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1、高中数学备忘录函数及其性质1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则；注意定义域优先的原则；2. 函数定义域的求法：分式分母不为零；偶次方根被开方数非负；零次方底数非零；对数的底数为正且不等于，真数大于零；正切和正割函数的角的终边不能落在轴上；正切和正割函数的角的终边不能落在轴上；反正(余)弦函数的自变量的范围是；实际问题的定义域要根据实际意义来确定；复合函数定义域，若已知的定义域是，则的定义域由的解集确定。3. 函数的定义域与恒成立以及函数的值域与恒成立之间都可以设陷阱吗？当函数的定义域是某区间时，自变量就一定要能取到区间的端点值，而恒成立则不需要。4. 函数的奇偶性(函数定义域内的整体性质
2、、定义域关于原点对称是必要条件)：若是偶函数，那么(图象关于轴对称)；若是奇函数，那么(图象关于原点中心对称)；判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或；判断函数奇偶性的实质是判断两个互为相反数的自变量的函数值相等或互为相反数；确定一个函数既不是奇函数也不是偶函数，通过举反例：如且等；分段函数的奇偶性分段求值和判断；复杂形式先化简后判断；原点处有意义的奇函数必过原点(可用于求参数，但要给予一般性证明)；但是一个函数为奇函数的既不充分也不必要条件，因为有定义域的限制；奇(偶)函数在关于原点对称的区间内单调性相同(反)；奇(偶)函数在关于原点对称的区间内符号相反(同)；5. 函数图像(或方程曲线)的对
3、称性(中心对称关键：中点坐标公式；轴对称关键：垂直、平分)：满足(或)，则图象关于对称；满足(或)，则图象关于对称；满足(或)，则图象关于对称；关于对称的曲线方程；曲线关于点对称的曲线方程为：；函数与的图像关于直线对称；(1)证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；(2)证明图像的对称性，即证上任意点关于中心(轴)的对称点仍在上，反之亦然；6. 函数的单调性(函数定义域内的局部性质，单调性相同但间断的区间一般不能并在一起书写)：证明步骤：设，则；，(或)，在上是减(增函数)。(证明过程中斜体字必需有，“”则要根据具体题目具体添加)；求单调区间的方法：定义
4、法、图象法(注意：极限思想的应用、单调区间一定是定义域的子集)复合函数的单调性：由和复合而成，若时，当在上的单调性与在上的单调性相同(反)时在上单调递增(减)；函数单调性的简要运算性质：在公共定义域内，增增是增函数；减减是减函数；增减是增函数；减增是减函数。作差后的运算技巧：；等等.7. 常见函数的单调区间：参数范围单调递增区间单调递减区间无无无无和和和无和和无和8. 函数的周期性(函数定义域内的整体性质)：存在对任意存在，使恒成立，则为的一个周期；若偶函数的图像还关于直线对称，则是周期为的周期函数； *若函数的图像关于直线对称，则是周期为的周期函数；若奇函数的图像还关于直线对称，则是周期为的
5、周期函数； *若函数的图像关于对称，则是周期为的周期函数；若奇函数的图像还关于直线对称，则是周期为的周期函数； *若函数的图像关于对称，则是周期为的周期函数；则是的一个周期；9. 和互为反函数，设的定义域为，值域为，则，；10. 求反函数：将看成关于的方程，解出；互换，得；求原函数的值域并据此写出反函数的定义域；11. 遇到复杂的函数如分段函数求反函数时，注意将函数图象分段关于对称，分段求解；12. 求解的过程中若出现两个根以上的取舍问题，要注意审清题意，根据定义域，找到正确的根；13. 解反函数方程即已知原函数的自变量求原函数值；14. 求反函数值即已知原函数值求原函数的自变量；15. 解反
6、函数不等式即已知原函数的定义域求原函数的值域；16. 定义域上的单调函数必有反函数；有反函数的函数未必是单调函数；17. 奇函数的反函数也是奇函数；18. 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；19. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性；20. 关于的方程有解若能分离参数变为，则可转化为函数的值域问题；21. 当时，、；22. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值；求解最值问题用“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；23. 二次函数涉及到方程根的分布问题看：开口、对称轴、端点的函数值与零的关系，特别提醒：端点特别考虑.24.
7、 函数图像平移变换(不改变形状、只改变位置)：将图象沿轴向左(或右)平移个单位得到函数的图象；将图象沿轴向上(或下)平移个单位得到函数的图象；25. 几种特殊的对称变换：函数与函数的图象关于轴()对称；函数与函数的图象关于轴()对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；26. 伸缩变换：将图象上各点的纵标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变），可得图象；将的图象上各点的横坐标伸长或缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得的图象。27. 翻折变换： 28. 对于函数,恒成立,则函数的对称轴是；两个函数与的图象关于直线对称.29. 函数值域(和最值)的求法：配方法：适用于二次函数(或可转化为二次函数)及区间上
8、的二次函数问题；不等式法：适用于“耐克函数”；注意“一正二定三取等”；换元法：通常用于对函数式进行变形以获得更为熟悉的函数；反函数法：适用于形如的函数(或可转化这种形式的函数)；有界性法：利用已知函数的有界性，借助解不等式求解；如；单调性法：当所产生的函数单调性较明显或其它方法不太凑效时考察函数的单调性有时很有效；三角函数的特殊方法：辅助角公式；数列的特殊性和特殊方法：最常用的是单调性；特别提醒：数形结合是解决区间上的函数的最值和值域问题的重要手段，是你求解这类问题时发生错误的根本保证、切记切记！30. 幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的定义、图象分布和性质必须了如指掌！高中数学备忘录
9、复数1. 引进虚数单位的原则：；可以和实数进行四则运算，且不改变原有的运算律；2. 对于，；为纯虚数；3. 复数的实部和虚部都是实数；不全是实数的两个复数不能比较大小；4. 复数所对应的点即直角坐标平面内的点；5. 复数的运算法则(以下)：；6. 常用的运算结论：；7. 若是1的虚立方根，即，则；8. 模和共轭复数的性质：；9. 解复数问题的两个转化：代数化，几何化设出一个复数后要注明实部和虚部都是实数；10. 解复数方程往往是设，利用复数相等转化为实数方程组求解；11. “实系数二次方程有实根”“”.未说明实系数则不然；12. 对于，若原题中没有指出是“二次”，则要考虑到二次项系数可能为零的情形；13. 解与实系数一元二次方程的根有关的问题时要讨论“(方程的根为实根)”和“(方程的根为虚根)”两种情况；实系数一元二次方程若有虚根，则必是一对共轭虚根，韦达定理仍然成立，求根公式也成立，但表达形式有变化()；当它是虚根时，；14. 复平面内的两点间距离公式：.其中是复平面内的两点和所对应的复数；15. *常见曲线方程的复数形式：表示以的对应点为圆心，为半径的圆；表示线段的垂直平分线；表示以的对应点为焦点，长轴长为的椭圆（特别提醒：当，此方程表示线段）；表示以的对应点为焦点，实轴长为的双曲线（特别提醒：若，此方程表示两条射线）.
高中数学备忘录——函数及其性质
