同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

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1、高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11.设 4=(-OO,5)U(5,+8),B=10,3),写出 及心(4 B)的表达式.解 4u B=(-oo,3)u(5,+oo),N c8=10,5),AB=(-x),-10)u(5,+oo),小(N 3)=10,-5).2.设4、8是任意两个集合，证明对偶律:(4门8尸=/口衣.证明因为x e(Ar B)cx Ai B x A x Bx e Ac x e Bc x&Ac JBC,所以 Ar Bf=Ac g 7(X i)=g /(X 2)=X=X2.因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：Y f X,因为对每个及匕有g(y)=x e

2、X,且满足/(x)=/g(y)为广乂按逆映射的定义,g是7的逆映射.5.设映射KZ uY.证明：(1 尸)Q4(2)当/是单射时，有广】(/(/)=/.证 明(1)因为 x w Z n x)可4 n/T(y)=x/i(/(/),所以 尸。口4由知y-i )Q 4另一方面，对于任意的x e/T(/(Z)n存在_y e/(z),使/七)=x/(x)可.因为y e儿4)且/是单射，所以xe4这就证明了尸(/(Z)u 4.因此尸供/)=/.6.求下列函数的自然定义域：(l)y=j 3 x+2;解 由3 X+220得x -率 函数的定义域为-东+8).解 由1-火)得淤土.函数的定义域为(-8,1)D(

3、1,+00).(3)y-J l一炉;X解 由X R O且l-x2 0得 函 数 的 定 义 域0)5 0,1.尸占解 由4-x 20得x 0且xM得函数的定义域0=(-*0)u(0,3).(9)月 n(x+l);解 由x+l0得函数的定义域。=(-l,+oo).1(10)y=e x.解 由xM得函数的定义域(-8,0)。(0,+8).7.下列各题中，函数寅x)和蛉)是否相同？为什么？(l)/(x H g x2,g(x 21g x;(2)./(x)=x,g(x)=V;(3)f(x)-M x4-x3,g(x)-x y/x-1.(4)/(x)=1,g(x)=s e c2x-t an2x .解(1)不

4、同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x O,l-X 2 0.因为当X 1 X 2时,n,“八2 _ 勺八2亏 一 亏 一(5)(1)犯所以函数夕=产在区间(-8,1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的X 1,X 2 W(O,+8),当X 1 X 2时，有乂一乃=(x1+l nx1)-(x2+l nx2)=(x1-x2)+l n 0,x2所以函数尸+l nx在区间(0,+8)内是单调增加的.1 0 .设/(X)为定义在(-/,/)内的奇函数，若/(x)在(0,7)内单调增加，证明/(X)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于X 7 x i,x2e(-/,0)且 x i -X 2

5、.因为寅x)在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以这就证明了对于V X 1,X 2 W(-/,0),有加1)g(x).如果/(X)和g(x)都是偶函数，则F(-x)=A-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果寅x)和g(x)都是奇函数，则F(T)?(-X).g(-X)=-g(x)H(x).g(x)=E(x),所以2 x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/(X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则%T)=A-X g(X)/X)g(X)=-Ax g(X)=-b(X),所以F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2.下列函

6、数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)y=x2(l-x2);(2)尸1 _Y2 片；1 +X2(4)=x(x-l)(x+l);(5)i y=s i n x-c os x+1;片2 1.解 因为火T)=(-X)2 l-(X)勺=、2(1 _彳2)=危)，所以大X)是偶函数.(2)由T)=3(T)2-(T)3=3/+x 3可见和)既非奇函数又非偶函数.(3)因 为/(-幻=冲 邛=产=/(力，所以/(X)是偶函数.l+(-x)2 1+X2(4)因为/(T)=(x)(x 1 )(X+1 )=X(X+1 )(x 1 )=4(x),所以,/(x)是奇函数.由7(-x)=s i

7、n(-x)-c os(-x)+l=-s i n x-c os x+1可见於 溉非奇函数又非偶函数.(6)因为/(x)=2=gQ=/(x),所以/X)是偶函数.1 3 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=c os(x-2);解是周期函数，周期为1=2兀(2)y=c os 4 x;解是周期函数，周期为/=5.(3)y=l+s i n解是周期函数，周期为/=2.(4)(y=x c os x;解不是周期函数.(5)y=s i n2x.解是周期函数，周期为1=兀1 4 .求下列函数的反函数：(1方=近口错误！未指定书签。错误！未指定书签。；解 由 =门得=/_ ,所以丁=叼

8、，的反函数为尸刀3-1.(2)y=p 错误！未指定书签。；解 由=户 得 X =?,所以y=户的反函数为y=户.1+x 1+y 1+x 1+x =+?(ad-bcM);c x+a解 由片”经 得 必 也，所 以 尸 笆 的 反 函 数 为 好 也 弛.c x+a c y-a c x-a c x-a(4)y=2sin3x;解 由尸2sin 3x得x=g arcsing 所以尸2sin3x的反函数为尸g arcsi吟.尸 l+ln(x+2);解 由产1 +ln(x+2)得x=e y *-2,所以尸1 +ln(x+2)的反函数为y=exl-2.解 由夕=高 得 x=log,丁匕，所以y=为 的 反

9、函 数 为 y=log 2TL.2X+1-y 2V+1-x15.设函数/(x)在数集X 上有定义，试证：函数/(X)在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数 x)在 X 上有界，则存在正数M,使 Ax)区 M即-M f x)M.这就证明了/(x)在X上有下界-M 和上界M.再证充分性.设函数於)在X上有下界Ki和上界K2,即K x)K2.取止 max|K|,也|,则-M K f(x)K2 M,即 次 x)区 M这就证明了/(x)在X 上有界.16.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量值修和X2的函数值：/1 2,7C T

