三角函数的图像与性质知识点及习题

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1、三角函数 的图象与性质基础梳理1 “五点法 ”描图(1) ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,0)( ， 0)3， 0)， 1， 1 (222(2) y cos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为， ( ， 1)，3，(2 ，1)(0,1)， 0， 0222.三角函数的图象和性质函数ysin xy cos xy tan x性质定义域RR x|xk ， k Z2图象 1,1 1,1R值域对称性周期单调性对称轴： _ x k 对称轴：2x k(kZ)_；(k Z)_ _；对称中心：对称中心：_ (k， 0)(k Z)_ _( k ， 0) (k Z)_222单 调

2、 增 区 间 _2k单调增区间 2k ，2k(k Z) _；，2k(k Z)_；22单调减区间 2k， 2k单调减区间 2k ，2(k Z)_32k2 ( k Z) _k对称中心：_2 ， 0(k Z) _单调增区间 _(k ，2k 2)(k Z)_奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x) ，如果存在一个非零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范

3、围的每一个x 值都满足 f(x T) f(x)，其中 T 是不为零的常数 .如果只有个别的x 值满足 f(x T) f( x)，或找到哪怕只有一个x 值不满足 f(x T) f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周期 .函数 yAsin(x)和 y Acos(x )的最小正周期为2，|y tan(x)的最小正周期为.|4.求三角函数值域(最值 )的方法：(1) 利用 sin x、 cos x 的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是 1,1 ，因此对于 ? x R，恒有 1sin x1， 1cos x1，所以 1叫做ysin x，y cos x的上确界，1 叫做y sin

4、 x， ycos x的下确界.(2) 形式复杂的函数应化为y Asin(x ) k 的形式逐步分析x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3) 换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值 )问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y sin2x 4sin x 5，令 t sin x(|t|1)，则 y (t 2)2 11，解法错误 .5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x )(0) 的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间 .应特别注意，应在函数的

5、定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号 ) (1)y sin 2x 4 ； (2)y sin 4 2x.热身练习 :1函数 y cos x， x R()3A 是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数 x的定义域为 ()2函数 y tan 4A . x xk， kZ B. x4x2k ， k Z4C. x xk ， kZD. x x2k ， kZ443函数 y sin(2x3)的图象的对称轴方程可能是()A x6B x 12C x 6D x12【解析】 令 2x k 3 k 2，则 x 2 12( k Z

6、) 当 k0 时， x 12，选 D.4 y sinx 的图象的一个对称中心是 ()4A (， 0)B. 33D.， 0C.， 0， 0422解析y sin x 的对称中心为 (k， 0)(k Z)，令 x 4 k(k Z)， x k 4(k Z)，由 k33 1， x 4得 ysin x4 的一个对称中心是4， 0.答案B5下列区间是函数y 2|cos x|的单调递减区间的是()A.(0 ，)C.3D . ，B. ， 0， 22226已知函数 f(x)sin(2x )，其中 为实数，若 f(x) |f()|对任意 x R恒成立，且 f() f( )，则 f(x)的单调递增区间是 ()62A

7、k， k( k Z)B k， k ( k Z)362C k2D k， k3(k Z)，k(k Z)62【解析】 当 x R时， f(x)|f(6)|恒成立， f() sin( )1635可得 2k6或 2k 6， k Z) sin f( )sin(2 ) sin f() sin(2 2k 5 sin0. 1 cos x1， 0cos x1.利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知 0OM 1， OM 只能在 x 轴的正半轴上，其定义域为x| 2kx0sin x2， tan x 10?tan x 1，x xcos 28 02 k.82图 如图 利用单位圆得：52k 6x2k 6 ，3 函数的定义域为

8、3k x k4， x|2kx0，0x 4，?则tan x0，k xk2 k Z .x k 2， kZ利用数轴可得图图 函数的定义域是 x|0x0 ， 0,0 2)的部分图象如图所示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x) f(x12) 2，求函数 g(x) 在 x 的值x ，上的最大值，并确定此时63【解析】 (1)由图可知A 2，T234，则 4 .3320又 f( )2sin 3( ) 2sin( )6264sin( ) 04 0， 0) 来确定 ；的确定：由函数 y Asin(x ) K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点 )的横坐标为(即令 x 0， x ) 确定 .例 4 若方程

