向量的距离与夹角余弦

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1、 3/381. 向 量 的 数 量 积 ， 矢 量 积 ),.,();,.,( 2121 nn yyyxxx 设例 如 ： a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1则 Matlab 中 数 量 积 :dot(a,b);矢 量 积 :cross(a,b)dot(a,b)=27, cross(a,c)=(2,2,-2)解 ： a,b,c 的 混 合 积 为 ： dot(a,cross(b,c)练 习 ： 计 算 a,b,c 的 混 合 积 )( cba 4/381） Matlab 中 向 量 a 的 范 数 为 ： norm(a) ni in xanormxxxa 1 221 )(),.

2、,( 则若例 1 a=1,2,3, b=-1,5,6,c=1,0,1, 求 a,b的 范 数 解 ： norm(a)= 3.7417 , norm(b)=7.8740 练 习 ： 对 例 1计 算 ： a,b夹 角 的 余 弦dot(a/norm(a),b/norm(b)解 法 二 ： dot(a,b)/norm(a)/norm(b)解 法 一 ： =0.9164思 考 ： a,b,c三 个 向 量 那 两 个 更 接 近 ？ 事 实 上 ， 范 数 的 平 方 =向 量 a自 身 的 数 量 积2.矩 阵 的 范 数 与 向 量 的 标 准 化 5/38如 例 1 a=1,2,3, b=-1

3、,5,6,c=1,0,1, 求 a,b ,c之间 的 夹 角 余 弦解 ： 输 入 :A=a;b;c;B=1-pdist(A, cosine)输 出 结 果 为 :B = 0.9164 0.7559 0.4490 计 算 向 量 之 间 夹 角 的 余 弦 还 可 以 用 命 令 :B=1-pdist(A,cosine)计 算 矩 阵 A的 行 向 量 之 间 的 夹 角 余 弦 6/382) 矩 阵 的 范 数 有 以 下 几 种 ：(1) n = norm(A) 矩 阵 A的 普 范 数 (2范 数 ), = AA的 最 大 特 征 值 的 算 术 根 . (2) n = norm(A,1

4、) 矩 阵 A的 列 范 数 （ 1-范 数 ） 等 于 A的 最 大 列 之 和 . (3)n = norm(A,inf) 矩 阵 A的 行 范 数 (无 穷 大 范 数 ) 等 于 A的 最 大 行 之 和 . (4)n = norm(A, fro ) 矩 阵 A的 Frobenius范 数 . ( ) 2iji,j=1N A a 记 为 ： 7/38 3) 方 阵 的 谱 半 径 ：方 阵 A的 特 征 值 的 绝 对 值 之 最 大 值 称 为 A的谱 半 径 记 为 ： ( ) max| |iA 163 053 064A例 3.求 矩 阵 的 谱 半 径 (A) 2 由 eig(A)

5、知 矩 阵 A的 特 征 值 分 别 为 1,-2,1。 8/38例 3. 将 矩 阵 的 行 向 量 与 列 向 量 标 准 化 087 654 321A解 ： A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=normr(A)， C=normc(A)也 可 以 输 入 命 令 ： b(1)=norm(A(1,:); b(2)=norm(A(2,:); b(3)=norm(A(3,:); c=b*ones(1,3); B=A./c4） 矩 阵 的 行 向 量 、 列 向 量 标 准 化 的 命 令 ：normr(A)， normc(A)（ normr(A)表 示 将 矩 阵 每 一 行 除 以 该

6、 行 的 范 数 ）什 么 意 思 ? 求 出 A矩 阵 个 各 行 的范 数 ,转 置 后 变 为 3*1阶 矩 阵 , 9/38nR n维 欧 氏 空 间 :设 表 示 n维 向 量的 全 体 所 组 成 的 集 合 ， 称 为 n维 欧 氏 空 间1 2( , ,., )nx x x 1 2 1 2( , ,., ); ( , ,., )n nx x x y y y 称 为 与 的 欧 氏 距 离 1( , ) | |n i iid x y 称 为 与 的 绝 对 距 离 21( , ) ( )n i iid x y 如 果2.常 见 的 向 量 距 离 10/38闵 可 夫 斯 基 距