10、 C(1)尸“，2/=sinx,x,=,2=w；解 y=si n Tx,=sin2=(1)2,y2=sin2=()2=1.(2)尸sin w=2x,西=,电=；8 4解 产sin2x,1=sin(2 )=sin =,y2=sin(2-Y)=sin=l.o 4 2 4 2 y=，w=l+x2,Xi=l,%2=2;解 y=川+，,J?J=714-12=A/2,y2=y l l 22=4 5.(4)产e”,w=x2,Xi=0,X2=l；解 y=ex：,=e2=1,y2=e=e-2 y尸,n=e,xi=l,X2=-l.解 y=e2x,y i=e21=e2,y 2=e2(l)=e 2.1 7.设道x)的

11、定义域。=0,1,求下列各函数的定义域：(1)心);解 由0女21得团所以函数加2)的定义域为-1,1.火sinx);解 由0sinx0);解 由0 0+。4 1得-aW1-4,所以函数_/(x+a)的定义域为-a,-a .(4)./(x+a)+/(x-a)(iz0).解 由0a且0女一得：当时,a-W l a;当时，无解.因此当时函数的定义域为a,1-0,当时函数无意义.1|x|l作出这两个函数的图形.1exl1x0解/Ig(x)=0俨 1=1,即/g(x)=l-1x 0e1|x|lg/(x)=e/(x)=e|x|=l,即g/(x)=lKJLXXX1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 街

12、40。(图1-3 7).当过水断面的面积为定值国时，求湿周L(=/8+8 C+C Q)与水深之间的函数关系式，并指明nz+2-cos40i/?h s i n 40自变量的取值范围应由不等式组h0,学-c o t 40 力 0确定，定义域为0 1 60 0 时,p=75.当 1 0 0 r 1 60 0 时，片9 0 (1 0 0)x 0.0 1=9 1 0.0 1%.综合上述结果得到9 0 0 x 1 0 0p=9 1-0.Ol x 1 0 0 x 1 60 0 3 0 x 0 x 1 0 0 P=(p-60)x=(3 1 x-O.Ol N 1 0 0 x 1 60 0(3)P=3 1 x l

13、 0 0 0-0.0 1 x 1 0 0 02=2 1 0 0 0(元).习题1-21 .观察一般项x”如下的数列 x 的变化趋势，写出它们的极限：*；解 当加-8 时，x =-0,l i m=0.2 8 2(2)/=(一 吟解 当-8时，%=(-1)1 0,l i m(-i y=0.n-8 n为-2+j ；解 当0 0 时，X =2+-V f 2,l i m(2+y)=2.一 8 幺解 当-8 时，X =-4=1-7-0,l i m .+1 +1 ”78+1(5)x*(-1)”.解 当”-8时,x,产 (-1)”没有极限.c o s-2 .设数列 x 4 的一般项x=.-.问l i m x“

14、=?求出N,使当 N 时,X”与其n 一幻极限之差的绝对值小于正数,当=0.0 0 1 时，求出数N.解 l i m xn=0.|c o s|1 1要使羽 只 要 卜，也 就 是 美.取N 吧,贝 UV N,有%-0|oo n分析 要使 0|=-V,只须2 工，即n n yjs证明 因为当 N 时，用 1-0|8 2+1 2分析要使I洌 一 片=不 ；，只须占 白2/7+1 2 2(2+1)4 4 4s:证明因为WQO T N Y-,当 N 时，有|誓|一京,所以1 而 誓|=4E 2/7+1 2 8 2+1 2(3)lim 近鼻1;8 H分析要使I应 运 如 三厢=一 =/2 尤N时，用耳L

15、g,所以lim近 过=1.n co(4)limO.999 9=1.分析 要使0.99-9-1|=二=l+lg.证明 因为VQO,mN=l+lg.,当V N 时，有|0.99 9 11 o o n-xx)x 未必有极限.证明 因为lim =a,所以VQ0,HNeN,当 N 时，有|“-亦,从而W00 un-a u-a 8目a|.数列佃|有极限,但数列 X 未必有极限.例如lim|(-1)曰，但 lim(-D不008存在.5.设数列 X 有界，又 limy”=0,证明：limx.%=0.W00 T O O证明因为数列任”有界，所以存在M 使弘二，有隔区以又lim%=0,所以VGOTNCN,当“N

16、时，有 从 而 当 N 时，有c oMxnyn-O=xnynM yn 006.对于数列 X,若证明：X-00).证明 因为 x2k-Ta(k f x),x2k Ta(k-co),所以 V 0,3 i,当 2 h l 2KLi 时，有-水 ；3K2,当2女 2 a 时，旬X 2 A-水 .LN=ma x 2Ki-,2K2,只要 n N,就有%a|3分析因为|(3x-l)-8|=|3x-9|=3-3|,所以要使|(3X-1)-8|,只须|X-3|$.证明因为VQOb=+,当0|x-3|3吐 有|(3X-1)-8|3(2)lim(5 x+2)=12;x-2分析因为|(5 x+2)-12|=|5 x-

17、10|=5 pc-2|,所以要使|(5 x+2)-12|,只须|X-2|9 .证明 因为V 0,m 3=$,当0|x-2|b时，有|(5 x+2)-12|-2 X+2=-4;分析因为叶I%卡+2 小一(一 2)|,所以要使I 弟-(-4)|,只须|X-(-2)口.证明 因为V O,ms=,当0 A(-2)|5时，有1弟 一(川-2 X+2叫y郎2=2.分析因为|-2|l-2x-2|=2|x-(-1)|,所以要使|需 一2卜,只 须 吐 得)耳 .证明因为V O,mb=a，当0小-(-时，有-2|8 2x 2分析因为I 1 +X3 1 II 1+-3-3|1I 2x3 2 2x3 2|x|3所以

