较A因素影响大一些，而B中选B1为好，故选A2、B1 o这样最后决定最佳配方为A2、 B、C2，艮卩80C，反应时间2.5h，原料配比为121。如果使用计算机进行统计分析，在数据是只需要输入试验因素和实验结果的内容，交互 作用界的内容不用输入，然后按照表头定义要分析的模型进行方差分析。