7、 离 ： rni rii yxd /11 |),( 当 r=1,2 时 分 别 为 绝 对 距 离 和 欧 氏 距 离马 氏 距 离 ： TVd )()(),( 1 其 中 V是 一 个 实 对 称 正 定 矩 阵 ， 通 常 取 样本 的 协 方 差 矩 阵 ， 当 V=E时 即 为 欧 氏 距 离 .以 上 距 离 ， 在 Matlab (6.)中 有 命 令 : pdist具 体 如 下 ： 11/38(1)欧 氏 距 离 ：如 果 A是 a m阶 矩 阵 ,B是 m b 阶 矩 阵 .即A的 行 向 量 维 数 等 于 B的 列 向 量 维 数 dist(A,B)结 果 是 一 个 a

8、 b 阶 上 三 角 形 矩 阵d(i, j)表 示 A的 第 i个 行 向 量 与 B的 第 j个 列 向 量之 间 欧 氏 距 离Matlab中 命 令 ： dist(A,B)计 算 A中 每 个 行 向量 与 B中 每 个 列 向 量 之 间 欧 氏 距 离 12/38例 4. a=1,2,3,b=-1,5,6,c=1,0,1求 a,b,c欧 氏 距 离解 :输 入 :a1=dist(a,b),a2=dist(a,c),a3=dist(c,b)或 者 输 入 :A=a;b;c;pdist(A)Pdist(X) 样 本 X中 各 n维 向 量 的 欧 氏 距 离如 果 X是 m个 n维 行

9、 向 量 所 组 成 的 矩 阵 ， 则 有 ：注意： 而pdist(X)是个一行 列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m)矩 阵是 nmX 2mC 13/38(2)绝 对 距 离 ： Matlab中 命 令 ： mandist(A,B)计 算 A中 每个 行 向 量 与 B中 每 个 列 向 量 之 间 绝 对 距 离 ，A的 行 向 量 维 数 必 须 等 于 B的 列 向 量 维 数 .设 样 本 X是 m个 n维 行 向 量 所 组 成 的 矩 阵 ， 则 有 ： Pdist(X, city

10、block) 各 n维 向 量 的 绝 对 距 离注意： 而pdist(X)是个一行 列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m)矩 阵是 nmX 2mC 14/38例 5. 求 例 2中 向 量 之 间 的 绝 对 距 离 .mandist(a,b)=8；mandist(a,c)=4；mandist(c,b)=12解： dist(a,b)=4.6904,dist(a,c)= 2.8284dist(c,b)= 7.3485还 可 以 用 什 么 命 令 ?你 发 现 了 什 么 ？与 绝 对 距 离 比

11、 较 15/38设 样 本 X是 m个 n维 行 向 量 所 组 成 的 矩 阵 ， 则 有 ：Pdist(X, Minkowski， r) 闵 可 夫 斯 基 距 离Pdist(X, mahal) 各 n维 向 量 的 马 氏 距 离注意： 而pdist(X)是个一行 列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离 (1,2),(1,3),(1,m),(2,3),(2,4),(2,m),(m-1,m)矩 阵是 nmX 2mC(3)闵 可 夫 斯 基 距 离 与 马 氏 距 离 16/38例 6. 现 测 得 6只 Apf和 9只 Af蠓 虫 的 触 长 ,翅 长 数 据 如 下 ：Apf：

12、 (1.14,1.78), (1.18,1.96), (1.20,1.86), (1.26,2.00), (1.28,2.00), (1.30,1.96) Af： (1.24,1.72), (1.36,1.74), (1.38,1.64), (1.38,1.82), (1.38,1.90), (1.40,1.70), (1.48,1.82),(1.54,1.82), (1.56,2.08)计 算 两 类 蠓 虫 的 各 自 之 间 的 欧 氏 、 绝 对 、 马 氏 距 离解 :输 入Af=1.24,1.72;1.36,1.74;1.38,1.64;1.38,1.82; 1.38,1.90 ;

13、 1.40,1.70;1.48,1.82;1.54,1.82;1.56,2.08；Apf=1.14,1.78;1.18,1.96;1.2,1.86;1.26,2.;1.28,2; 1.30,1.96 ; 17/38d1=(pdist(Apf);d2=(pdist(Apf,cityblock);d3=pdist(Apf,mahal);d=d1,d2,d3输 出 结 果 为 Apf蠓 虫 之 间 的 各 类 距 离 为 含 有 15个元 素 的 列 向 量将 输 出 结 果 变 化 为 15行 3列 的 矩 阵结 果 见 表 1同 理 可 以 求 得 Af蠓 虫 之 间 的 各 类 距 离 。 结