18、要使I翳-扑，只 须 o,m x=j,当恸XI1寸，有1+X3 1所以limX 00I 2/21 +X3 1+y/X3.当x-2 时，12-4.问3 等于多少，使当|x-2|3时,y-42 时,|x-2|f 0,故可设卜-2|1,即 1 a 3.要使|X2-4|=|X+2|X-2|5|X-2|0.001,只要,-2|”2-0.0002.取酬0.0002,则当 0|x-2|5时，就有|%2 4|X时,Al|0.01?火+3解 要使I N-IK Y VO.OI,只 要 曲 孱 二 1=回 7,故 工=屈 7.廿+3 1 片+3 v 0.015.证明函数4 x)=(x|当x-0 时极限为零.证明因为

19、/(x)-O|=|x|-O|=W=|x-O|,所以要使火X)-0|,只须W|.因为对VQ0,m展与使当0|x-0|a时有)-0|=|叶 0|06.求/(力=工，0(x)=区 当 x fO 时的左、右极限，并说明它们在x fO 时的极X X限是否存在.证明因为lim/(x)=lim =lim 1=1,x f O-x 0_ X x 0-lim/(x)=lim=lim 1=1,x-0+X-O+x x-o+lim/(x)=lim f(x),XT。-X-0+所以极限lim f(x)存在.x-0因为lim(p(x)=lim=lim =-l,x-0-x-0-X x 0 Xlim(p(x)=lim=lim =

20、1,x-0+x f o+x x-0+xlim 夕(x)w lim(p(x),x-0-x-o+所以极限lim(x)不存在.x-07.证明：若 x-+oo及 xf-oo时，函数作)的极限都存在且都等于4,则lim f(x)=A.X f 8证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以V0,3|0,使当 x X i 时，有次x)*0,使当 xE 吐 有心)-Z|X时，有次x)T|mC O/(x)=A.8 .根据极限的定义证明：函数於)当x f x o时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设危)f/(x rx o),则VeO,3 0,使 当0|x x

21、 o|b时,有f i x)-As.因此当X o 灰X X o和X oX X o+5时 者6有f x-A 0,使当劭-b X X o 时，有|/(x)-z 0,使当 x ox x()+医时，旬於)-4|.取N min b i,，贝(J当0|x x()|6时，有配一4X()及沏a()+历，从而有f i x)-A 0 及 A 7 0,使当(x|X 时,f x)4(x 8),则对于 =1,3 0,当|x|X 时，有/(x)/|=l.所以 危)|=配)+小心)-4+0及 止0,使当|x|X时,心)|加，其 中 止1+囿习题1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如，当x-0时，

22、o(x)=2x,傲)=3%都是无穷小，但l i m梁熟不是无a o p(x)3 p(x)穷小.2.根据定义证明：(l).=xx+一3？当x-3时为无穷小；(2)y=x s i n 当x-0时为无穷小.x证明 当/3时|历=|喧苧口 3.因为VQ0 T ,当0,一3 5时，有|y|=x?=X-36=,Ji十D所以当X f 3时歹=W 为无穷小.(2)当 xM 时|y|=|x|s i n 国x 0|.因为T o O,三应,当 0|x 0|5吐 有X|y|=|x|s m-|j c-0|,X所以当x-0时=x s i n 为无穷小.x3 .根据定义证明：函数夕=为当x-0时的无穷大.问x应满足什么条件

23、,X能使阴1。4?证明分析卜H号卜|x|M 只须3-2 A f,即X11团证明因为 7止0T5=弁 二，使当0 x 0 0 1-XM,解 因 为 汕1=2+1，而当X F O O时!是无穷小，所以l i m红包=2.X(2)因为X X X XT8 X芸=I+X(X H 1),而当Xf0时为无穷小,所以!吧宫=15.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:J(XT4段)-8Xx)-coXfXoVf0,3 0,使当 OX o -X 8Vo,使当|4X 时，有恒X+00X f-0 0解八x)f A1/(x)-0 0/(X)f+8,/(x)-o oX XoV0,3 0,使当 O|X T O|加 寸，有恒

24、1/(X)Z|Q,3 0,使当 O|x-x o|MVA O,3a Q,使当 OAf.VA O,3 0,使当 0,-觉|初寸，有恒/(x)%0+VQO,3 苏0,使当 0 x-x o 5 n 寸，有恒火x)Y|0,3 0,使当 o x-x().V 孙 0,三苏0,使当 Ox-x o MVA 0,3 0,使当 0 r-x()5 n 寸，有 恒 x)o 苏0,使当 Ox o-x(5 H 寸，有恒，(x)/|.VA O,3 0,使当 0 r()-x MVA O,3 0,使当 OX o T 附，有 恒 Af/M 0,3 0,使当 Or o-x(5 H 寸，有恒/(x)00VGO,WO,使当恸 X时，有恒

25、f x)-A0,3 A0,使当粕X时,有恒W x)|MWQO,WO,使当恸 X时，有恒 x)MVQO,止0,使当|x|X 时，有恒x 4-00V0,3 A0,使当x X时，有恒f x)-A X 时，有恒Kx)M.S O,王b O,使当x X时，有恒V 0,3 A0,使当 x X 时，有恒Ax)M.X-0 0VQO,止0,使当x-X 时，有恒/X)-A.VQO,3 0,使当x-X时，有恒VQO,WO,使当x M.VQO心 0,使当x-X时，有恒Ax)0,在(-8,+8)内总能找到这样的X,使得y(x)|A例如y(24 4)=2%万 co s 2左 m2 左 左(左=0,1,2,),当左充分大时，