9、 3sinx cosx a 在 0,2 上有两个不同的实数根求此时 x1 x2 的值【解析】 3sinx cosx 2sin(x 6)， x 0,2 ，作出 y 2sin(x 6)在 0,2 内的图象如图x1，x2，求 a 的取值范围，并由图象可知，当1 a 2 或 2 a 1 时，直线 y a 与 y 2sin( x6)有两个交点，故 a 的取值范围为 a( 2,1) (1,2)2当 1 a 2 时， x1 6 x2 6 .x1 x2 3 .8当 2 a1 时， x1 6 x26 3， x1x2 3 .【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三

10、角函数 “形 ”的特征例 4 已知函数f(x) Asin(x )，x R(其中 A 0， 0，0 2)的图象与x 轴的交点2中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为M( 3 ， 2)(1)求 f(x)的解析式；1，个单位后， 再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的(2)将函数 f(x)的图象向右平移 122纵坐标不变，得到 y g(x)的图象，求函数yg( x)的解析式，并求满足g(x) 2且 x 0，的实数 x 的取值范围2【解析】 (1)由函数图象的最低点为M( 3 ， 2)，得 A 2，T由 x 轴上相邻两个交点间的距离为2，得 22，即 T ，222 2.又点 M (3 ，

11、 2)在图象上，得2sin(23) 2，4即 sin( 3 ) 1，411故 3 2k 2， k Z， 2k6 ，又 (0， 2)， 6.综上可得 f(x) 2sin(2x6)(2)将 f(x) 2sin(2x6)的图象向右平移12个单位， 得到 f1(x) 2sin2( x12) 6，即 f1 (x) 2sin2x 的图象，1然后将1的图象上各点的横坐标缩小到原来的g(x)f (x) 2sin2x2，纵坐标不变，得到2sin(2 2x)，即 g(x) 2sin4x.0x0x2 .由得g x 2sin4x 2sin4x20x0x则3即 k k 3.2k 44x2k 4k Z2 16x2 16k

12、 Z故3911x 或16x .161616题型四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例 1 已知函数f(x) sin( x)，其中 0， | 2.3(1)若 cos4cos sin 4 sin0，求 的值；(2)在 (1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数3【解析】 (1)由 coscossin sin 0得 cos( )0.444|0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把“x (0) ”视为一个 “整体 ”； A0 (A

13、0， 0)： 若求 y f(x)的对称轴，只需令x k (k Z)，求出 x；2若求 yf(x)的对称中心的横坐标，只零令x k(k Z )，求出 x； 若求 y f(x)的单调增区间，只需令2k 2x 2k2，求出 x；3若求 yf(x)的单调减区间，只需令2k2x 2k 2，求出 x.题型七三角函数的对称性与奇偶性例 3 (1)已知 f(x) sin x 3cos x(xR)，函数 y f(x )x 0 对称，| 的图象关于直线2则 的值为 _.(2) 如果函数 y 3cos(2x )的图象关于点4中心对称，那么 |的最小值为 ()， 03A . 6B. 4C.3D. 2(1) 6f (x

14、) 2sin ( x) ， y f(x ) 2sin( x) 图象关于 x0 对称，33即 f(x )为偶函数 3 2 k， k Z，即 k 6， k Z，所以当 k0 时， 6.(2)A3cos(24) 3cos( 22) 3cos( 2)0,3332 3 k 2， k Z ， k 6， k Z ，取 k 0，得 |的最小值为6.故选探究提高若 f(x) Asin(x )为偶函数，则当x 0时， f(x)取得最大或最小值 .若 f(x) Asin(x )为奇函数，则当x 0 时， f(x) 0.如果求 f(x)的对称轴，只需令 x k k( Z)，求 x.2如果求 f(x)的对称中心的横坐标