14、 果 见 表 2 18/38Apf蠓 虫 欧 氏 距 离 绝 对 距 离 马 氏 距 离d12 0.1844 0.2200 2.5626d13 0.1000 0.1400 0.9883d14 0.2506 0.3400 2.4942d15 0.2608 0.3600 2.5318d16 0.2408 0.3400 2.5478d23 0.1020 0.1200 2.2507d24 0.0894 0.1200 1.5470d25 0.1077 0.1400 2.0430d26 0.1200 0.1200 3.0777 d34 0.1523 0.2000 1.6534d35 0.1612 0.22

15、00 1.5873d36 0.1414 0.2000 1.6025d45 0.0200 0.0200 0.5129d46 0.0566 0.0800 1.6616d56 0.0447 0.0600 1.1764 19/38Af蠓 欧 氏 距 绝 对 距 马 氏 距 Af蠓 欧 氏 距 绝 对 距 马 氏 距d12 0.1217 0.1400 1.4423 d37 0.2059 0.2800 1.3971d13 0.1612 0.2200 2.3963 d38 0.2408 0.3400 1.6847d14 0.1720 0.2400 1.4225 d39 0.4754 0.6200 3.410

16、3d15 0.2280 0.3200 1.5517 d45 0.0800 0.0800 0.7917d16 0.1612 0.1800 2.2078 d46 0.1217 0.1400 1.3659d17 0.2600 0.3400 2.6110 d47 0.1000 0.1000 1.2987d18 0.3162 0.4000 3.3635 d48 0.1600 0.1600 2.0780d19 0.4817 0.6800 3.3694 d49 0.3162 0.4400 2.1271d23 0.1020 0.1200 1.1705 d56 0.2010 0.2200 2.1520d24 0

17、.0825 0.1000 0.6601 d57 0.1281 0.1800 1.8990 d25 0.1612 0.1800 1.4345 d58 0.1789 0.2400 2.6482d26 0.0566 0.0800 0.8277 d59 0.2546 0.3600 1.8449d27 0.1442 0.2000 1.2266 d67 0.1442 0.2000 0.9689d28 0.1970 0.2600 1.9404 d68 0.1844 0.2600 1.4149d29 0.3945 0.5400 2.6612 d69 0.4123 0.5400 2.9389d34 0.1800

18、 0.1800 1.7814 d78 0.0600 0.0600 0.7792d35 0.2600 0.2600 2.5731 d79 0.2720 0.3400 2.0832d36 0.0632 0.0800 0.4756 d89 0.2608 0.2800 2.4183表二.Af 蠓虫之间的距离 20/38在 Matlab中 经 常 遇 到 下 列 运 算 ：A=1,2 ; 3,4,若 将 A中 每 个 元 素 都 减 去 2，如 何 运 算 ？A=1,2;3,4,若 将 A的 每 一 行 都 减 去向 量 (1,2)如 何 运 算 ？前 者 可 以 进 行 ， 后 者 不 行 ， 如 何

19、 实 现 ?通 过 特 殊 矩 阵 将 加 减 运 算 变 为 可 以 进 行的 运 算 .3.特 殊 矩 阵 及 其 应 用A-2可 否 ？A-(1,2)可 否 ？ 21/381. E = eye(n): nm例 如 ： eye(3)= ;100 010 001 00 10 01)2,3(eye2. A = ones(n,m)： 表 示 元 素 全 为 1的 n m矩 阵4. A = rand(n,m):产 生 n m维 随 机 矩 阵 （ 元 素在 0 1之 间 ）特 殊 矩 阵 有 ：3. A = zeros(n,m)： 产 生 n m维 零 矩 阵 表 示 n维 单 位 矩 阵 , E

20、 = eye(m,n): 表 示 主 对 角 元 素 为 1,其 余 元 素 为 零 的 矩 阵 . 22/38A=1,2,3;4,5,6;7,8,0,如 何 实 现 各 列 元素 分 别 减 去 该 列 的 均 值 ？解 ： 输 入 A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;B=ones(3,1)*mean(A)例 如 ： C=A -B 23/38例 7. 下 表 是 全 国 5个 主 要 湖 泊 的 实 测 数 据 指 标湖 泊 总 磷（ mg/L） 耗 氧 量(mg/L) 透 明 度(m) 总 氮(mg/L)杭 州 西 湖 130 10.30 0.35 2.76武 汉 东 湖 105 10