26、就有|M 2 左协 肱当X f+0 0 时，函数尸X C OSX 不是无穷大.这是因为VAf O,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的 X,都有例如歹(2左 万+乡=(2上万+9 以 (2左 万+9=0伙=0,1,2,)，对任何大的N,当左充分大时，总有x=2Qr+尹 N,但以x)|=O0+时的无穷大.证明函数y=L in在区间(0,1 上无界.这是因为X XY M 0,在。1 中总可以找到点以使歹(4)M 例如当xk=-(k=0,1,2,)2k +-2时,有y(X k)=2k兀检,当充分大时,y(x/M当x-0+时，函数夕=L in 1 不是无穷大.这是因为X XVM0,对所有的分0,总可

27、以找到这样的点外 使0 x*a但夕(耿)历.例如可取x&=(%=0,1,2,)，1K71当k充分大时X k 8,但MxQ=2A 然 in2左 乃=0O 3X4-2 21A0 +/?)2 工2h痴.(x +/?)2-x2 rW li m-；-=h mo h/?-ox2-2 h x+h2-x2h=li m(2 x+A)=2 x.(6)li m(2-+-);x-8 x x解 li m(2-+-)=2-li m -+li m -=2.x-0 0 X xz X f o o x x-0 0 xzv2 _ i li m J；，；x-o o 2 x x 1v2 _ i解 li m -=li mX-002 xz

28、-x-l X f 8iL1 2,X X,2 蚂 冬?2解li m 4，二+；,=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.x 7 8 x4-3 x2-l或X 8 X4-3X2-11 +1li m x,=0.X T8 _2 _ 1 _ 6 x+8 .一 5 x+4 解li m 舒辿=1而 尹 巫?=1而。=分 等.x-4 x2 5 x+4 x-4(X l)(x 4)x-4 X 1 4 1 3(1 0)li m(l+l)(2-t)；X T8 X X解 li m(l+-)(2-4-)=li m(l+-)-li m(2-)=lx 2=2.X T 8 X XZ X-8 X X-8 Y2c o、.+2+3 d

29、-F(w 1)(1 2)hm-5-；wo o n(一 1)布解卫 rh m-1-+-2-+-3-H-z-F(-W-1)l.i m%2 1 lvi m-/-7-1 二 彳1.8 Y t w0 0 2 一 8 Y l 2(1 3)li m(+D(+2)(+3)-5/解l i m(n+l)(n+2)(n+3)=l(分子与分母的次数相同，极限为-0 5n 5最高次项系数之比).或t -li m -(+1-)(-+r22)1(-+-3-)-=-17 rl i mZ(1 l+1)八(1+2、)/(i 1+3、)=1-.mg 5n5 5 n n n 5(1 4)!呼 士 一 金)；解！呼 士 一31-x3.

30、)=i im l+x+x2-3 l i m(l-x)(x+2)X f 1(l-x)(l+x+x2)X f 1(l-x)(l+x+x2)=_lim 2 =_1X fll+X+X，2.计 算下列极限：甄 汗解 因 为 啊 吗 假 肛 所 以!喘舞ar2(2)X T8 2 x+lv2解li m=o o (因为分子次数高于分母次数).X T8 2 x+l(3)li m(2 x3-x+l).XT8解lim(2x3-x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).X T O O3.计算下列极限：(1)lim x2sin;x-o x解lim s in L o(当x f O吐 刀2是无穷小，而sin 是有界变量)

31、.xfO x x(2)l i marctanxX 78 X解lim型空叱=lim Larctanx=O(当x oo时，是无穷小，X78 x X f 8 x x而arctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限：x-2 x-3解lim头=蕤=9.x 2 x 3 2 3(2)M 5zi;解,粤 方1=黑$=，x2 2x+l(叫呷F-解 物 玲 竽=1吧占舄=四 号=3=0./八 4x3-2x2+x(4)hm q 2;xfo 3x+2x解lim要尹=lim埠誓xfo 3X24-2X X-O 3X4-2 21解 lim(x+2二=im廿 些x：小_2-x+t)=2

32、x./-o h 2 0 h 力 一o(6)lim(2+J);x-8 x x解 lim(2-+-V)=2-lim-+lim-=2.x-o o x X2 X T O O J C x-o o xzv2 _ i lim J T ；x-8 2xz-x-l解1_Llim T=lim=看X-0 02 xz-x-x-0 0 Z -1-1 y2X xz7(8)lim J +：;XF8 X4-3X2-12解 lim 4 X J：,=0(分子次数低于分母次数,极限为零).X-8x-3xz-l或.%4：素 _13+4lim A Y=0.XT8 _2_1_1 2 ZX X 蚂 酱解lim 笆 =l i m 仁 辿 3=

33、lim 二生2 二x-4 1 2 -5X+4 x-4 (工 一1)(工-4)Xf 4x-1 4-1 3(10)lim(l+l)(2-4)；XT8 X X解 lim(l+-)(2V)=lim(l+-)-lim(2V)=lx2=2.x-8 x xz 4-0 X x-0 0 x1(11)lim(l+J+J+=)；c o 2 4 2l+2+3d-F(Z 7 1)(12)lim-5-；woo优(n-Y)n角A早p l1i.m-1-+-2-+-3-+-z+-(-1).?1 r ri 1L=lim%lim 二 支./?oo yiL woo n2 2 woo YI 2(13)lim(+l)(+?(+3)；“f

