新定义型问题

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1、2014 年中考数学二轮复习精品资料新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推 理、迁移的一种题型“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点在复习中应重视学 生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1(2013 湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再

2、按要求答题:.sin30= 2，cos30=，则 sin230。+如30。=2 2迈Vsin45=，cos45=，则 sin245+cos245=220)且 sinA= 5，求 cosA.思路分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；由前面的结论，即可猜想出：对任意锐角A,都有sin 2A+cos2A=1；(1)如图，过点B作BD丄AC于D,贝iZADB=90.利用锐角三角函数的定义得出sinA=暮ABADBD 2 + AD 2，cosA= IB，则 sin2A+cos2A=-AB 2根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1 ；(2)利用关系式sin2A

3、+cos2A=1，结合已知条件cosA0且sinA= 5，进行求解.解：Vs in 30= 2，cos30=亘,2 22=4+4=i；4 41sin230+cos230= ()2+(sin45=，cos45= 2 2sin245+cos245=(空)21 1 2= 2+2 =1；Vsin60，cos60=2 2sin260+cos260=(f22=4+4=i.4 4观察上述等式，猜想:对任意锐角A，过点B作BD丄AC于D,贝IZADB=90.AD,BDsin2A+cos2A=(乔)ADF )2=BD 2 + AD 2AB，都有 sin 2A+cos2A=1 .BD sinA=，cosA=ABA

4、BVZADB=90, .BD2+AD2=AB2, /.si n2A+cos2A=1.(2)VsinA= 5，sin2A+cos2A=1，ZA 为锐角,.cosA=、：1-(|)2 二5点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单.对应训练1. （2013绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重 心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可 以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：AO 2（1）若0是厶ABC的重心（如图1）,连结AO并延长交BC于D,证明： =3 ；AO 2（2）

5、若AD是厶ABC的一条中线（如图2），0是AD上一点，且满足詬 =3，试判断0是厶ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；S四边形BCHGAGH（3）若0是厶ABC的重心，过0的一条直线分别与AB、AC相交于G、H （均不与AABC 的顶点重合）（如图3），S，S 分别表示四边形BCHG和厶AGH的面积，试探S究四边形BCHG的最大值.SV AGH答图1点0是厶ABC的重心，CE是中线，点E是AB的中点. DE是中位线，1.DEAC,且 DE= AC.2.DEAC, .AOCsADOE,AO ACOD DE.AD=AO+OD,AO 2 AD 3(2)答：点O是厶ABC的重心.证明

6、：如答图2,作厶ABC的中线CE，与AD交于点Q,则点Q ABC的重心.答图2AO 2 可知,7D=32由(1)答图孑AO而AD 3点Q与点O重合(是同一个点),点O是厶ABC的重心.(3)解：如答图3所示，连接DG.AO 2设 SGOD=S,由(1)知=，即 OA=2OD,3 Saog=2S, Sagd=Sgod+Sago=3S - 为简便起见，不妨设AG=1, BG=x，则Sabgd=3xS.=2kS,- SABD=SAGD+SBGD=3S+3XS= (3x+3) S， Saabc=2Smbd= (6x+6) S.设 OH=kOG，由 Saag=2S，得 Saoh- SAGH=SAGO+S

7、AOH= (2k+2) SS 四边形bchg=Saabc0agh=(6X+6)S- (2k+2) S=(6x-2k+4) S.S(6 x -2k + 4) S 3x - k + 2 (2 k + 2) S四边形BCHG =SV AGH如答图3,过点O作OFBC交AC于点F,过点G作GEBC交AC于点E,则OFGE. .OFBC,OF AO 2 而_而3 ,2 1 OF= CD= BC；3 3.GEBC,GE AG 1 BC AB x 1 BC GE=x 1BC 1.OF 3 x 1 GE _ BC = 丁 ,OF.OFGE,.OH _ OF GHGE，OH OFGE - OF 3 - (x +