21、.70 0.40 2.0青 海 湖 20 1.4 4.5 0.22巢 湖 30 6.26 0.25 1.67滇 池 20 10.13 0.50 0.231. 试 用 矩 阵 A表 示 上 表 所 示 的 矩 阵 ，2.计 算 每 个 指 标 与 该 指 标 平 均 值 之 差 的 绝 对 值 . 24/38 解 :输 入 A=130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;mean(A) %A矩 阵 列 向 量 (各 指 标 )的 平 均 值生 成 一 个 5 4阶 的

22、矩 阵 B， 各 行 都 是 mean(A): B=ones(5,1)*mean(A), 为 什 么 ？ 怎 样 生 成 ?然 后 得 到 所 求 矩 阵 C= abs(A-B)(A矩 阵 是 一 个 1 4阶 的 矩 阵 .) 25/38mean(A)=61.0000 7.7580 1.2000 1.3760输 出 结 果 为 ：C= 69.0000 2.5420 0.8500 1.3840 44.0000 2.9420 0.8000 0.6240 41.0000 6.3580 3.3000 1.1560 31.0000 1.4980 0.9500 0.2940 41.0000 2.3720

23、 0.7000 1.1460 26/38生 成 一 个 5 4的 矩 阵 B， 各 行 都 是 mean(A)还有 如 下 方 法 ：B=a(ones(5,1),:)， 其 中 a=mean(A)练 习 ： 将 各 指 标 与 该 指 标 的 最 大 值 相 减 ， 然后 再 比 上 该 指 标 的 极 差 .提 示 ： max(A):表 示 矩 阵 A中 各 列 向 量 的 最 大 值 ； min(A):表 示 矩 阵 A中 各 列 向 量 的 最 小 值 ； range(A)= max(A)- min(A):表 示 各 列 极 差 . 27/38A=130,10.3,0.35,2.76;1

24、05,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5, 0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23;B=ones(5,1)*max(A),C=max(A)-min(A)D=C(ones(5,1),:) (A-B)./Dans =0 -0.0430 -0.9765 0 -0.2273 0 -0.9647 -0.2992 -1.0000 -1.0000 0 -1.0000 -0.9091 -0.4774 -1.0000 -0.4291 -1.0000 -0.0613 -0.9412 -0.9961 28/38Matlab中 Z =null(A,r)就 是 求 AX

25、=0的 基 础解 系 ， 其 中 Z的 列 向 量 即 为 所 求 基 础 解 系例 8. 求 方 程 组 的 通 解 ： x x x xx x x xx x x x1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 2 02 2 2 04 3 0 format rat %指 定 有 理 式 格 式 输 出 Z=null(A,r) %求 解 空 间 的 有 理 基 解 ： 输 入 A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;1. 求 齐 次 线 性 方 程 组 AX=0的 非 零 解 29/38即 原 方 程 的 基 础 解 系 为 （ 2， -2， 1， 0） 和（ 5/3， -

26、4/3， 0， 1）Z =2 5/3 -2 -4/3 1 0 0 1 输 出 结 果 为 ：故 所 求 通 解 为 ： 1 22 52 41 00 3x k k 30/381).若 矩 阵 A可 逆 ， 则 X=Ab 例 9. 解 线 性 方 程 组 1 2 31 2 3 1 2 32x +3x +5x = 123x +6x +8x = 346x +5x +4x = 43解 ： A=2,3,5;3,6,8;6,5,4; b=12;34;43; det(A)=-29, 矩 阵 A可 逆 ， 于 是 X=Ab也 可 以 输 入 X=inv(A)*b结 果 为 X = 0.2759 12.3793

27、-5.13792. 求 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX= b的 非 零 解 31/382)化 成 行 简 化 阶 梯 形 求 AX=b的 解Matlab中 的 命 令 为 ： C=A,b %增 广 矩 阵 C. D=rref(C) %将 C化 成 行 最 简 化 阶 梯 形 则 D 的 最 后 一 列 元 素 就 是 所 求 的 解 . 例 10 . 求 例 9中 线 性 方 程 组 AX=b的 解解 :输 入 : C=A,b ； D=rref(C) ；输 出 结 果 为 D =1 0 0 0.2759 0 1 0 12.3793 0 0 1 -5.1379 32/38命 令 功 能V,

