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1、一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1关于x的方程x22（k1）x+k20有两个实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）若x1+x21x1x2，求k的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得代入可解出的取值范围；（2）由韦达定理可知，列出等式，可得出的值试题解析：(1)4(k1)24k20，8k40，k；(2)x1x22(k1)，x1x2k2，2(k1)1k2，k11，k23.k，k3.2如图，在ABC中，AB6cm，BC7cm，ABC30，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动如果P、Q两点
2、同时出发，经过几秒后PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后PBQ的面积等于4cm2【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QEPB于E，即可得出SPQB=PBQE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案【详解】解：如图，过点Q作QEPB于E，则QEB90ABC30，2QEQBSPQBPBQE设经过t秒后PBQ的面积等于4cm2，则PB6t，QB2t，QEt根据题意， （6t）t4t26t+80t22，t24当t4时，2t8，87，不合题意舍去，取t2答：经过2秒后PBQ的面积等于4cm2【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所
3、求的值进行检验，对于不合适的值舍去3将m看作已知量，分别写出当0xm时，与之间的函数关系式；4“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是61=6个；图2中黑点个数是62=12个：图3中黑点个数是63=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈（2）
4、小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵【答案】60个，6n个；（1）61；3n23n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵详解：图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第
5、2个点阵中有：23+1=7个，第3个点阵中有：36+1=17个，第4个点阵中有：49+1=37个，第5个点阵中有：512+1=60个，第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，故答案为：60，3n23n+1；（2）3n23n+1=271，n2n90=0，（n10）（n+9）=0，n1=10，n2=9（舍），小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键5已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解
6、析【解析】【分析】（1）因为方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2得出其判别式0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值【详解】（1）方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k10且=12k+130，解得：k且k1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2x1+x2=0，=0，k=又k且k1，k不存在【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q6阅读材料：各类方
7、程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解。（1）问题：方程的解是，_，_。（2）拓展：用“转化”思想求方程的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P
8、处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C。求AP的长。【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=0，x（x-2）（x+1）=0所以x=0或x-2=0或x+1=0x1=0，x2=2，x3=-1；故答案为： 2，-1；
9、（2）方程的两边平方，得4x-3=x2即x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0x-3=0或x-1=0x1=3，x2=1，当x=3或1时,有意义，故是方程的解.（3）因为四边形ABCD是矩形，所以A=D=90，AB=CD=4m,设AP=xm，则PD=（6-x）m因为BP+CP=10，BP=,CP= ,所以=10-两边平方，得16+(6-x)2=100-20+x2+16整理，得3x+16=5,两边平方并整理，得x2-6x+9=0即（x-3）2=0所以x=3经检验，x=3是方程的解答：AP的长为3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和
10、绳长，列出方程是关键7解方程：(x1)(x1)2x.【答案】x1，x2.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x1)(x1)2xx2-2x-1=0a=1，b=-，c=-1=b2-4ac=8+4=120x=x1，x2.8已知:如图，在中，cm，cm.直线 从点出发，以2 cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .(1)当为何值时，四边形是矩形?(2)当面积是的面积的5倍时，求出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理计算
11、AB的长，再根据相似比例表示PE的长度，再结合矩形的性质即可求得t的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可.【详解】解：（1）在中， ，当时，四边形PECF是矩形， 解得 （2）由题意 整理得，解得，面积是的面积的5倍。【点睛】本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.9阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+40，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2y，那么x4y2，于是原方程可变为y25y+40 ，解得y11，y24当y1时，x21，x1；当y4时，x24，x2；原方程有四个根：x11，x21，x32，x42（1）在由原方程得到方程的过
12、程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）120【答案】（1）换元，降次；（2）x1=3，x2=2【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无实根所以原方程的解为x1=3，x2=210自年月日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过人，人均旅游费用为元，如果人
13、数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元如果某单位组织人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用_元；现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x人参加，而由1020020002625，可以得出人数大于10人，则根据x列出方程：（10x）（2005x）2625，求出x，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x的范围，最后得出x的值.【详解】（1）因为因此参加人比人多，设在人基础上再增加人，由题意得：解得，经检验是方程的解且符合题意，（舍去）答：该单位共有名员工参加旅游【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.
温州中考数学复习一元二次方程专项综合练
