同济六版高数课后答案全集

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1、同济六版高等数学课后答案全集一，上册第一章习 题 1-11.设 A=(oo,-5)。(5,+8),5=-1 0,3),写出 及 A(AB)的表达式.解 AuB=(-oo,3)0(5,+00),AnB=-10,-5),AW=(oo,10)。(5,+8),A(Af i)=-10,-5).2.设 4、8 是任意两个集合，证明对偶律:(4 c 8)c=acu屋.证明因为史x A 或 x史 B o x e Ac 或 x&Bc=x e Ac uBc,所以(An5)c=AcuBc.3.设映射/:X f KAuX,B u X.证明(2)M n 5)5 4)ry(8).证明因为)七 八 8)。*64。民 使 以

2、)=g0(因为 x e A 或 xe8)ye/(A)或 ，所以 胆。8)寸 /取(2)因为ye f(Ar B)=3x e Ar yB,使/(x)=yo(因为 XEA 且 x e B)y e f(A)S L y ye ，所以/.4.设映射/:XTY,若存在一个映射g:A X,使 g /=/x，f g=IY,其中与、/y分别是X、y 上的恒等映射，即对于每一个xw X,有/xx=x；对于每一个y e y,有2 y.证明:/是双射-，且 g 是/的逆映射:g=.证明因为对于任意的yw F,有犬=8。)乂，且於)Mg(y)=4，y=y,即丫中任意元素都是X 中某元素的像，所 以/为 X 到丫的满射.又

3、因为对于任意的修抄2,必有汽修)可(X 2),否则若於l)与 X 2)ng 兀V l)=g /(X 2)=X=X2.因此/既是单射，又是满射，即一是双射.对于映射g：AX,因为对每个y e y,有 g(y)=x eX,且满足於)切g(y)=/y y=y,按逆映射的定义,g是/的逆映射.5 .设映射/:X f 匕AuX.证明：(iy T(M)nA;(2)当/是单射时，有/T(/(A)=A.证 明(1)因为x eA n/(x)=y G _/(A)=/6)=无守一衣)，所以 r(f(A)A.(2)由 知 尸(M)nA.另一方面，对于任意的x e/T(/(A)n存在y e/(A),使 尸。)=x，(x

4、)=y .因为y A)且/是单射，所以x e A.这就证明了厂领4)3.因此尸乳4)=4 .6 .求下列函数的自然定义域：(l)y=j3 x+2;解 由 3 x+2 2 0 得 x -.函 数 的 定 义 域 为+8).尸占；解 由 1-d M 得XH 1.函数的定义域为(-0 0,-l)u(T,1)5 1,+0 0).(3)y=-yl1-x;x解 由xM且 l-x2 0 得函数的定义域D=-l,0)u(0,1 .方看；解 由4-/0 得 L x|0且 xM得函数的定义域 =(-o o,0)0(0,3).(9)y=l n(x+l);解 由犬+1 0 得函数的定义域。=(-1,+8).1(1 0

5、)y=ex.解 由 xM得函数的定义域 =(-,0)u(0,+o o).7,下列各题中，函数段)和8(乃是否相同？为什么？(1)/U)=l g x2,g(x)=2 1 g x;(2)/(x)=x,g(x)=G;(3)f(X)=yJx4-X3,g(X)=Xy/x l.(4(x)=l,g(x)=sec x-ta n x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 。.因为当修 2 时,y i力 -y7 22=-1-%-1 -X=一土 二J 0,2(1-X )(1-X2)所以函数)，在 区 间(一 ，1)内是单调增加的.1-X(2)对于任意的修,必(0,+8),当X 1 X 2

6、时,有弘一乃=(药+111的)一(巧+111%2)=(刀1 _尢2)+1 1 1%0,x2所以函数y=x+l n x 在区间(0,+o o)内是单调增加的.1 0 .设/(x)为定义在(-/,0 内的奇函数，若 x)在(0,/)内单调增加I,证明兀0 在(-/,0)内也单调增加.证明 对于Vxi,%2 6(-/,0)且 X X2,有一X1,X2C(0,/)且一修 一x2.因为/(X)在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以f(-X2)f(.Xi),如2)如1),加2)小(修)，这就证明了对于V x i,X 2e(T,0),有AXD g(x)=R A x)g(x)4 U A g aA R x),所

7、 以 R x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/(x)是偶函数，而 g(x)是奇函数，则F(T)4T g(T)y a)-g(X)=/x g(X)=-F(X),所 以 F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)y=x2(l-x2);(2)y=3x2-x3;尸I1+尸(4)y=x(x-l)(x+l);(5)y=si n x-c o s x+1;产 必 产.解 因为人-幻=(-尤)2 1-(-%尸=x 2(l f2)=f(x),所以人幻是偶函数.由/(-X)=3(-X)2-(-幻3=3f+*3可见/)既非奇函

8、数又非偶函数.(3)因为AT)一 经 =1 +(-苫 尸I*1 +X2=/(X),所以/(X)是偶函数.(4)因为人 x)=(x)(x l)(x+l)=x(x+l)(x 1)=/幻，所以/(X)是奇函数.(5)由/(-x)=si n(-x)-c o s(-x)+l=-si n x-c o sx+l可见外)既非奇函数又非偶函数.因 为/(-)=此=,所以於)是偶函数.1 3.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=c o s(x-2);解是周期函数，周期为/=2万(2)y=c o s 4x;解 是周期函数，周期为/=5.(3)y=l+si n解是周期函数，周期为/=2.(

