相交线与平行线培优设计

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1、第一讲相交线与平行线一、知识要点：平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。（一）、相交线1 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。（形成邻补角、对顶角）2 垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2） 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。3、能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角。（二）平行线1、在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。2、并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。3、利用平行公理及其推论证明或求解。4、与平行

2、线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用，主要体现在如下两个方面： （1）由角定角 已知角的关系两直线平行确定其他角的关系. （2）由线定线 已知两直线平行角的关系确定其他两直线平行.二、例题精讲题型一 相交线的交点问题例1 已知平面上199条直线的交点的最大数是P，求P的值一点就通：任意两条直线均相交，任意三条直线不共点时交点数最大。解 方法小结: n条直线两两相交，交点最多有题型二 相交线的对顶角问题例2 O为平面上一点，过O在平面上引2015条不同的直线则可形成 对以O为顶点的对顶角。一点就通：每两直线相交构成两对对顶角，n条直线每两条的组合有解：方法小结: n条直线相交于一点可

3、以构成n(n-1)对对顶角题型三 n条直线最多分平面多少部分问题例3 99条直线最多可分平面多少部分？一点就通：从特殊到一般去探究解 方法小结: n条直线最多分平面部分题型四 “三线八角”的识图与计数问题例4 在平面上4条直线两两相交，且无三线共点，求一共有多少对同旁内角？一点就通：2条直线被第3条直线所截，才能出现同旁内角。因为3条直线都可以为截线，故有6对同旁内角。而4条直线任选3条直线，则有4种情形解 24对题型五：平行线的判定与性质问题已知ABCD,连结AB、CD的折线内折或外折探究: (1)如图a,若ABCD,则B+D=E,你能说明为什么吗? (2)反之,若B+D=E,直线AB与CD

4、有什么位置关系?请证明; (3)若将点E移至图b所示位置,此时B、D、E之间有什么关系?请证明; (4)若将E点移至图c所示位置,情况又如何? (5)在图d中,ABCD,E+G与B+F+D又有何关系? (6)在图e中,若ABCD,又得到什么结论?一点就通：已知ABCD,连结AB、CD的折线内折或外折；或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间。解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形。 解：(1)B+D=E;(2)ABCD;(3)B+E+D=360;(4)E+D=B;(5)E+G=B+F+D

5、;(6)E1+E2+En=B+F1+F2+Fn-1+D.题型六：通过平移解决问题例6 平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于一点就通：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。证明：平面上n条直线两两相交最多得对顶角2n(n-1)对，即2n(n-1)个角平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动过点O，成为交于一点O的n条直线，这n条直线将以O为顶点的圆周角分为2n个（共n对）互不重叠的角：a1、a2、a3、a2n由平行线的性质知，这2n个角中每一个都和原来n条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这2n个角均是原2n(n-1)个角中的角。若这2n个角均

6、大于，则a1+a2+a3+a2n 2n=360,而 a1+a2+a3+a2n =360,产生矛盾故a1、a2、a3、a2n中至少有一个小于，即原来的2n(n-1) 中至少有一个角不小于.三、巩固练习巩固练习1巩固练习1 如图1共有多少个长方形（包括正方形）巩固练习3巩固练习2 乘火车从北京到上海，共有25站（包括北京和上海在内），那么共需准备多少种不同的车票？巩固练习3 如图2中三角形的个数为多少？ 巩固练习4巩固练习4：已知：如图1，DECB ，求证：AED=A+B.巩固练习5巩固练习5：已知：如图2，ABCD，求证：B+D+F=E+G.巩固练习6.如图,已知ABED, =A+E, =B+C

7、+D,证明: =2. (第12届“希望杯”邀请赛试题)巩固练习6巩固练习7：平面上有8条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。四、巩固练习答案巩固练习1 答案：60巩固练习2 答案：600巩固练习3 答案：24巩固练习4证明：过E作EFBA2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=B+A（等式性质）即AED=A+B巩固练习5证明：分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，则ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：HEFEFPPFGFGQQGDGDCABE+EFP+PFG+GDCBEH+HEF+FGQ+QGD（等式性质）即B+D+EFG=BEF+GFD巩固练习6答案:过C作CFAB,=A+E=180,由CFABDE得,(B+1)+(2+D)=360,故=2.巩固练习7答案:将这8条直线平移到共点后，构成8对互不重叠的对顶角，这8个角的和为180假设这8个角没有一个小于23,则这8个角的和至少为: 238=184,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23, 在所有的交角中至少有一个角小于23