大学高等数学课件

《大学高等数学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学高等数学课件（56页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第八章 多元函数微分法及其应用本章主要讨论二元函数的微分法及其应用.第一节 多元函数的基本概念一.平面点集 n n维空间 1.平面点集 当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元 实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.第1页/共56页坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作 E=(x,y)|(x,y)具有性质P.称为点p(x,y)的全体,邻域：与点 的距离小于的的邻域,记作第2页/共56页 从几何图形看,U(pU(p0 0,),)表示以点p0(x0,y0)xypE 为中心,0为半径的圆的内部所有

2、的点如果不强调邻域半径,用U(p)表示点.的邻域第3页/共56页 内点 外点 边界点 聚点 Ep.是E的内点.设E是平面上的一个点集,p是平面上的一个点如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)E,则称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定第4页/共56页外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)E=,则称P为E的外点.若点集E的点都是E的内点,则称E为开集,例如,点集 E1=(x,y)|4开集.若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界.上面E1的边界是圆周9中每个点都

3、是E1的内点,因而E1为=9=4和第5页/共56页 因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p为E的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E的聚点.例如,设一点既是的聚点.并且它们不属于的边界点又是=(x,y)|0 x+y1那么,直线x+y=0上的任第6页/共56页 区域.闭区域.例如(x,y)|0 x+y1开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域 区域若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称例,不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为 既不是

4、不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而=(x,y)|0 x+y1 9是开区域;=(x,y)|40是无界点集.若存在正实数r,使点集表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如是有界开区域,其中O为坐标点,第8页/共56页 2.n 维空间1.定义 设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序实数组Rn=R R.R=Rn中的元素,的全体所构成的集合,即|xi R,i=1,2,.n也用x表示,即x=当所有的xi=0(i=1,2n)时,称这样的元素为零元,记为0或O.第9页/共56页 称为坐标原点或n维零向量.在解析几何中通过直角坐标系,平面

5、或空间中的点或向量建立一一对应,这样在也称为为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在中的零元0中的一个点或一个n维向量,而称中的元素)中的元素分别与(或X第10页/共56页 (x,y),规定2.在Rn中定义线性运算.设x=y=规定 x+y=3.Rn中点x=为Rn中任意两个元素,R之间的距离和点y=x=第11页/共56页 结合向量的线性运算,我们得到中两点之间距离一致.显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间Rn中元素x=为x,即与零元0之间的距离(x,0),记第12页/共56页由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集,记作xa4.Rn中变元的极限设x

6、=x-a0,则称变元x在Rn中趋于固定元a,闭集等一系列概念都可定义.Rn 如果a=第13页/共56页二.多元函数的概念一对数值(a,b)时,面积S的对应值就随之确定了.1.多元函数的定义在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖关系.看下面的两个例子.例1 椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有如下关系S=ab (a0,b0)这里的a,b在一定范围内取定我们从这里就可以得到二元函数的定义.第14页/共56页,数集 f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)D 称为该函数的值域.定义1 设D是的二元函数,通常记为 Z=f(x,y),(x,y)D 或z=f(p)PD其中点集

7、D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量记 .的一个非空子集,称映射f:DR为定义在D上第15页/共56页类似地可以定义三元及三元以上的函数.三元函数记u=f(x,y,z).点函数z=f(p)(pD)是定义在点集D上的一个函数.这里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一元(或三元)函数.第16页/共56页例2 2 圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=R2h (R0,h0).例3 3第17页/共56页 在上述函数概念中,关键的两点为:(1)自变量x,y的变化范围,称为定义域;(2)对应法则,即函

8、数关系.关于函数概念,我们主要研究三方面的问题:(1)求函数的定义域;(2)建立函数关系;(3)求函数值.oxyzZ=f(x,y)Mpxy第18页/共56页2.2.二元函数的定义域:二元函数中自变量x,y的取值范围称为函数的定义域.围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的区域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处,称为无界区域,否则称为有界区域.第19页/共56页3.3.多元函数的定义域 函数的定义域与函数的实际意义有关.我们约定:在没有明确指出定义域 D时,函数的定义域是使函数有定义的点的全体.这样的定义域叫做函数的自

9、然定义域.注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地取值,即x取值与y取值没有必然联系,而且有可能出现x可以取不同的值,而y的值不变,或y可以取不同的值,而x的值是不变的情况.第20页/共56页例3 求下列函数的定义域:解:(1)要使根号内的数有意义,因此函数的定义域为(x,y)|x+y-10图形为右所示x+y=1xy(2)要使有意义,必须x2+y2-10,并且yx第21页/共56页多元函数的定义域的求法:要先写出构成部分的各简单函数的定义域,再联立不等式组,即得到所求的定义域.其图形为以原点为中心,半径分别为1和此函数的定义域为(x,y)|1x2+y25分,包括两个圆之间的