9、4)y=x c o s x;解不是周期函数.(5)y=si n x.解是周期函数，周期为/=加1 4.求下列函数的反函数：尸也口;解 由尸叼得所以产历T的反函数为产？-1.*；解 由 尸 与得工所以产二的反函数为产早.1+x l+y l+x +x(3)y=x+c x+d解 由 尸 些 乡 得 后 也 助，所 以 尸 些 乡 的 反 函数为y=2 地.c x+d c y-a c x+d c x-a(4)y=2si n 3x;解 由y=2si n 3无得,v=arc si n-1-5所以产2si n 3x 的反函数为y=g arc si 吟.(5)-l+l n(x 4-2);解 由 y=l+l n

10、(x+2)得 x=e i-2,所以 y=l+l n(x+2)的反函数为广产T-2.(6)y=-.2X+1解 S x=l o g2-,所以 的反函数为 y=l o g 24.2X+1 1-y 2+1 1-x1 5.设函数/(x)在数集X上有定义，试证：函数/U)在 X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证 明 先证必要性.设 函 数 於)在X上有界，则 存 在 正 数 M,使舱)KM,即-M j x)M.这就证明了共外在X上有下界-M 和上界M.再证充分性.设函数式外在X上 有 下 界K i和 上 界K2,即K (x)K2.取M=m ax K i,K2,则-M K i f(x)K2,

11、2=si n 2y=(-y)2=1-y=si n ,=2x,X =y,x2=j；解 y=si n 2x,=si n(2)=si n -=,y2=si n(2)=si n y=l.(3)y=&,w=l+x2,%i=l,X2=2;解 y=V l+x2,=7 1+1 =7 2,y2=vl +2=V 5.(4)y=eu,w=x2,X i =0,%2=1；解 y =，=,y2=e1：=e.,丫(5)y=u ,u=e ,%i=l,x =.解 y=e2x,yi=e21=e29 y2=e(l)=e 2.1 7.设/U)的定义域D=0,1 ,求下列各函数的定义域：底)；解 由 0。241 得仇建,所以函数加2)

12、的定义域为 _ i,1 /(si n x);解 由OV si n x V l 得 20 4(2+1)%(=0,1,2-一)，所以函数/(si n x)的定义域为 2%(2+1)同(=0,1,2-).(3)/U+a)(0);解 由 0。+於 1 得一 4。41 一 4,所以函数/(x+a)的定义域为 一 4,1 一 回.(4)J(x+a)+_/(x-a)(a0).解 由0 0+延 1 且 0。一心1 得：当时,“今 1 一 4；当a；时，无解.因此当0 l形.1 ex l1 x l-1 x 0el l x l le l x l le l l x l l1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜 角

13、方4 0。(图 1-3 7).当过水断面A B C。的 面 积 为 定 值 S o 时，求湿周L(=A 8+B C+C )与 水 深h之间的函数关系式，并指明其定义域.图 1-37解 AB=D C=,又 从 5C+(BC+2cot40-/z)=S0 得sin 40 2BC=%-cot40.，所以h人 配+2Tos40%h sin 40自变量力的取值范围应由不等式组力 0,牛一cot40/()确定，定义域为0/z90-75,得 xo=16OO.因此当 x1600 时,p=75.当 100r1600 时，p=90(x 100)x0.01=91 0.Olx.综合上述结果得到90 0 x100p=(9

14、1-O.Olx 100 x1600 30 x 0 x100(2)P=(p-60)x=31x-0.01%2 100 x1600 P=31 x 1000-0.01 x 10002=21000(70).习 题1-21.观察一般项x”如下的数列%,的变化趋势，写出它们的极限:4=金；解 当 时，x=-0,lim=0.2”“78 2(2)x=(-l)nl;n解 当f oo 时,X =(-1)10,Iim(-l)n-=0.n n为7 =2+g；解 当九8时，/=2+4-2,lim(2+-V)=2.7778 YlL%解 当 00时，x=-4=1一 一 7-0,lim-4=l.+1 n+l 78+1 x“=l

15、).解 当8时,/=”(-1)没有极限.cos警2.设数列*的一般项X”=.问lim X”=?求出N,使当nN时,xn与其72 foo极限之差的绝对值小于正数,当“0.001时，求出数N.解lim/=0.lcos-1 1 1lx-OhV0,要 使 反 一01 工.取n n n N=山，则V”N,有 仇0l.当”0.001 时,7V=-=1000.83.根据数列极限的定义证明:lim=O;分析 要使2-01=与 1.n M证 明 因 为VON=J=,当N时，有|0|,所 以lim 4=0.Jg/T8 n乙3 +l 圾2+l,3.25分 析 要 使I誓 堤 上 沂 一；,只 须/-co 2n+l

16、2 Hm近贮=1;/I00 分析要使=武0TN=2 ,当V N时，有也户+4-lk ,所以 nlim近还=1.w-oo YI(4)lim0.999-9=l.个分析 要使 10.99 9-11=1 ,只须 7万 l+lg.证明 因为VQO,m NVl+lg.,当V N 时 一，有 10.99 9一11co 一 8/未必有极限.证明 因 为lim”=，所以VQOTNEN,当时，有山-al ee,从而/?00ufl-aun-aoo数列 匕1 有极限，但数列 与 未必有极限.例如但l i m(-1)不7100 一 8存在.5 .设数列*有界，又 l i m y”=0,证明：l i m x“y“=0.n

17、-o o 一 8证明因为数列 与 有界，所以存在“，使V e Z,有仇又 l i m%=0,所以VGONGN,当 N时，有从而当N H 寸，有xnyn-Q xnynMynoo).证明 因为彳2 1。(%一 ),X 2 K-。/-00),所以Vfi 0,加,当 2 k-l 2 K|-l 时,有 H l 2 七时，有反2 r l .W N=m a x 2 K|l,2 K 2 ,只要 N,就 有 伙 al a(一 oo).习 题 1-31 .根据函数极限的定义证明：(1)l i m(3x-l)=8;x-3分析因为I(3x-l)-8 l=l 3x-9 l=3k-3l,所以要使l(3x 1)8 1 ,只