34、 8 5/解l i m(n+l)(n4-2)(n+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为-0 5n 5最高次项系数之比).或t h m-(+1-)(_+2)(-+-3-)-=1 y1.lim八(l+I-、)八(142-/)I(l+3-、)=I7r.-0 5n5 5 -n n n 5(14)呵(J-3);Xfl-x l-xJ解！呼 士一l5)=呵 二)常I?)=-lim Q-x)(x+2)v-i(l-x)(l+x+x2)=-lim-%2 =一n l+x+x2.计算 下列极限：圾 汽解 因 为 理 吟 用 肛 所 以!啜 筹 ar2(2)lim a；XT8 2X4-1v2解 lim=00(因为分

35、子次数高于分母次数).XT8 2x4-1(3)lim(2x3-x+l).XT8解 lim(2x3-x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).x-oo3.计算下列极限：(1)lim x2 sin;x f 0 X解 lim-sin L。(当x-0 时 是 无 穷 小，而sin1是有界变量).10 x x 同 幽 吗.XT8 X解 lim arctanx=而 Larctanx=O(当 x-8时,1 是无穷小,X f 8 x x f oo x x而 arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3 中的(2).习 题 1-71.当x fO 时,2 x-f 与f-d 相比，哪一个是高阶无穷小？2 3

36、 2解 因 为2xx X-O 2x所以当x f 0 时,x2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2.当x f 1 时，无穷小1-x和(1)1-V (2*(1-/)是否同阶？是否等价？解(1)因为 1 而 1一 入=limQ x)?+x+x)=1而(1+工+12)=3,1-X 1-X I所以当X f l 时，l-x 和 1-J 是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为-=Wlim(l+x)=l,x 1 1-X 2 x f 1所以当X f 1时，1-X和夕1-2)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当x-0 时，有：(1)arctan xx;小(2)s e c x-.证

37、 明(1)因为lim arctan7所 一 =1(提示:令产arctanx,则当x 7 0 时,x-o x yT0tany歹 0),所以当 x-0 时，arctanx-x.(2)因为 limSe：x T=2lim 1-c o s x=lim 2 =lim(S)2=1,xrO 1 v2 D x2 cos X xrO X2 xf XT T 2Y2所以当x-0时，secx-4亍.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:顾tan3x.2x 端（凡加为正整数）;tanx-sinxsin3 x(4)_ sinx-tanx_(Vl+x2-l)(Jl+sinx-1)解 典tan3x=l i m3=32x x f

38、o 2x 21000n-mnm.nm.sinx(-1)1 -x2.(3)ii mtan x-sin x=l i m_笔=加 上 空)=l i m 0),所以析+。2_1=/X,/-x2(X-O),/(l+x2)2+Vl+x2+l 3V l+sinx-l=/sinx=_x(x 0),Vl+sinx+1_ lx3lin,sinx-tanx _ _lim 2 _ _3x(Vl+x2-l)(V l+sinx-l)XTO，/.尤5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:（1）a a （自反性）；若 a氏则 分 对 称 性）；若a以 后%则a 无传递性）.证 明(l)lim包=1,所以a a;a(2)若 a

39、以贝U lim 3=l,从而lim 2=l.因此后a;p a(3)若 a B，/3y,lim=lim lim-=l.因此 C tr-y.Y 7 P习题1 81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:(D/(x)=x2 0%12-x 1%l+所以lim/(x)=l,从而函数 x)在x=l处是连续的.X T 1综上所述，函数./(x)在 0,2 上是连续函数.(2)/(x)=：-1X1解只需考察函数在4-1 和X=1处的连续性.在=-1处，因 为 人 并 且lim/(x)=lim l=U/(-l),x-rlim/(x)=lim%=-1=/(-1),所以函数在x=-l处间断，但右连续.在x=l处，

40、因为+四 ta nx 22类间断点且是可去间断点.令加=0=1,则函数在x=0处成为连续的；令=左乃+长时,产0,则函数在=左I+5处成为连续的.(3),=c os2,x=0;x解因为函数夕=8$2!在X=0处无定义，所以X=0是函数y =C 0 s2 _ l的间断点.X X又因为limc os2,不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.1 0 X/人片 匕 x一-1 Xx1r x=L1解 因为 lim/(x)=U m(x-l)=0.lim/(x)=lim(3-x)=2,所以 x=l 是函数的第x f r x-r x-*i+x-i+一类不可去间断点.3.讨论函数/(x)=lim上 岑x的连续性

41、，若有间断点，判别其类型.一 8 +力 解/(x)=lim ,x=J_K212121XOX在分段点 x=T 处，因为 lim fx)lim(x)=l,lim/(x)=lim x=-l,所以x-l Xf 1 x-l+X-1+x=-l为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x=l 处，因为 lim/(x)=lim x=l,lim f(x)=lim(-x)=-l,所以 x=lX-1-X-r XT】+Xfl+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数段)在点X。连续且义xo)M,则存在xo的某一邻域U(xo),当X G 伙Xo)时,/(X)声0.证明不妨设兀 0.因为人x)在X0连续，所以lim/(x

42、)=/(xo)O,由极限的局部保号性定理，存在X0的某一去心邻域灰X。)，使当XC 0(%)时犬刈0,从而当xeU(xo)时,兀0.这就是说，则存在刈的某邻域U(xo),当xeU(x0)吐/(x)M.5.试分别举出具有以下性质的函数加)的例子：(1 0,1,2,士4，,士 ，L 是於)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数 X)=CSC(G)+CSC工在点 X=0,1,2,-,-,77,，一处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2)/(x)在R上处处不连续，但/(x)|在R上处处连续；解函数/(x)=(-!”个 在R上处处不连续，但火x)|=l在R上处处连续.(3)/(x)在