8、1) = 2 - xX + 1OG GE - OF 2-Xx +1 k=，代入式得：2- xS四边形BCHG =SV AGH3x - x!+23x - k 2 3x 2 -x 十215=-X2+X+1=- (x-)2+ ,x 1 1242-x1当 x= 时,厶S-四边形BCHG有最大值，最大值为S4V AGH考点二：运算题型中的新定义例2(2013河北)定义新运算：对于任意实数a, b,都有ab=a (a-b) +1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2x (2-5) +1=2x (-3) +1=-6+1_=-5。(1) 求(-2)3的值；(2) 若3x的值小于13,求x的取值

9、范围，并在图所示的数轴上表示出来.I I I I I I I 鼻-1 1 2 3思路分析：(1)按照定义新运算ab=a (a-b) +1,求解即可；(2) 先按照定义新运算ab=a (a-b) +1,得出3x,再令其小于13,得到一元一次不等 式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示.解(1 )va b=a (a-b) +1,A(-2)3=-2 (-2-3) +1=10+1=11；(2)V3x13,.3 (3-x) +113,9-3x+113,-3x-1.在数轴上表示如下：-5 才W -2 -9 O 1 2 3 4点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新

10、定义法 则是解题的关键.对应训练2. (2013十堰)定义：对于实数a,符号a表示不大于a的最大整数.例如：5.7=5, 5=5, -n=-4.(1) 如果a=-2，那么a的取值范围是.X +1一(2) 如果丐=3，求满足条件的所有正整数x.2.解:(1)va=-2,.a的取值范围是-2sa-1；(2)根据题意得：x +13勻二4,解得：5x7,则满足条件的所有正整数为5, 6.考点三：探索题型中的新定义例3(2013钦州)定义：直线11与12相交于点0,对于平面内任意一点M,点M到直线12的距离分别为p、q,则称有序实数对(p, q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距 离坐标”是(1,

11、2)的点的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5思路分析： “距离坐标”是(1,2)的点表示的含义是该点到直线112的距离分别为1、2.由 于到直线片的距离是1的点在与直线片平行且与片的距离是1的两条平行线aa2上,至I直 线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线bb2上，它们有4 个交点，即为所求.解：如图，到直线片的距离是1的点在与直线片平行且与片的距离是1的两条平行线a2上, 到直线12的距离是2的点在与直线12平行且与12的距离是2的两条平行线bb2上, “距离坐标”是（1, 2）的点是MM2、M3、M4，一共4个.故选C.点评：本题考查了点到直线的距离，

12、两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条 直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键.对应训练3. （2013台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好 玩三角形”.（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2） 如图在RtAABC中，ZC=90。，tanA=，求证：AABC是“好玩三角形”；（3）如图2,已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=2B，点P，Q从点A同时出发，以相 同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为S.a当B=45时，若 APQ是“好玩三角形”，试求一的值；当tanp的取值在什么

13、范围内，点P, Q在运动过程中，有且只有一个APQ能成为“好玩 三角形”.请直接写出tanp的取值范围.（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于在点P, Q的运动过程中，tanp的取值范围与 APQ是好 玩三角形的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）C3.解：（1）如图1,作一条线段AB, 作线段AB的中点0, 作线段0C,使0C=AB, 连接AC、BC,/.ABC是所求作的三角形.(2) 如图2,取AC的中点D,连接BD.羽 ZC=90, tanA=-,2BC 3 ,AC 2./设 BC= ：3 x,则 AC=2x,*

14、D是AC的中点，1/CD= AC=x2/. BD= CD2 + BC2 二x2 + x2 =2x,AC=BD/.ABC是“好玩三角形”；(3) 如图3,当B=45,点P在AB上时，.ZABC=2B=90,APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，连接AC交PQ于点E,延长AB交QP的延长线于点F, PC=CQ, ZCAB=ZACP,ZAEF=ZCEP,.AEFsMEP,AE AF AB + BPs CE PC PC 2a - sBAE PE 2a-sI当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时,AE s_ =2，PE 2a-sa 3s 4 II当腰AP与它的中线QM相

15、等，即AP=QM时， 作QN丄AP于N,如图41.MN=AN=MP.2.QN八氐 MN,tanZAPQ= pNQN _J15MN 屈 ,3MNAEAtanZAPE= PE _ 2a-sa 151=+ 。s 102由可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个APQ能成为“好玩三角形”,芈vtan中时，有且只有一个皿能成为“好玩三角形”.(4)由(3)可以知道OVta npv则在P、Q的运动过程中，使得APQ成为“好玩三角形”的个数为2.考点四：开放题型中的新定义例4（2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边