18、须 l x-3l ge.证明 因为/0凸 3=；,当 0k 3 kb 时，有l(3x 1)8 1 3(2)l i m(5x+2)=1 2;1 2分析因为l(5x+2)-1 2 l=l 5x-1 0l=5 L r-2 1,所以要使l(5x+2)-1 2 1 0 75=,当 0k-2 l b时，有l(5x+2)1 2 1-2%+2分析因为|4一(一 4)H 1 田+25 一(-2)1,所以要使I 3-(-4)卜 ,只 须 l x-(-2)k .证明 因为W 0 7 5=,当 0k-(-2)1 2 x +2(4)l i m 畀=2.X_1 2 x 4-1分析因为|-2|dl-2 x-2 l=2 k-

19、(-1)l,所以要使-2|o,m s=?,当o81+x3 _ 1 .2 x3分析因为I 1 +X3 1|_|1 +工3一 炉 1I 2 r l 2日2IX|3 所以要使I翳 耳 卜，只 须 备 口 即 出 七 证 明 因 为V o,m x=，=,当l x l X时，有挈-扑打所 以l i m上 工=.X T 8 2炉 2(2)l i m 芈=0.X T+8 yJX分析因为卷-叶I si n x l所以要使|哭-0|,只须=-y.1证 明 因 为V 6 o,m x =当x X时，有1 0 1-所 以1而年=0.X T+84X3.当X3 2时，y=x 2 f4.问b等于多少，使当k 2kb时，b4

20、1 2时，1%-2 1.0,故可设即l x 3.要使!?_4|士+2 k -2 1 5卜-2 1 0.001,只要 l x-2 1 =0.0 0 0 2.取 应0.0002,贝IJ 当 0L r 2 l b 时，就有l?_4l 0.001.4.当x-8时，尸 毕1 1.1,问X等于多少，使当伙内时，l y-1 1 旦=闻7,故X=7.1 xz+3 1 x2+3 V 0.015.证明函数/(x)=L x l 当xf 0 时极限为零.证明因为!A x)-O I=l l x l-O I=k l=L r-O I,所以要使!/()-01 ,只须l x l .因为对V G O T於 其 使 当 oi x

21、o i a 时有飨)01=3一 01 0-x 0 X%0l i m/(%)=l i m=l i m 1=1,/f 0+JC-0+x x-o+l i m f(x)=l i m/(x),XT。-XfO+所以极限l i m/(x)存在.x-0因为l i m(p(x)=l i m =l i m =-l,x f 0-x3(T X 1 0-Xl i m(p(x)=l i m =l i m=1,XTO+X-O+X x-o+Xl i m Q(x)w l i m(p(x),X f 0-x-0+所以极限1 叫(x)不存在.7 .证 明：若 x f+oo及 x f-oo时，函数人工)的极限都存在且都等于A,则l i

22、 m f(x)=A.X f8证明 因为 l i m f(x)=A,l i m f(x)=A,所以VQ0,x -+8可|0,使当 x-X|时，有!Z(X)AI0,使当 x X 2 0寸，有取 X=maxX,X2,则当LdX 时，有纶)-A k e,即 lim/(x)=A.Xf 008,根据极限的定义证明：函 数 x)当 x f x 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设则VGO,3苏0,使 当 0伙-沏13时,有因此当x()-&xo和 XoKxo+6时都有心)一A l 0,使当 xo-birxo 时，有I/(X)-A 0,使当 xoxxo+员时.，有取

23、员 min3,历,则当 0k-x()l3 时，有 x()-bixxo及 XoxOo+历，从而有如)-川%().9.试 给 出 X f8 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解 X f8 时函数极限的局部有界性的定理：如果7U)当Xf 8时的极限存在，则存在 X0 及 M 0,使当 HX 时,fx)0,当lxlX时-，有叭X)4I =1.所以f(x)=f(x)-A+Afix)-A l+L4l0及M 0,使当lxlX时,f(x)0时，o(x)=2x,/Xx)=3x都是无穷小，但 lim令 2=4，缁?不是无x o p(x)3 px穷小.2.根据定义证明：(1)y=止N 当x f 3 时为无穷

24、小；(2)y=xsin当x-0时为无穷小.x证明 当 月 3 时|止|左/|七 31.因为当0Lx 313时，有lyl=|，+；口1-31 0,3 6=一，使当0 l r 01M,取 M=104,则 8 -4 .当 Odx-Ok !时，104+2 104+24.求下列极限并说明理由：38 X(2)l i m F.x rO1-X解(1)因为 丝 里=2+!，而当X f o o时！是无穷小，所 以1所 生 包=2.X X X 8 X 因 为 舁=l+x(x/),而当X f O时X为无穷小，所 以i i m F=l.l-x10 l-x5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:夫 x )-4危)-8X-

25、r)-+oo危)-7 0X%0Vs0,30,使当 Olx-xol附，有恒网x)-AI X o+工一 无0 一解X 00Vo,3X 0,使当lxlX 时,有恒网x)lM.X-+0 0Nf 8外)f l/U)-8段)-+8Xx)-ooX-%oVGO分0,使当 O l x-x ol 50 J ,有恒|/(X)-AI 0,m&0,使当 O k-x ol M.V M 0,眸0,使当 O k-x ol 0,m&0,使当 O k-x ol 5H寸，有恒XfX（）+VGO T&O,使当 O r-x o 5H寸，有恒贝X)-AI 0,3 0,使当 O x-x o M.V M 0 T&0,使当 O -X oM.V