43、R上处处有定义，但仅在一点连续.解函数/(x)=x 在R上处处有定义，它只在x=0处连续.I X X习题1-91.求函数二 二 一3 的连续区间,并求极限勤/(X)，蚂/(X)及lim/(x).x-2解/(x)=x3 +,/力 3 =。：3)(;二1)(：丁),函数在(_ 8,+8)内除点 m 2 和 x=-3x2+x-6(X+3)(X-2)外是连续的，所以函数/(x)的连续区间为(-8,-3)、(-3,2)、(2,+8).在函数的连续点x=0处，lim f(x)=八0)=!.o 2在函数的间断点x=2和x=-3处，lim/(x)=lim(43)(工 1)(W I)。,lim 八万)=lim

44、纪 吗12=一gx-2 (X+3)(%-2)x+3，x+3 X-2 52.设函数段)与冢工)在点xo连续，证明函数dx)=max 如),g(x),次x)=min(x),g(x)在点Xo也连续.证 明 已知 lim/(力/闯，lim g(x)=g(x().x x0 X X0可以验证(p(x)=1./(X)+g(x)+1 ,/(x)-g(x)|,(x)=g/(x)+g(x)|/(x)g(x)|.因此 0(Xo)=；/(Xo)+g(Xo)+l/(Xo)-g(Xo)|,”(Xo)=g(Xo)+g(x()T/(x()g(x()|.因为lim 夕(x)=lim(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|x-x

45、0 x x0 2=lim/(x)+lim g(x)+|lim f(x)lim g(x)|Z x-x0 x-x0 x-x0 x x0=1/U o)+g(xo)+l/(xo)-g(xo)l=o),所以奴X)在点Xo也连续.同理可证明Mx)在点Xo也连续.3.求下列极限：(l)limVx2-2x+5;x-0(2)lim(sin 2 x)3;r(3)lim ln(2 c os2 x);X七(4)lim lz l；1 0 X(5)lim5三-五;limS in x-sin。；xT ax-a(7)lim(V x2+x -y/x2-x).X-+0 0解(1)因为函数/(X)=JX2-2X+5是 初 等 函

46、数 在 点x=0有定义,所以l i m y/x2-2x+5=/(0)=也2-2.0+5=布.x-0(2)因为函数段)=(si n 2x)3是初等函数，4)在点x=/有定义，所以I i m(si n 2x)3=/()=(si n 2)3=l.(3)因为函数/(x)=l n(2c o s2x)是 初 等 函 数,/)在 点 有 定 义，所以Ol i m l n(2c o s2x)=f()=l n(2 c o s 2-)=0.T 6 66(4)l i m近 正 =l i m 巫学叵生D x x f O x(j x+l+l)T i m 1-1-1Xl i m 7=(5)l i m 后 五=l i mX

47、f l x 1(x-l)(V5 x-4 +/X)-|jm_ _ _ _ _ _4X-4_ _ _ _ _ _ _=1 m 4 =4 =2i(x T)(j 5 x _ 4+4)I J 5 x 4+4 V5-1-4+V1(6)limsi n xzsi n=limX C l x-a2 c o s si n2 2x-asi n -=l i m c o s-l i m-=c o sx Taq 1=c o s a.2 x-a X a 2F l i m (际-g)=l i m (匹4.求下列极限:(1)l i m ex;x co(2)l i m l E;X TO x 上(3)l i m(l+与2;X f 8

48、 X(4)l i m(l+3t a n2x)c o t 2v;x-0 l i m(警)2；XT 8 6+X l i m正 照 处 国x v l+si n2x-xi i lim 一解(1)l i mex=exx=e 0=l.x oo(2)l i m l n =l n(l i m )=l n l=O.X f 0 X x-0 X (3)l i m (1+-)2=l i m (1+-)-v 1 =e1=Ve .x-o c x Xf 8，X(4)l i m(l+3 t a n2 x)c 0,2x=l i m (1+3 t a n2 x)3?=/.o.x-1 a 6+x _3 xl(5)(/)=(1+尸尸

49、丁而亍.因为6+x 6+x1面(1+县-)号=6，1油二-工1 8 6+x X T8 6+X 2 2所以 l i m(卢)h=e 2.XT 0 6+x i m Vl+t a n x-J l+si n x =.(J l+t a n x-J l+si n x)(J l+si n 2x+l)x-0 x Vl+si n2x -x x-o (J l+si M x -l)(J l+t a n x +J l+si n x)H m (t a n x-si n x)(J l+si n 2x+l)o x si n2 x(Vl+t a n x 4-7 1+si n x)=l i m2x-(j)2x-0=j_2t a

50、 n x-2si n2-遮5 .设函数/(x)=1：+x :应当如何选择数a,使得7(x)成为在(-8,+00)内的连续函数？解要使函数/(x)在(-8,+o o)内连续，只须.加0在x=0处连续，即只须xl i m/(x)=xl i m/(x)=/(O)=a.因为 l i m f(x)=l i m ex=l,l i m f(x)=l i m (Q+X)=Q,所以只须取 a=l.x-0 x-0 x f+0 x-+0习题1-101.证明方程d 3x=l至少有一个根介于1和2之间.证明设/(x)=x 5-3x-1,则/(x)是闭区间 1,2上的连续函数.因为次1)=-3,人2)=25,人1次2)0