16、形.如菱形就是和谐四边形.(1) 如图 1,在梯形 ABCD 中，ADBC,ZBAD=120。，ZC=75, BD 平分ZABC.求 证：BD是梯形ABCD的和谐线；(2) 如图2,在12x16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A. B. C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的 四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；(3) 四边形ABCD中，AB=AD=BC, ZBAD=90, AC是四边形ABCD的和谐线，求ZBCD思路分析：(1)要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明ABD和厶BDC是等腰 三角形

17、就可以；(2) 根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在BC上任意一点构成的四边形 ABDC就是和谐四边形；连接BC,在厶BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD,构成 的四边形ABCD就是和谐四边形，(3) 由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出AACD是等腰三角形，从图4,图5,图6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30。的直角三角形性质就可以求出ZBCD 的度数.解：(1)TADBC,AZABC+ZBAD=180, ZADB=ZDBC. VZBAD=120,.ZABC=60.BD 平分ZABC,/.ZABD=ZDBC=30,/.ZABD=ZADB,ADB是等腰三角

18、形.在ABCD 中，ZC=75。，ZDBC=30,.ZBDC=ZC=75。， BCD为等腰三角形， BD是梯形ABCD的和谐线；(2)由题意作图为：图2,图3AA图2图3(3) AC是四边形ABCD的和谐线, ACD是等腰三角形.*/ AB=AD=BC,如图4,当AD=AC时，.AB=AC=BC,ZACD=ZADC/.ABC是正三角形，AZBAC=ZBCA=60.VZBAD=90,AZCAD=30 ,AZACD=ZADC=75,.ZBCD=60+75=135.如图5,当AD=CD时，AB=AD=BC=CD.VZBAD=90,四边形ABCD是正方形，/.ZBCD=90如图6,当AC=CD时，过点

19、C作CE丄AD于E ,过点B作BF丄CE于F,1.AE= AD,ZACE=ZDCE.2：ZBAD=ZAEF=ZBFE=90,四边形ABFE是矩形.BF=AE.*/ AB=AD=BC,1BF= BC,2.ZBCF=30.*/ AB=BC,/.ZACB=ZBAC.ABCE,/.ZBAC=ZACE,1.ZACB=ZACE= ZBCF=15,2/.ZBCD=15x3=45.点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定， 等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30。的直角三角形的性质的运用.解答如图 6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键.对应训练

20、4. （2013常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的 顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形.设格点多边形的面积为S,该多边亠 1形各边上的格点个数和为a,内部的格点个数为b,则S= a+b-1 （史称“皮克公式”）.小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角 形网格中每个小正三角形面积为1,小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为 格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表:格点多边形各边 上的格点的个数格点边多边形内 部的格点个数格点多边形的面 积多边形181多边形27

21、3一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S= （用含a、b的代数式表示）.4.解：填表如下：格点多边形各边 上的格点的个数格点边多边形内 部的格点个数格点多边形的面 积多边形1818多边形27311一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=a+2 （b-1）（用含a、b的代数式表示）.考点五：阅读材料题型中的新定义例 5 (2013 舟山)对于点 A(x，y)，B(x2, y2),定义一种运算：A B=(xl+x2)+ (yl+y2).例 如，A (-5, 4), B (2, -3), AB= (-5+2) + (4-3) =-2.若互不重合的四点 C, D, E, F,满足 CD

22、=DE=EF=FD，贝IC, D, E, F 四点()A. 在同一条直线上B. 在同一条抛物线上C. 在同一反比例函数图象上D. 是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C(x3,y3),D(x4,y4) ,E(x5 ,y5) ,F(x6 ,y6),先根据新定义运算得出(x3+x4) + (y3+y4) =(X4+X5)+ (y4+y5) = (x5+x6) + (y5+y6) = (x4+x6) + (y4+y6), 则 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6 ,若令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k 则 C(x3,3), D(x4 ,4)， E (x5 , y5)