26、 M 0,3 5 0,使当0a-x o 挑寸，有恒x X o-VQO物0,使当 0 0,m&0,使当 0 M/例0,3分0,使当 OM.V A f 0,m心0,使当0 x（）-x o,m xo,使当NI X时，有恒贝X)-4I X时,有恒V f 0,3 X 0,使当l rl X时,有恒V o,3 X 0,使当l x l X时，有恒X +oos o,m x o,使当xX时，有恒贝 X）-A I 0,使当x X时,有恒川x）lM.V 0,3 X 0,使当x X时，有恒V f 0,3 X 0,使当x X时，有恒X -ooV o,m x o,使当x -X时，有恒f x)-A 0,m x o,使当x 0

27、,使当尤“V 0,3 X 0,使当x 0,在（-8,+8）内总能找到这样的恐使得1），。）1冰 例 如y（2k7f）=2k7r c os 2k7r=2k7r（k=0,1,2,）,当上充分大时，就有l y（2攵砌当X f+oo时，函数y=x c os x不是无穷大.这是因为V M 0,找不到这样一一 个 时刻N,使对-切大于N的x,都有伙x）lM.例如=崂）=（如+效S（2-9=0 3 U,2,.）,对任何大的M当女充分大时，总有x=2版+分N,但 附）I=O 0,在(0,1中总可以找到点4,使例如当xk=-伙=0,1,2,)2k 兀2时，有y(4)=2 A 乃+弓,当k充分大时,y(xk)M.

28、当xfO+时，函数y=U i n L不是无穷大.这是因为X XV M 0,对所有的&O,总可以找到这样的点此，使0 x*a但y g)M.例如可取1XL 2k 71(G O,1,2,),当 k 充分大时,Xk 6,但 y(x ii)=2k7i s i r 2k7v=Q OC X X2 X-8 X X-8 X2 蚂Ar；v2 _ i解 lim:=limx f o o 2x2-x-l Jt001-XX2 _ 12-.21 2X X(8)lim广：；x-8%4-3X2-12解lim J：,=0(分子次数低于分母次数,极限为零).X-4 0 0 x4-3xz-l或1 ,-1-lim x；x；=oX T8

29、 _ _ 2 _ _ _立一7呵本;解妈!望=蚂胎豺=妈一x-一2 4j-2 一2 3(10)lim(l+4(2-)；x-8 X X解 lim(l+-)(2-i=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.X-8 X X T 0 X Xf 8 X2(11)+J)；T8 2 4 2解 l i m(l+-+-+-+)=l i m 2-=2.”7 8、2 4 2 28 _ j _2(1 2)lim 2+3+；+(T)；7?00(n-l)n板 r 1+2+3H-F(n-1)2 1 i-n 1W lim-5 -=I im q-=lim-=.-8 00 几 2 2 8 几 2八 a、1.(+1)(+

30、2)(+3)(1 3)h m -_-；5/解Hm(/7 +1)(/7 +2)(/?+3)=(分子与分母的次数相同，极限为-8 5户 5最高次项系数之比).t (+1)(+2)(+3)1 .“I、”2 /i 3、1或 h m -=h m (1+-)(1+-)(1+-)=-.-8 5 -8 n n n j(1 4)1 1 0 1(-1-)；Xfl-X 1 一 炉解 lim(-!)=l i m +x+_ _ 3,=_ 而 _(1 磔m+2)Xfl l-x l-x3(1 x)(l+x+x 2)1 1 (1一 劝a +x+%2)=-lim无+2 ,=-1Xfl l +x+廿2 .计算下列极限:小 u X

31、3+2X2.(1)lim-z-12(1)2解 因 为!脸 感 假=仇 所 以 甄 筌 第=0v2(2)X 8 2 x+l2解lim卢；=0 0 (因为分子次数高于分母次数).Xf8 2 x+l(3)lim(2 x3-x+l).XT 8解lim(2 x 3 x+l)=o o(因为分子次数高于分母次数).Xf 83 .计算下列极限：(1)limx2s in ;x-0 x解limx 2 s in L()(当x-0 时是无穷小，而 s iid 是有界变量).1 0 X X(2)lim 更 典.XT8 X解lim辿四”=limLa rc t a n x=0(当 X-8 时，!是无穷小，XT8 X XT8

32、 x x而 a rc t a n x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习 题 1-51.计算下列极限:li吗头；x-2 x-3解期x-3军=%=-9.2-3丫 2 li叫v ；;x-V 3 X+1解端丹信对ZQ 1 2 x+l.(3)h m z ；Xfl x2-l解四与竽二四（二）（；+1）=1 吧 号=?=8(4)1 加4弋2/+-0 3X2+2X解.生字1 而十第i o 3X2+2X x-o 3 x 4-2 2(x+h)2-x2(5)h m-A-O h解Ap li.m(-工-+-力-)-2-工-2=limX-2-4-2-h-x 4-Af2 X2 二vl imz(/-2 x+/i)

33、=2cx./?-o h hf。h hrO(6)lim(2-+-);1 8 x x解 lim(2-+4 r)=2-lim+lim 4 r=2.x-o c X X-8 X X-8 X1或 limx 002-1lx2-x-v2 _ i解 lim -=lim2xz-x-l*-8i_ x2.I(8)lim x2+5x,x-8 X4-3X2-1解lim Q不X-8 x4-3 xz-l=0（分子次数低于分母次数，极限为零）.limX-0Cx2+xx4-3 x2-llimXT 8x2,A-X2r=0-X401 1 2,乙-yX X21喑黔解lim 二如土8=i m ”=1 沛。=警 V.A-4 X2-5X+4