51、,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点J(10,80,至少有一个正根，并且它不超过a+6.证明 设/(x)=a si n x+h-x,则/(x)是 0,a+b .的连续函数./(0)=Z),f(a+b)-a si n (a+b)+b-(a+b)-a si n(a+b)-1 0.若加+6)=0,则说明x=a+b就是方程x=a si n x+b的一个不超过a+b的根；若.幅+与0,则/(0)/(a+6)0,由零点定理，至少存在一点我(0,a+6),使/(企0,这说明x=J也是方程x=a si i i r+6的一个不超过a+b的根.总之，方程x=a si n x+6至少有一个正根，并且它不超过a

52、+b.3.设函数/(x)对于闭区间 a,切上的任意两点x、乂恒有/二/3)区 中-仇 其中L为正常数，且寅。)如00.证明：至少有一点小(a ),使得火J=0.证 明 设刖为(a,6)内任意一点.因为0 l i m|/(x)-/(x0)|l i m L|x-xo|=O,所以 l i m|/(x)-/(xo)|=O,即 l i m /(x)=/(x0).X fX o因此人X)在(a,b)内连续.同理可证/(x)在点a处左连续，在点6处右连续，所以./(X)在口,句上连续.因为寅x)在小 句上连续，且大社&9 0,由零点定理，至少有一点(“,6),使得六？=0.4 .若义x)在 a,6上连续,a

53、ri X2,X b,则 在 上 至 少 有 一 点 使 _/(再)+/(%2)+,+/a)J 尸 7 7证明显然外)在田,X 上也连续.设M和m分别是兀c)在 Xi,*上的最大值和最小值.因为 x 1,x (l i n),所以有 从而有n-mf(x i)+f(x2)+-+f(x)0,存在X0,只要|x|X,就有f(x)-A,即 A-sfix)X0存在是./(x)在X 0的某一去心邻域内有界的 条件.(3)/(x)在x o的某一去心邻域内无 界 是l i m/(x)=o o的 条件.l i m /(x)=o o是/(x)在x0的某一去心邻域内无界的_ _ _ _ _ _ _条件.XfX0(4)/

54、)当x-*o时的右极限火 沏+)及左极限於0一)都存在且相等是l i m /(x)存在X X0的 条件.解(1)必要，充分.(2)必要，充分.(3)必要，充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：设段)=24 3、-2,则当x-0时，有().(N)/(x)与x是等价无穷小；(8)/(x)与x 同阶但非等价无穷小；(0危)是比x高阶的无穷小；(。)凡 劝 是比x 低阶的无穷小.解因为x-0 x x-0 X xf 0 x xf 0 X=l n 21 i m,3、+l n 31 i m,广、=l n 2+l n 3(令 2-1=/,3-l=w).所以/(x)与x同阶但非等

55、价无穷小，故应选股3.设企)的定义域是 0,1 ,求下列函数的定义域：(W)；(2),A l n x);(3)/(arctan x);/(cos x).解 由O&M 得尤0,即函数人力的定义域为(-oo,0.(2)由OWlnxKl得1女W e,即函数4 nx)的定义域为1,即(3)由 0 arctanxl#0 xtan 1,即函数y(arctanx)的定义域为0,tan 1.(4)由 O W cosxl W x (=0,1,2,-),即函数cosx)的定义域为2 乃-,(=0,1,2,-).4.设“、0 x0,、0 x 0，求欢X),g g(x)，./g(x),g/(x).解因为/(x)20,

56、所以/(x)=/(x)=,U；因为 g(x)W0,所以 g g(x)=O;因为 g(x)40,所以/g(x)=0;因为加)2 0,所以 g/(x)T2(x)=1 2 七.-x2 x05.利用产sin x的图形作出下列函数的图形：(1 月 sin x|;(2)尸sin|x|;(3)=2si 吟.6.把半径为火的一圆形铁片，自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为a的函数.解设围成的圆锥的底半径为外高为九依题意有R(2zr-a)=2,r=RQ：a)-,2万圆锥的体积为V万炉(2万 一.)2心 招-。23 轨2-2兀f)(2万 _a)2 ,4年/-(0a 0,要使产-X1

57、6_ 5|,只需,一3|,取应名当X-J0小-3 6 时，就有|X-3|,即y-.二6_ 5|3 x-38 .求下列极限:!喏岩(2)l i m x(/x2+l-x);XT+oO招产;t a n x-s i n x.(5)(.X3T二 竺)%0 0,c0);l i m (s i n x产xX-y解 因 为 笠 为=0,所以(2)l i m X(A/X2+1-X)=l i mx+oox(yl X2+1 -X)(V X2+1 +X)X-4-00(&+1+%)=l i m /%=lim1 =1.z+o o j N+i+x IE Lj_+1 2猾产=吧。+高0 2x+l .1严=蚂 高 产=l i m

58、(l+X-8=l i m(l +x 00o 2x+l 9 12x+r 2x+r7 2x+l 9W)2.I i m(l+/2x+l is 2x+l1)2 =e.(4)l i m 昨迎二 1由.(匹7)=H ms i n x(l-c o s x)xfO 炉 x-0 x3%-。炉 COSXs i n x-2s i n2y 2x-(y)2.=l i m-z-=l i m-=x-0 X5 COSX x-0 X5 2(提示：用等价无穷小换).YYYI YYYC 3 ax+bx+cx-3(5)l i m(-+b3-c y=1 吧(1+二”二3+加+c3.,因为+优.+加+c 3”，+6；C，_3=e酬Hmf

