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1、一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续上连续,并且设并且设 x 为为,ba上的一点，上的一点，考察定积分考察定积分记记变上限积分函数变上限积分函数6.4 定积分与不定积分的关系定积分与不定积分的关系变上限变上限积分函数的性质积分函数的性质证证由积分中值定理得由积分中值定理得定理定理6.26.2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积
2、分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 6.36.3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例1 1 求求 原式原式例例2 2 设设 ,求求 .解解解解例例3 3 求求 解解由图形可知由图形可知例例4.计算解解:例例5.计算正弦曲线的面积.解解:补充补充证证例例6 6 求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例7 确定常数 a,b,c 的值,使解解:
3、原式=c 0,故又由,得例例8 证明在内为单调递增函数.证证:只要证3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系间的关系思考题思考题思考题解答思考题解答解解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.例例2.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何例例3设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使(03考研)证证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 即(3)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 例例4.求解解:因为时,所以利用夹逼准则得
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