34、 X f 4(X-1)(X-4)A-4 xl 4-1 3(1 0)lim(l+，)(2-g;x-8 X X解 lim(l+-)(2-)=lim(1+-)-lim(2 V)=lx 2=2.X-CC X X1 X f 8 X%-8 X2(1 1)lim(l+J+、；n-c o 2 4 2解 lim(l+-+4+)=lim=2.78、2 4 2n f8 .11-2/l +2 +3 d-F(H 1)(1 2)lim-Z-；7?00 乙(n 1)解A7j l.im-1-+-2-+-3-H-F(72 1).9 1 i-H1 15-=lim 刍 一 二:lim.-8 及 Z 7?-00 2-8 n 2(1

35、3)lim 妇!则士芈十及;解 im(/7+1)(/7+2)(/7+3)=1(分子与分母的次数相同，极限为最高次项系数之比).t.(+1)(+2)(+3)1 .八 1、“2、”3、1或 lim -=-lim(l+-)(l+-)(l+-)=-i；.n-o c 5屐 5 -8 fl 5(1 4)l i m(-L-XT 1 1-X 1 一 炉l+x+x 2 3解四 占 金）=则 禺1+1U=-vh m(-l(-1-x-)x-)(-(l-x+-+x-2-+)x*2)=-l i m+2-y-l.x f 1 +X+XZ2.计算下列极限：小 u x3+2 x2.(1)lim-z-1 2 (X-2)2解因 为

36、!脸 感 假 肛 所 以!蝎 等=0 0 .r2(2)lim 小118 2 x+l2解limF=0 0 (因为分子次数高于分母次数).XT 8 2 x 4-1(3)lim(2 x3-x+l).XT 8解lim（2 x 3 x+l）=o o（因为分子次数高于分母次数）.XT 83.计 算下列极限:（l）limx2s in-;x fO X解l i m/si nL。（当XT。时 是 无 穷 小，而s i n 是有界变量）.1 0 x xlim登吟X解 lim arctanx=加 上arctanx=0（当 x f oo时,!是无穷小,Xf X XT8 X X而arctan x是有界变量）.4.证明本节

37、定理3中的（2）.习 题1 71.当X f 0时,2x-d与 2_工3相比，哪一个是高阶无穷小？2 3 2解 因 为lim匚 三=lim 4=0,x-0 2x工2 x-0 2 X所以当X f 0时,x1 2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).1 1 2sin2-2sin；（2）因为 lims e-T =21im 12旺=nm_=iim（-1）2=i,A-0 1 2 A 0 X2COSX x f 0 XZ x-0 X2T 22所以当 x-0 时，secx2.当x f l时，无 穷 小1-x和 1-V(2)：(l 2)是否同阶？是否等价?解(1)因为 支 驾 土 上 也=lim(l

38、+x+x2)=3,Xf l 1 x X T1 1 X Xf l所以当X f 1时，IT和 是 同 阶 的 无 穷 小，但不是等价无穷小.因 为lim 1 1 l-x却士m（l+x）=l,2 A 1所以当x f 1时，1-x和(1-/)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3,证明：当x 3 0时，有：(1)arctan x冗；避(2)sccx 1 -.证 明（1）因为lim且 也 叱=lim q=1（提示：juarctanx,则当x f 0时,%-o x tan y。），所以当 x-0 时，arctanx-x.4 .利用等价无穷小的性质，求下列极限:噌 lim粤 之(”，机为正整数);x fO(s

39、 mx)，(3)l i mt a n x s in;x-s in3 xs in x-t a n x(4)lim 0-.劭+，-l)(71+s in x-l)解 iim嘤=lim孚 壬.X TO 2X x fo 2x 2 嚅*=!*=1000n=mn m.n 0),/(1+x2)2+V 1+X2+1 3Jl+s in x-1=/sin工-s in x x(x f 0),Jl+s in x+1_lx3s in x-粤X 一 一“m 2 3 .(幼+/l)(Jl+s in x-1)，T”x 2.x5 .证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)aa(自反性)；(2)若a f t,则 分0(对称性);(

40、3)若 a 0,P-y,则 a /(传递性).证 明(l)l i m生=1,所 以a a;a(2)若a/3,则lim今=1,从而lim 2=l.因 此 a;p a(3)若 a以上入 lim=lim4im-=l.因此 a5Y Y P习 题1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：小 I?OX1.(D/W=L I,”;2-x lxr x-r x-i+x-i+所以lim/(x)=l,从而函数/U)在x=l处是连续的.x-I综上所述，函数/(x)在 0,2上是连续函数.(2)小)=：盍二解只需考察函数在4-1和4 1处的连续性.在后一1处，因为人1)=1,并且lim f(x)=lim l=lw

41、/(-1),x-广lim f(x)=lim%=-1=/(-1),X T-1+X-l+所以函数在x=-1处间断，但右连续.在4 1处，因为川)=1,并且lim/(x)=lim x=i=f(l),lim f(x)=lim 1=141),x-r x-r x-i+x i+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-0 0,-1)和(-1,+0 0)内连续，在X=-l处间断，但右连续.2,下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：=2%公 i ox=2；.V 3 x+，解 尸.卢2尸 ”普?因为函数在=2和x=l处无定义，所以尤=2和-x2

42、-3x+2(x-2)(x-l)4 1是函数的间断点.因为limy=lim-S二1 一=8,所以户2是函数的第二类间断点；1 2，12 尤2_3X+2因为limy=lim乒 孚=-2,所以x=l是函数的第一类间断点，并且是可去间断X 1 Xf 1 (尤 一2)点.在4 1处，令尸-2,则函数在x=l处成为连续的.(2)y=,x=k9%=左万+(k=0,1,2,)；tanx 2解 函 数 在 点x=%MreZ)和x=k%+?AeZ)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因lim-J=OO(ZHO),故x=bz(bO)是第二类间断点；x-kjr tan x因为 lim:=1,lim 二O(kwZ),