15、，只需令x k k( Z)即可 .变式训练 3(1)已知函数f( x) sinx acos x 的图象的一条对称轴是x5，则函数 g(x) asin3x cos x 的最大值是()2223426A.3B.3C.3D.3由题意得f(0) f(10) ， a 3 a.322332323 a3 , g( x) 3 sin x cos x3sin ( x) ，2 3 g(x)max 3 .(2) 若函数 f(x) asin x bcos x(0 5，ab 0)的图象的一条对称轴方程是x 4，函数 f(x)，则 f(x)的最小正周期是 _.的图象的一个对称中心是，08(1)B(2) f (22222由题

16、设，有4 ) a b，即 2(a b) ab ，由此得到 a b.又 f ( 8 )0 ，所以 a(cos8sin8 ) 0，从而 tan81， 8 k 4， k Z ，即 8k2， k Z，而 05，所以 2，于是 f(x) a(sin 2 xcos 2x) 2asin (2 x4 )故 f(x)的最小正周期是.题型八三角函数的值域与最值的求法及应用例 3(1) 求函数 y 2sinxcos2x的值域；1 sinx(2)求函数 y sinxcosx sinxcosx 的最值；1 cos 2x asin xx(3)若函数 f(x) cos(2，试确定常数a 的值22)的最大值为4sin(x)2

17、2【解析】（1） y= 2sin x(1sin x)1 sin x 2sinx(1 sinx) 2sinx 2sin2x 2(sinx12)212.11 sinx0， 1 sinx1. 4 y2.故函数y2sinxcos2 x的值域为1 sinx1(4， 2(2)令t sinx cosx，则sinxcosxt2 1，且 |t|22. y1(t2 1) t 1(t 1)2 1，22当 t 1 时， ymin 1；当 t2时， ymax 21.2cos2x2x x 1a(3)f(x) 4cosx asin2cos22cosx 2sinx1a2144 sin(x )， (其中 tan a)1a2由已

18、知得4 4 2，解得 a 15.【点评】 求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法b(1)y asinx bcosx 型，可引用辅角化为 y a2 b2sin(x )(其中 tan a)(2)y asin2x bsinxcosx ccos2x 型，可通过降次整理化为y Asin2x Bcos2x C.(3)y asin2x bcosx c 型，可换元转化为二次函数(4)sinxcosx 与 sinxcosx 同时存在型，可换元转化(5)yasinx bacosx b|sinx|1(或 |cosx|1)来解决，也可(或 y)型，可用分离常数法或由csinx dccosx d化为真分式去

19、求解(6)yasinx b型，可用斜率公式来解决ccosx d例 4 已知函数 f(x) sin2x acos2x(a R， a 为常数 )，且是函数 y f(x)的一个零点4(1)求 a 的值，并求函数f(x) 的最小正周期；(2)当 x 0， 2 时，求函数 f(x)的最大值和最小值及相应的x 的值2【解析】 (1)由 4是 y f(x)的零点得f(4) sin2 acos 4 0，求解 a 2，则 f(x) sin2x 2cos2x sin2x cos2x 12sin(2x 4) 1，2故 f(x)的最小正周期为T 2 . 32(2)由 x 0， 2 得 2x 4 4， 4 ，则2sin

20、(2x 4)1，因此 2 2sin(2x 4) 1 21，故当 x0时， f(x)取最小值 2，3当 x8 时， f(x)取最大值21.2 11设 a R，f(x) cosx(asinx cosx)cos ( x)满足 f(3)f(0)，求函数 f(x)在 ，24 上的最大24值和最小值a【解析】 f(x)asinxcosxcos2 x sin2x 2sin2x cos2x由 f(3 a 1 1，解得 a2 3.3) f(0)得222f(x) 3sin2x cos2x 2sin(2x)6 当 x 4， 3时， 2x6 3， 2 ， f(x)为增函数 11 3当 x 3， 24 时， 2x 6 2， 4 ， f(x)为减函数 113， f(11f(x)在 ，24上的最大值为 f() 2又 f() 2434