10、部第22页/共56页oxyzZ=f(x,y)Mpxy4.二元函数的几何意义:设二元函数z=f(x,y)的定义域xoy平面上的某一区域D,对于D上的每一点p(x,y),在空间可以作出一点M(x,y,F(x,y)与它对应.当点p(x,y)在D中变动时,点M(x,y,F(x,y)就在空间作相应地变动它的轨迹是一个曲面.第23页/共56页 例如线性函数z=ax+by+c是一个平面.x2+y2+z2=a2确定的函数点集D=(x,y)|x2+y2a2为闭区域.当p在D中 变动时,它对应的两个函数值,分别表示两个图形.一个是上半球面,另一个是下半球面.以后我们讨论的函数是单值的.当遇到多值函数时,可分成几个

11、单值分支来讨论.pp0(x0,y0)xyz第24页/共56页1.多元函数极限的定义 多元函数极限与一元函数存在形式上一致,但确实有着本质区别.先研究二元函数的极限 三 多元函数的极限.又因为时等阶于 ,显然,时的极限p(x,y)为其一聚点.选择一动点p(x,y).现在讨论当D(1)二元函数的极限 设z=f(x,y),第25页/共56页直观定义:和一元函数极限一样,如果在pp0 的过程中,对应的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A.就说A为当pp0,或x x0,y y0时的极限第26页/共56页pp0(x0,y0)p(x,y)0 xy例如现在我们用-来定义这个概念:-语言定义设函数z=f(

12、x,y)的定义域为D.p0(x0,y0)是D的聚点.如果对于任意给定的正数,总存在0,使适合不等式的一切点p(x,y)D,都|f(x,y)A|成立.则称A为函数z=f(x,y).当xx0,yy0时的极限.记作第27页/共56页二元函数的极限称为二重极限.研究二元函数极限定义时,我们注意以下两点:(1)不研究p0(x0,y0)处的状态,仅研p(x,y)p0(x0,y0)的过程中,函数f(x,y)的变化趋势.所以定义中规定,函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域内有定义,但不要求函数在点p0(x0,y0)有定义.第28页/共56页(2)极限值A应是一个确定的常数,它与p(x,y)趋近

13、p0(x0,y0)的方式无关.也就是说:p(x,y)以任何方式趋于p0(x0,y0)时,函数都无限接近于A.第29页/共56页例4 4 求极限例5 设证明第30页/共56页证明:成立化成一元函数求极限有界量和无穷小的乘积为无穷小第31页/共56页例6 考察函数 f(x,y)=的极限解:(1)当点p(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式(2)当点p(x,y)沿y轴趋近点(0,0)时这也是一种特殊的趋近方式(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时随着k的不同,极限值也不同.所以不存在第32页/共56页例8 求:例7 求:第33页/共56页2 20 0.关于二元函数

14、极限的说明 首先所谓的二重极限存在.是指p以任何方式(或沿任何径)趋于p0时函数的极限都要存在,且相等于常数A.因此,当p以某一特殊方式.例如沿某一条(也可能是几条)直线或曲线无限接近p0时,即使函数无限接近某一确定的常数A,还不能由此判断该函数存在极限.这就是说当p沿某一特定方式趋向p0时,f(x,y)的极限不存在,或p沿某两条特定的方式趋向p0时,函数极限存在但不相等.则该函数极限不存在.第34页/共56页p0-pp而一元函数中p趋向p0的方式只有两种.一是沿x轴某一方向趋近二是左,右方向 四.多元函数的连续性 定义4:设多元函数f(p)定义在D上,p0是D的聚点.pD,如果当pp0时函数

15、f(p)的极限存在,且等于该函数在点p0处的函数值,即就称函数f(p)在点p0处连续.第35页/共56页 如果函数f(p)在点集M的各点处都连续,就称函数f(p)在M上连续.可以证明:一切多元初等函数在其定义域内是连续的.若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则p0称为函数的间断点.这里指出如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者沿D内某些曲线,函数f(x,y)没有定义但在D内其余部分,函数都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数f(x,y)的不连续点,即间断点.第36页/共56页例9 求 和闭区间上一元函数的性质相似,在有界闭区域上多元函数也有下列主要性质.性质1(最

16、值定理)在有界闭区域上的多元连续函数,在该闭区域上必定达到它的最大值与最小值.第37页/共56页性质2(介值定理)在有界闭区域上的多元连续函数,如果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.性质3(一致连续性定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致 连续.性质3表示若f(P)在有界闭区域D上连续,则对于任意给定 的正整数,总存在正数,使对于D上的任意两点只要当|时都有第38页/共56页|f(P1)-f(P2)|成立.这里我们补充三个内容:(1)(1)求二元函数的表达式.这方面的问题有二种情况,一是已知函数f(x,y)的表达式,求复合函f(x,y),(x