43、所以 x=0 和 x=Z/r+V(&Z)是第,xf o tan x xk7T+-tan x 2,2类间断点且是可去间断点.令yLo=l,则函数在x=0处成为连续的；令x=k7i+-时,)=0,则函数在%=左万+-处成为连续的.(3)y=cos2,A-=0;X解 因 为 函 数 尸cos2!在m 0处无定义，所 以x=0是 函 数 产cos21的间断点.X X又因为limcos2不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.2 0 X(4)产x-1 X解 因 为 lim/(x)=lim(x-l)=0.lim/(x)=lim(3-x)=2,所以 x=l 是函数的第x-r x-x-i+x-i+一类不可去间

44、断点.3.讨论函数/(x)=lim R 的连续性，若有间断点，判别其类型./I 0 0 1+产 解 e 胆年-x lxll0 1x1=1.x Ixkl在分段点工=一1 处，因为 lim f(x)=lim(-x)=l,lim f(x)=lim x=-l,所以x-l xf-l x-l+x-l+x=-l为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x=l 处，因为 lim jf(x)=lim x=l,lim f(x)=lim(-x)=-l,所以 x二lx-i-x-r x-i+x-1+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数人对在点沏连续且/(xo)M,则存在劭的某一邻域“沏)，当xeUQo)时证明不妨设

45、兀比)0.因为r)在xo连续，所 以lim/(x)=/(x()0,由极限的局部保号性定理，存在xo的某一去心邻域日(与)，使当代)(而)时段)0,从而当X-)时J(x)0.这就是说，则存在沏的某一邻域U(xo),当xeU(x()时J(x)M.5.试分别举出具有以下性质的函数 r)的例子：(l)x=0,l,2,1.,n,土 工，是/(x)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=csc(；w)+csc代在点 x=0,1,2,J-,-+n,L ,处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2(x)在R上处处不连续，但也x)l在R上处处连续；解 函 数意 在上处处不连续，但贝x)l

46、=l在R上处处连续.(3(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解 函 数/(x)=x x e g在R上处处有定义，它只在4 0处连续.I X X Q习 题1-91.求函数/1)=史 冢 三3的连续区间，并求极限lim/(x),lim/(x)及X+X 6 Xf。XT-3lini/(x).解/(x)=X3+3X2 X-3 (X+3)(X-1)(X+1)x2+x-6(x+3)(x 2),函数在(-o o,+o o)内除点x=2 和 x=-3外是连续的，所以函数/(x)的连续区间为(-o o,-3)、(-3,2)、(2,+0 0).在函数的连续点后0处，l i m/(x)=/(0)=.o 2在函数的

47、间断点x=2 和 x=-3 处，.,、.(x+3)(x-l)(x+l).c,、.(x-l)(x+l)8l i m/(x)=h m-,八小,：、l i m /(x)=l i m -L=.x-2 x f 2 (X+3)(X 2)x-3 x -3 X 2 52 .设函数/(x)与 g(x)在点沏连续，证明函数奴x)=m a x 伏x),g(x),M x)=m i n 4 r),g(x)在点网也连续.证 明 已知 l i m/(x)=/(%),l i m g(x)=g(x().x x x0可以验证*(x)=；f/(x)+g(x)+l/(x)-g(x)l ,(x)=；/(x)+g(x)-l/(x)g(x

48、)l .因此。(%)=:(入0)+8(/)+1/(%)-8 5)1 ,“(X o)=g/(X o)+g(X o)-l/(X o)-g(X o)l 因为l i m (x)=l i m 1 /(x)+g(x)+l/(x)-g(x)l x-x0 J t x0 2=1 l i m f(x)+l i m g(x)+l l i m /(%)-l i m g(x)l Z X-XQ XX0 XX0 XX0=J/(X o)+g(X o)+l/(X o)-g(X o)l =d x o)，所以奴x)在点X o 也连续.同理可证明“(X)在点X 0 也连续.3 .求下列极限：(1)l i m J%2-2X+5 ;x-

49、0(2)l i m (s i n 2 x)3;4(3)l i m l n(2 c o s 2 x);X 弋(4)l i m 而 J;xf O X(5)l i m 叵壬区；X f l x-l i m Sin.s i n a；x-a x-a(7)l i m (V x2+x-/x2-x).X+C0解(1)因为函数/。)=乒 江/是初等函数,式外在点x=0有定义，所以l i m V x2-2 x+5 =/(0)=V 02-2-0+5 =A/5.x-0因为函数/(x)=(s i n 2 x)3是初等函数J(x)在点x=2有定义，所以Ii m(s i n 2 x)3=/()=(s i n 2)3=l.4因

50、为函数 x)=l n(2 c o s 2 x)是 初 等 函 数,式 幻 在 点 有 定 义，所以6l i m In(2 c o s 2 x)=/()=l n(2 c o s 2 4)=0-6 6(4)l i m 近 壬 U l i m 巫学叵生Xf()x 1 0 X(V x+l +l)1 1 _ 1-工 6+1+1-4;,=l i m 7X=i O x(V +l)(5)H m 互乏 =H mX f l X L X f l(x 1)(/5%4+y/x)=l i m _ _ _ _ _ _ 夕 _ 4 _ _ Ijr n-2.x f (x l)(j5 x-4+V)x-J5 x 4 +V 5 4