59、 口+3+口)x o 3x 3x-o xxx=-l n 6 z l i m -+l n/)l i m -+l n c l i m -3 ,fo l n(l+O ”-o l n(l+)v-o l n(l+v)=；(l n a+l n+l n c)=l n Z%,所以 嘲，+；+=即 疵=M a be .提示：求极限过程中作了变换1乜hx-=u.cx-=v.(6)l i m(s i n x)t a n x=l i m l+(s i n x-l)s i n-v _,(s，n A 1)t a n,因为T X T2 2iml+(sinx-l)sinx-i=3,l i m(s i n x-l)t a n

60、x=jm s i n x(s i n x-l)2彳 c o s x2=l i m s i n x(s i n2x-l)=_ _ s i n x e o s,X T%c o s x(s i n x+l)15 s i n x+1所以 l i m(s i n x)t a n x=e =l.X T品.1x s i n一x。+片9.设/(x)=,要使y(x)在(-8,+0 0)内连续，应怎样选择数a?x o-x-0-所以当gO时，於)在x=0处连续.1 0.设/()=1万 x 0l i m f(x)=l i m x s i n=0,因此选取a=0时，於)在(-0 0,+o o)内连续.,求./（X）的间

61、断点，并说明间断点所属类形.l n（l+x）-l x i-x r x 1=8 ),l i m /(x)=l i m e i =o o(提示 l i m?-=+o o),X T1+X 1+X-1+X -1所以X=1是函数的第二类间断点.i又因为 l i m f(x)=l i m l n(x+l)=O,l i m f(x)=l i m ex =-,x fo-x-o-x-o+i o+e所以x=0也是函数的间断点，且为第一类间断点.1 1 .证明 l i m(J +/1 +/1)=1.J麓2+1 勿2+2 y l n2+n证明 因为+且所以 l i m（,1+.1+/1）=1.-8 J2+J2+2 y

62、 j n2+n1 2 .证明方程s i n x+x+l=O在开区间（-多多内至少有一个根.证明设义x）=s i n x+x+l,则函数x）在-拳拳上连续.因为/（-）=-1 这+1=-5，/（-f）=l+|+l =2+1,/（一 分/号）-8)时，曲线月上的动点加8 切到直线L 的距离d(M,)-0,则称L 为曲线月(x)的渐近线.当直线L 的斜率原0 时，称L 为斜渐近线.(1)证明：直线上:片Ax+6为曲线方/(x)的渐近线的充分必要条件是k-lim A-,b=lim f(x)-kx.XT8 X X T 8(X T+o O,X T-4-oO,X-oO)(2)求曲线y=(2x-l)屐的斜渐近

63、线.证 明(1)仅就x f 8 的情况进行证明.按渐近线的定义，产Ax+b是曲线月(x)的渐近线的充要条件是lim/(x)-(Ax+Z?)=O.必要性：设产Ax+b是曲线月的渐近线，则 lim/(x)-(依+加=0,X-X1O于是有 lim壮 )=0=lim 八*-k=0=k=lim/,x-c o x X x-8 x x-c o X同时有 lim/(x)日 旬=0 n b =lim/(x)-x.Xf 8 X-8充分性：如果左=lim/。，lim/(x)-fcv,则x-c o x x-c olim/(x)-(Ax+6)=imf(x)-kx-b=lim/(x)-Ax-6=6-6=0,X-00 x

64、00 x 8 /-0 ln(14-/)1所以曲线y=(2x-1)族的斜渐近线为尸2x+L习题2Ti.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,7内转过的角度为“从而转角e 是r 的函数：&=氏).如果旋转是匀速的，那么称。=，为该物体旋转的角速度，如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻/0的角速度？解在时间间隔口0,2+加 内的平均角速度返为示_A。_他+八/)-附0)G J =-,t Az故力时刻的角速度为._ .0.6 (/0+A/)-6(r0)加、69=lim 69=l i m-=lim-夕。加f o 加7 0 Ar 加 o Ar2 .当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的

65、温度T与时间t的函数关系为T=T),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？解物体在时间间隔/(),/()+/内，温度的改变量为Ar=T(/+Az)-7I Z),平均冷却速度为T=7(/+/)-7(/)X t，故物体在时刻/的冷却速度为li m 竺=li m =r(/).4 o Az A/-O Ar3 .设某工厂生产x单位产品所花费的成本是/(x)元，此函数/(X)称为成本函数,成本函数./(X)的导数/(X)在经济学中称为边际成本.试说明边际成本./(X)的实际意义.解,/(x+Ar)-/(x)表示当产量由x改变到x+Ax时成本的改变量.驾竽 表示当产量由x改变到x+Z L r时单位产量的成本.

66、f(x)=li m /(+九)-/(力表示当产量为X时单位产量的成本.4.设加:)=10f,试按定义，求(-1).解 八-1)=li m /D(T)=Hm 3 1+-2-10(-1)2,A rf 0 Ax AY-0 AX=10 li m -2,+AX2=0 i m(2+Ax)=2 0.Ar-0 Ax Zkx-05 .证明(c o sx)=-si n x.解(c o sx)=li m c。乳 三+垓)二c o sxAx-o Ax_ 2 si n(x+竽)si n 竽=li m-Ax-0 Ax.AxA si n=h m -Si n(x+)-=-s m x.26.下列各题中均假定尸（劭）存在，按照导数定义观察下列极限，指出/表示什么：蚂)/(X o-Ar)/(X o)Ar=4；解 A-li mAv f 0/(x()Ax)一/(X o)一一蚓Ar/（x（）一/（）-Ax=-/V o)-(2)l im&=N,其中负0)=0,且广(0)存在;x-0 X.f(x)v/(0+x)/(0)一小x-o x x-0 x 阿。一 0/（而+）一/（而一）=A.h/G o+/Q-解“晒h/(Xo+4)-/(Xo