17、,y)的表达式,这情况比较简单.只需要把(x,y),(x,y)分别替换f(x,y)中的x,y即可.第39页/共56页 另一种是它的反问题,即已知f(x,y),(x,y)求f(x,y).其一般的方法是令u=(x,y),v=(x,y),从中解出x,y,代入f(x,y),(x,y)中,把u,v换成x,y即可,但有时不能从u,v中解出x,y时,往往需要用凑成的函数.第40页/共56页第41页/共56页(一)求二元函数极限的方法 1.化二元函数为一元函数极限例3 求第42页/共56页2.2.应用二元函数极限的夹逼准则计算 夹逼准则:若g(x,y)f(x,y)h(x,y),且limg(x,y)=limh(

18、x,y)=A,则limf(x,y)=A.第43页/共56页注意:这里不能把该定义域为x0,该定义域为x,y同时0如果x0,ya就可以采用这个方法.本题采用的是两边夹的方法.变成第44页/共56页 3.3.利用连续函数的函数值即是极限值性质.(一切多元初等函数在其定义域内都是连续函数)因为分子,分母是多元初等函数,当x1,y0时恰好在它的定义域内,所以我们用它的函数值表示它的极限值.(二)证明二元函数极限不存在的方法 证明二元函数极限不存在我们也有几种方法,(1)证明(x,y)沿某一路线趋于点(x0,y0)时,f(x,y)的极限不存在.第45页/共56页(2)证明(x,y)沿不同路线趋于点(x0

19、,y0)时,f(x,y)的极限存在,但趋于不同的值.(3)利用二次极限存在,但不相等.第46页/共56页例9 证明极限证明:当(x,y)沿x轴(即y=0)趋向于点(0,0)时,原式=0 当(x,y)沿y=x的直线趋向于点(0,0)时,由于f(x,y)沿不同的路线趋向于点(0,0)时的极限不相同,故它极限不存在.不存在第47页/共56页 这里我们举两个例子说明二重极限和二次极限之间区别 例10 考察函数 f(x,y)=的极限解:(1)固定y0,点p(x,y)沿x轴趋于点(0,y)时,可见二次极限是存在它为0第48页/共56页 (2)固定x0,点p(x,y)沿y轴趋于点(x,0)时,可见二次极限是

20、存在的它为0(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时随着k的不同,极限值也不同.所以不存在这例子说明尽管两个二次极限存在且相等,但二重极限却不存在第49页/共56页 这说明二重极限与二次极限没有什么必然的联系,即二重极限的存在不能保证二次极限的存在,而两个二次极限的存在,并且相等,也不能保证二重极限的存在但当二重极限和二次极限都存在时,它们必相等,即有定理 若存在二重极限则它们必相等.与二次极限(之一)第50页/共56页 证明:因为二重极限的存在,设时有|f(x,y)-A|0,存在0,使得当即对任意第51页/共56页 由定理可得到两个推理:当(x,y)(x0,y0)时(1)如果函

21、数f(x,y)的二重极限和它的两个二次极限均存在,则这些极限都相等(2)如果两个二次极限都存在,但不相等,则二重极限必不存在.(3)二元函数的连续性 二元函数的连续的概念及性质和一元函数相似.但要注意,若二元函数f(x,y)在点(x0,y0)关于x或y都连续,但f(x,y)在点(x0,y0)不一定连续.例如,函数第52页/共56页f(x,y)=我们先证明函数f(x,y)关于x轴是连续的 (1)先固定y=b0,则在平面y=b上得到x的函数它是处处有定义的有理函数,因此它是连续的.当y=0时,f(x,0)=0也是连续的.于是,当变量y固定时,函数f(x,y)对于变量x是连续的,同理可证明函数f(x

22、,y)对于变量y也是连续的.第53页/共56页 (2)当函数f(x,y)在x,y0时是初等函数,且有定义,它是连续的.但当(x,y)(0,0)点时,x0,y=kx0时同一元函数的情形相同,对于多元初等函数,在它的定义的地方都是连续的.在几何上,一元函数连续,它的图象是一根连绵不断的曲线,而二元函数的图象是一张既没有断层又没有“细眼”的曲面.因此,关于多元函数的连续性讨论,主要是第54页/共56页求极限的方法除了上面讲的三点外,其方法可用定义求,利用运算法则求,可作变量代换,用一元函数中的已知极限求,可利用连续函数性质求,可进行分母有理化等.分段函数在分段点处的连续性讨论,方法是根据函数在一点连续的定义.同学在学习二元函数的理论时,要多注意它和一元函数的联系和类比,在学过的一元函数的理论是学习二元函数的基础,但二元函数毕竟比一元函数复杂,存在一些本质上的差异.学习时应该时刻注意比较它们的异同.第55页/共56页感谢您的欣赏！第56页/共56页