51、4 +V 1(6)limSinx sin。x-ax-a2cos 守 sin 千=lim-2-2_x a x-a=limcos 0 lim-2=cos 旦乜 =cos.x-a 2 x-a X-C l 2F(7)lim(斤 二-许)=lim 向73三)(伊7+E)XT+I 0(收+工+收一工)=lim-/2，,=lim,?；-=1.心+x+&2_x)(J i+L ji)4.求下列极限：1(1)limex;X f 8(2)l i m i n gx-0 X1 A(3)lim(l+与2；Xf8 X(4)lim(l+3tan2x 3)cot2x;(2)limln=In(lim)=lnl=O.X f o X

52、 x-0 Xxj 1(3)lim(l+)2=lim(l+)x k=/=&.x-8 x x-c oL x x-0 xzl lim(尹)2；XT8 6+X(6)lim M+嗽 七 3 益血.1。xvl+sin2x-x1 i iml解 lim e=F=e=l.X f 8(4)l i m(l+3ta n2 x)c o t2=l i m (1+3ta n2 x)3tTQ.x-1 Q 6+x 3 x-1(5)(任)=(1+3-)百 乐 K.因为hm(l+”)-3=e,limW咛=一彳x-8 6+x X T8 6+X 2 2所”以,l i m(Q炉i y)-2I =e _ 32.Xf o o 6 +X H

53、m Jl+ta n x Jl+s i n 4=H m (+ta n x -Jl+s i n x)(Jl+s i M x+l)a。x Jl+s i r P x -x x-。Jl+s i r P 矛-l)(V l+ta n x+Jl+s i n x)i o x s i n 2 x(Jl+ta n x +Jl+s i n n)ta n x-2 s i n2=您 xsiM xX f 0 尤 3 25.设函数/(x)=1 e*0的连续函数？解 要使函数於)在(-00,+00)内连续，只须加)在x=0处连续，即只须l i m/(x)=l i m/(x)=/(O)=a.因为 l i m /(x)=l i m

54、 ex-,l i m /(x)=l i m (a+x)=a,所以只须取 a=l.x-0 x f-0 x-+0 x f+0习题 1-1 01 .证明方程/-3x=l 至少有一个根 介 于 1 和 2之间.证 明 设/U)=x 5-3x-1,则犬x)是闭区间口，2 上的连续函数.因为/(1)=-3,1 2)=2 5,/(1(2)0,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点J(1 2),使/=0,即x=J 是 方 程 3 ml的介于1 和 2之间的根.因此 方 程 3x=l 至少有一个根 介 于 1 和 2之间.2 .证明方程x=tz s i n x+b,其中a 0,6 0,至少有-一个正根，并且它

55、不超过a+b.证 明 设f(x)as i n x+h-x,则犬x)是 0,a+b 1.的连续函数./(0)=/(a+b)=s i n (a+Z?)+f t-(+)=4 z s i n(a+Z?)-l 0.若/(。+。)=0,则说明x a+b就是方程x=a s i n x+b 的一个不超过a+h的根；若仙+与0,则 的 西+。)0,由零点定理，至少存在一点(0,a+。)，使人凯0,这说明x=&也是方程x=as i w c+b的一个不超过a+b的根.总之，方程x=a s i n x+b 至少有-个正根，并且它不超过a+Z?.3.设函数/(x)对于闭区间也切上的任意两点x、y,恒有叭x)K U)L

56、k-y l,其中L为正常数，且人”)负。)0.证明：至少有一点自以应用，使得AJ=0.证 明 设 x o 为3,与内任意一点.因为0 l i m l/(x)-/(x0)l XQ X f%O所以 l i m l/(x)-/(闻片0,X%o即 l i m /(x)=/(x0).X T%因此兀r)在(a,b)内连续.同理可证人外在 点a处左连续，在 点b处右连续，所以/U)在 a,切上连续.因为於)在3,句上连续，且。)灯6)0,由零点定理,至少有一点生(a,b),使得/H).4 .若加)在 a,6 上连续,a r i X2 5 曲 则在3,x“上至少有 一 点 使 户、_/(“+/。2)+/(/)

57、J电厂 n证 明 显然/(x)在上也连 续.设 V和 机 分 别 是 人 幻 在 上的最大值和最小值.因为电m,X (1W，4 ),所以有加勺)M 从而有n-m f(xi)+f(x2)+-+f(x,l)0,只要L d X,就有X 00f x-As,KP A-sf(x)x0存在是/(x)在 X o的某一去心邻域内有界的 条件.(3)段)在 x o 的 某 一 去 心 邻 域 内 无 界 是 l im /(x)=oo的 条 件.l im /(彳)=8 是4 1)在祀的某一去心邻域内无界的 条件.(4 (x)当 X T 沏时的右极限兀”+)及左极限/(x o。都存在且相等是l im /(x)存在X

58、T%的 条件.解(1)必要，充分.(2)必要，充分.(3)必要，充分.(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：设/)=2+3*-2,则当x-0 时，有().(A)/(x)与 x是等价无穷小；(5 求x)与 x同阶但非等价无穷小；是比x高阶的无穷小；(Z)/(x)是比x低阶的无穷小.解 因 为 加 忠=1由 空 电 W=li mR+li m竺 4X TO X x-0 X 1 0 x x-0 x=l n 21im-+l n 3 1im-0 l n(l+z)f 01n(l+u)=l n 2+l n 3(令 2 l=f,3*-1=).所以 r)与 x同阶但非等价无穷小，故应选B