23、 F (x6 , y6)都在直线 y=-x+k 上.解：对于点 A(X y1) B (x2 , y2) AB= (x+x2)+ (y1+y2) 如果设 C (x3 , y3) D (x4 , y4) E (x5 , y5) F (x6 , y6)那么 C D=(X3+X4) +(y3+y4)DE= (x4+x5) + (y4+y5) EF= (x5+x6) +(5+6)FD= (x4+x6)+ (y4+y6) 又V C D=D E=E F=F D ,(x3+x4)+ (y3+y4) = (x4+x5) + (y4+y5) = (x5+x6) + (y5+y6) = (x4+x6) + (y4+

24、y6) x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6 令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k 则 C (x3, y3), D (x4, y4), E (x5，y5), F (x6，y6)都在直线 y=-x+k 上，互不重合的四点C, D, E, F在同一条直线上.故选A.点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度. 对应训练5. (2013天门)一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩 下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作 后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形.如图

25、1矩形ABCD中，若AB=2, BC=6,则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.(1)判断与操作：如图2,矩形ABCD长为5,宽为2,它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形, 并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由.(2)探究与计算:已知矩形ABCD的一边长为20,另一边长为a (a20),且它是3阶奇异矩形，请画出矩 形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值.(3)归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b, c (bvc),且它是4阶奇异矩形，求b： c (直接写出 结果).7.解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下:(2)裁剪线的示意图如下:(3) b

26、： c的值为1 4 2 3 4 5 3 5 5,5,7,7,7,7,8,8?规律如下：第4次操作前短边与长边之比为:第3次操作前短边与长边之比为：3,3 ；第2次操作前短边与长边之比为：4,4,2,3；4 4 5 5第1次操作前短边与长边之比为:1 4；3 4；2 5.3 55,5,7,7,7,7,8,8四、中考真题演练一、选择题1. (2013 成都)在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是()5门A. y=-x+3 B. y=C. y=2x D. y=-2x2+x-lx1. C2. (2013绍兴)若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展 开图的圆心角是( )

27、A. 90B. 120C. 150D. 180。2. D3. (2013潍坊)对于实数x,我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.2=1, 3=3,x 4-2.5=-3,若芯 =5，则x的取值可以是()A. 40B. 45C. 51D. 563. C4 (2013乌鲁木齐)对平面上任意一点(a, b),定义f，g两种变换：f (a，b) = (a，-b).如 f (1, 2) = (1, -2)； g (a, b) = (b, a).如 g (1, 2) = (2, 1).据此得g (f (5,-9) =( )A. (5, -9)B. (-9, -5)C. (5, 9)D. (9, 5)4.

28、 D(2013 常德)连接一个几何图形上任意两点间的线段中， 红十字图标)中直径”最小的是(5.最长的线段称为这个几何图形 )D5C二、填空题6. (2013上海)当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为特征三角形”，其中a称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为.6. 307. （2013宜宾）如图，AABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧8.C,如果AB=1，那么曲线CDEF的长是 .（2013淄博）在厶ABC中，P是AB上的动点（P异于A, B）,过点P的一条直线截 ABC,使截得的三角形

29、与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的厶ABC的相似线.如 当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的厶ABC的相似线最多8. 319.（2013乐山）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）.即当n为非负整数时，若n-斤仝1Vn+ 2，则（x） =n .如（0.46） =0，（3.67） =4 .给出下列关于（X）的结论： （1.493） =1； （2x） =2 （x）；1 若（-x-1 ） =4，则实数x的取值范围是9x0，m为非负整数时，有（m+2013x） =m+ （2013x）； （x+y） = （x） + （y）；其中，正确的结论有（填写所有正确的序号）.9. 三、解答题10.