28、D = EIG(X) 求 矩 阵 X的 特 征 值 与 特 征 向 量normr(A) 将 矩 阵 A的 行 向 量 标 准 化normc(A) 将 矩 阵 A的 列 向 量 标 准 化Z =null(A,r) 求 AX=0的 基 础 解 系 (Z的 列 向 量 )rref(C) 将 C化 成 行 最 简 化 阶 梯 形 矩 阵norm(A) 矩 阵 A的 普 范 数 (2范 数 )norm(A,1) 矩 阵 A的 列 范 数 （ 1-范 数 ）norm(A,inf) 矩 阵 A的 行 范 数 (无 穷 大 范 数 ) 33/38命 令 功 能norm(A, fro ) 矩 阵 A的 Frob

29、enius范 数ones(n,m) 表 示 元 素 全 为 1的 n m矩 阵zeros(n,m) 产 生 n m维 零 矩 阵max(A) 计 算 矩 阵 A的 各 列 元 素 的 最 大 值min(A) 计 算 矩 阵 A的 各 列 元 素 的 最 小 值range(A) 计 算 矩 阵 A的 各 列 元 素 的 极 差sum(A) 计 算 矩 阵 A的 各 列 元 素 的 和abs(A) 将 矩 阵 A中 各 元 素 取 绝 对 值eye(n) 产 生 n阶 单 位 矩 阵 34/38作 业 ： 087 654 321A 1.求 矩 阵 A的 各 种 范 数 、 谱半 径2.A中 各 行

30、 向 量 夹 角 余 弦 、 及 各 种 距 离 ， 判 别 那 两行 最 接 近3.将 A的 各 元 素 减 去 各 行 的 均 值 再 比 上 各 列 的 方 差4. 7014 6923 5832 4741C 计 算 矩 阵 C的 各 行 向 量 的 相关 系 数 矩 阵 R， 再 将 R的 列向 量 单 位 化 ， 求 CX=0的 基础 解 系 35/381.A=1,2,3;4,5,6;7,8,0;V,B=eig(A) %特 征 值n2=norm(A,2) % 2范 数n1=norm(A,1) % 1范 数n3=norm(A,inf) % 无 穷 范 数n4=norm(A,fro) %

31、f 范 数V = -0.2998 -0.7471 -0.2763 -0.7075 0.6582 -0.3884 -0.6400 -0.0931 0.8791B = 12.1229 0 0 0 -0.3884 0 0 0 -5.7345 n2 = 13.2015n1 = 15n3 = 15n4 = 14.2829 36/382.B=normr(A); %单 位 化a12=dot(B(1,:),B(2,:) %夹 角 余 弦a13=dot(B(1,:),B(3,:)a23=dot(B(2,:),B(3,:) a12 = 0.9746a13 = 0.5783a23 = 0.7290Pdist(A)

32、%欧 氏 距 离Pdist(A, cityblock) %绝 对 距 离Pdist(A, Minkowski,3) %闵 氏 距 离Pdist(A, mahal) %马 氏 距 离ans = 5.1962 9.0000 7.3485ans = 9 15 12ans = 4.3267 7.7138 6.4633ans = Inf NaN NaN 37/383.C=mean(A); %A的 各 行 均 值D=var(A); %A的 各 列 方 差e=(A-C*ones(1,3)./(ones(3,1)*D) %A的 各元 素 减 去 各 行 的 均 值 再 比 上 各 列 的 方 差C = 2 5

33、 5 D = 9 9 9e = -0.1111 0 0.1111 -0.1111 0 0.1111 0.2222 0.3333 -0.5556 38/384.C=1,4,7,4;2,3,8,5;3,2,9,6;4,1,0,7;R=Corrcoef(A) %C的 相 关 系 数 矩 阵c=normc(R) %R的 列 向 量 单 位 化F=null(C,r) %CX=0的 基 础 解 系F = -1.6000 -0.6000 0 1.0000R =1.0000 1.0000 -0.8030 1.0000 1.0000 -0.8030 -0.8030 -0.8030 1.0000c = 0.6149 0.6149 -0.5307 0.6149 0.6149 -0.5307 -0.4937 -0.4937 0.6609