59、.3 .设/(x)的定义域是 0,1,求下列函数的定义域:/)；川 n x);(3)/(a r c t a n x);(4)/(c os x).解(1)由0 eA l得x 0,即函数式)的定义域为(-8,0.(2)由(K l n x W l得1 0 4?,即函数N n x)的定义域为(3)由(K a r c t a n x V I 得 OW Et a n 1,即函数/(a r c t a n x)为定义域为 0,t a n 1.(4)由 04 C OS X 1 得 X 2 +y(=0,1,2,),即函数/(c os x)的定义域为2“万 拳万+御，(”句,1,2,).4 .设/(x)=0 x

60、(r g(x)=0-x2x 0求 胆X),g g(x),/g(x),解因为穴x)20,所以月(x)4 x)=x 00 x因为 g(x)W 0,所以 g g(x)H);因为g(x)4 0,所以力g(x)=0;因为 f(x)Q,所以 g t K x)=-f2(x)=0-x2x 05 .利用y=s in x的图形作出下列函数的图形：y=l s in x l;Q)y=s in L r l;(3)y=2s in6.把半径为R的一圆形铁片，自中心处剪去中心角为a的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为a的函数.解设围成的圆锥的底半径为r,高为，依题意有R(2 7r-a)=27r r ,”R(2 -a

61、).h=y/R2-r2-IR2 R 2(2 万 一&)24万2=R-2/一.圆锥的体积为；兀.堂&卫/.R也*3 4/2 万=5 QT T a)2 M 4兀a a1(0 a 0,要 使 I”一,:6-51 ,只需卜-3 1 ,取 工 ,当x-30 k 3 l b 时，就有N 3 1 ,即产-6_ 5|3 x-38 .求下列极限：(l)l imXT 1x2-x+ld)2(2)l im X(A/X2+1-X);Xf+8(3)l im 空 号 严;2 x+lt anx-s inx,(5)1 嘲伍 0,b 0,c 0);(6)l im(s inx)t anr解 因 为 勤 鹏=。，所 以 分 转=00

62、.l im 双向-x)=l im 城年辿三公I+8 XT+0 O(V X2+1+X)=l im /x=l im ,=彳Xf+8 jx 2 +i+x 1+8,+4+2 蚂(鼐 产=照。+高)-+l=l im(l+-)2A2-+1 21x-8 2x+l9 2 x+l 9 1=l im(l+彳J)2(i+)21 8 2x4-1 2x4-1o 2x+l 7 1=l im(1+4；)2 im(l+1T)2=e.XT 8 2 x+l X-8 2 x +l1(4)limt a n x-s i n r=limX f 0 X5 XT。sinX-cosxT)=limX TOsinx(l-cosx)x3cosx2呜

63、2=lim-YXf 0 炉sinx-2sin2-=lim-z-：xf o xJcosx(提示：用等价无穷小换).12I 3 (苦 夕=哪+0 +方 +6-3)/+炉+c*-3 3x，因为蚓1+，+a+c -333y ix+hx+cx-3=elimxf 0出+-3 _ 2呷3x口 -1 1 1 c T)3/-oln(l+O-*o ln(14-w)+ln&lim十1nc物面%X1x x所以=g(lna+lnb+lnc)=ln W b n,吗(始+。*)十=/麻=.提示：求 极 限 过 程 中 作 了 变 换1=,-1=,cx-v.(sinx-l)tanj e、r(6)lim(sinx)tanA=l

64、im f l+(sinx-l)sinA-1,因为X-yliml+(sinx-l)sinx-i-e,2v/.八，-sinx(sinx-l)lim(sinx-l)tanx=lim-1篁 cosx2=lim辿 迎 生 地=-lim迦 迪=o,cosx(sinx+l)x-工 sinx+12 2所以 lim(sinx)la n x=e=l.9.设/*)=m十 0,要使於)在(_*+内连续，应怎样选择数”?%0,求人划的间断点:，并说明间断点所属类形.ln(l+x)-lxr x-r x-x ilim/(x)=lim e*T=8(提小 lim-=4-00),x-l+x-l+x-l+x-1所以4 1是函数的第

65、二类间断点.J-1又因为 lim f(x)=lim ln(x+l)=O,lim/(x)=lim ex=,x-o_ 10+x-o+e所以4 0也是函数的间断点，且为第一类间断点.11.证明 i-8 J 2+yn?+2 y/n2-n证明因为且V2+n y/n2+l n2+2 n2+n v2+llim/=lim J “=1,lim/-=lim 7 8.2+T 8 /+j_”7 8V n所以 lim(,1+.1+.1)=1.”f 8 J 2+i jM+2 4nl+n12.证明方程sinx+x+l=O在开区间卡,乡内至少有一个根.证 明 设/(x)=sinx+x+l,则函数上)在 一段,创上连续.因为/

66、(-孕=-1-1=-拳 /(y)=l+f+l=2+1,/(-y)J(y)+8,X f-0 0)(2)求曲线y=(2x-l)e的斜渐近线.证 明(1)仅就x f 8 的情况进行证明.按渐近线的定义,y=H+8 是曲线匕/&)的渐近线的充要条件是lim/(x)-(fcv+b)=O.X00必要性：设产乙+是曲线乃心)的渐近线，贝 lj lim(x)-(履+份=0,Xf 8于是有 lim 凡/0)=0 n lim 八，)-k=0 n k =lim 外,x-0C X X X-00 X XTOO x同时有 lim/(x)-b:-/?=O=/?=im f(x)-kx.X-00 X T 8充分性：如果女=lim/,b=im f(x)-kx,则X-00 X X-COlim/(x)-(x+/?)=hm f(x)-kx-b=imf(8 X-00 JC 8因此ykx+h是曲线y/x)的渐近线.(2)因为k=lim 工=lim 空 工 j=2,Xf 8 X X f 8 X1 1 tb=limy-2x=lim(2x-l)e-2x=2 lim x(e*-1)-1=21im,；-1=1,X-00 x-o o x-0