30、 （2013莆田）定义：如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BCAB,则称点C为线 段AB的黄金分割点.如图 2,ABC 中，AB=AC=1,ZA=36, BD 平分ZABC 交 AC 于点 D.（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长.10. 解:(1)VZA=36, AB=AC,.ZABC=ZACB=72。，VBD 平分ZABC,.ZCBD=ZABD=36。，ZBDC=72,AD=BD, BC=BD,.ABCsBDC,BD CDAD CD= ，即 =,AB BCAC AD.AD2=AC CD.点D是线段AC的黄金分割点.(2)V点D是线段AC的黄金分割点，45-1

31、45-iAD= AC=2 211. (2013大庆)对于钝角a定义它的三角函数值如下：sina=sin( 180-a), cosa=-cos( 180-a)(1) 求 sin 120, cos120, sin150的值；(2) 若一个三角形的三个内角的比是1：1： 4, A, B是这个三角形的两个顶点，si nA, cosB 是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及ZA和ZB的大小.11.解：(1)由题意得sin 120=sin (180-120) =sin60=,21cos120=-cos (180-120) =-cos60=-：,21sin 150=sin (180-15

32、0) =sin30=；厶(2)V三角形的三个内角的比是1： 1： 4 ,三个内角分别为30, 30 , 120,1 1当ZA=30 , ZB=120时,方程的两根为 , -,1 1 1将代入方程得：4x( ) 2-mx -1=0 ,解得：m=0,经检验-2是方程4x2-1=0的根,m=0符合题意；当ZA=120, ZB=30时，两根为，不符合题意;当ZA=30, ZB=30时,两根为21 11将2代入方程得：4x（ 2）2-mx 2-1=0, 解得：m=0,经检验不是方程4x2-1=0的根.综上所述：m=0,ZA=30, ZB=120.12. （2013安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角

33、形的两腰所得的四边形称为准等腰（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）;（2）如图2,在“准等腰梯形”ABCD中ZB=ZC. E为边BC上一点，若ABDE, AEDC,求证:AB BEDC EC（3）在由不平行于BC的直线AD截APBC所得的四边形ABCD中，ZBAD与ZADC的 平分线交于点E.若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边 形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？ 写出你

34、的结论.（不必说明理由）12.解：（1）如图1,过点D作DEBC交PB于点E,则四边形ABCD分割成一个等腰梯 形BCDE和一个三角形ADE；.ZB=ZDEC,.AEDC,/.ZAEB=ZC,VZB=ZC,/.ZB=ZAEB,AB=AE.在 ABE和厶DEC中，fZB 二上DECZAEB = ZC，.ABEsDEC,.AE _ BEdCEC，.AB _ BEdcec ；(3)作EF丄AB于F, EG丄AD于G, EH丄CD于H,.ZBFE=ZCHE=90. AE 平分ZBAD, DE 平分ZADC,.EF=EG=EH,在 RtEFB 和 RtEHC 中J BE _ CEEF _ EH ,.Rt

35、AEFBRtAEHC (HL),AZ3=Z4. BE=CE,AZ1=Z2./.Z1+Z3=Z2+Z4即 ZABC=ZDCB, ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC,.ABCD是“准等腰梯形”.当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图4,当点E在BC边上时，同理可以证明厶EFB9AEHC,AZB=ZC,.ABCD是“准等腰梯形”.如图5,当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明厶EFB9AEHC,.ZEBF=ZECH.VBE=CE,/.Z3=Z4,/.ZEBF-Z3=ZECH-Z4,即 Z1=Z2,四边形ABCD是“准等腰梯形”.13. （2013北京）对于平面直角坐标系

36、xOy中的点P和。C,给出如下的定义：若0C上存 在两个点A、B,使得ZAPB=60,则称P为。C的关联点.已知点D （斗,2）E（0,-2）, F （2石,0）.（1）当0O的半径为1时， 在点D、E、F中，。0的关联点是 过点F作直线I交y轴正半轴于点G,使ZGFO=30,若直线I上的点P （m, n）是。O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.11 11 1、0-13.解：（1）如图1所示，过点E作。O的切线设切点为R,VOO的半径为1,.RO=1,EO=2,.ZOER=30。，根据切线长定理得出的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30 ,.E点是GO的关联点 D（，），E（0，-2），F （23，0），2 2.OFEO, DOVEO,D点一定是。O的关联点，而在。0上不可能找到两点使得组成的角度等于60。, 故在点D、E、F中，0O的关联点是D, E； 故答案为：D, E；由题意可知，若P要刚好是。C的关联点，需要点P到。C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60,由图 2 可知 ZAPB=60,则 ZCPB=30,BC连接 BC,贝IPC=2BC=2r,sm CPB若P点为。C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0d!