小河打水、最短距离类型题精编

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1、小河打水问题整理如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地 方可使所用的水管最短？【数学模型】已知：直线l和l的同侧两点A、B。求作：点C,使C在直线l上，并且AC + CB最小。 作法：1、作点A关于直线l的对称点A；2、连结AB交l于点C。点 C 就是所求的点。构建“对称模型”实现转化1.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD, 且AC = BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河 边饮水再回家，最短距离是（ ）米。A750B1000C1500D2000A J； B河流 !/7/洽2.在直角坐标系xOy中，x

2、轴上的动点M (x, 0)到定点P (5, 5)、Q (2, 1) 的距离分别为MP和MQ,当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=。洽3.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建 设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？b洽4.如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ 移动到什么位置时， AP+PQ+QB 的长最短？B洽5.要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方, 才能使从A、B到它的距离之和最短？居民区E居民区査.洽6.已知点P、Q分别为AB、AC上的点，在BC边上求作一点匕使

3、厶PQR周长 最小。（写出画图方法，并说明理由）洽7.如图，AABC中，AB二AC,过点A的直线MNBC，点P是MN上的任意点, 试说明 PB+PC22AB。M A P N洽8. （2006苏州）台球是一项高雅的体育运动.其中包含了许多物理学、几何 学知识。图是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡。（ 1）击球者想通过击打 E 球先撞击球台的 AB 边，经过一次反弹后再撞击 F 球。 他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H.并作出E 球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）（2）如图，现以D为原点，建立直角坐标系，记A （0，4），C （8, 0），E （4,3）

4、，F （7，1），求E球按刚才方式运行到F球的路线长度.（忽略球的太小）洽9.先阅读下文，再回答问题: 你也许很喜欢台球，在玩台球过程中也用到数学知识，如图，四边形 ABCD 是一 矩形的球桌台面，有两个球位于P、Q两点上，先找出P点关于CD的对称点P, 连接PQ交CD于M点，则P处的球经CD反弹后，会击中Q处的球。请回答：如果使P球先碰撞台边CD反弹碰撞台边AB后，再击中Q球，如何撞击 呢？（画出图形）洽10.如图，CDEF是一个矩形的台球面，有黑白两球分别位于点A、B两点，试 问怎样撞击黑球A,使A先碰到台边EF反弹后再击中白球B?你还有其他方法使 A碰到台边反弹后再击中白球B吗？SDFC

5、洽11 如图是一台球桌，欲使球A先撞击球桌的某一边反弹后，再进入4号洞, 你有几种撞击方法，画出图形即可。 如果反弹后，任意进入其中一个洞，那么你共有多少种撞击方法。洽12.小新所在的班级去农村学农，劳动之余数学老师让同学们做一个游戏，如 图，在河岸边放一排水桶，要求同学从A处出发，先去取水桶，然后去河边打水, 再把水送到 B 处的水缸中。要求同学们找出路程最短的路线。同学们七嘴八舌地 争论，没有得出统一的意见。请你帮他们出出主意，究竟怎样走才能使所走的路 程最短？洽13.如图，已知ZAOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使 得厶PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。洽1

6、4.如图，M是ZAOB内部一点。(1) 分别作出点M关于OA、OB的对称点，M、M。连接MM，交OA于点P,交1 2 1 2OB 于 Q；(2) 若 MM=10cm，求 MNQ 的周长。12(3) 在 OA、OB 上任取点 P，、Q，,连接 MP，、p/Q/、MQ，得到 MP，Q，。 比较 MPQ，与厶MPQ的周长，你得到什么结论？洽15.如图，C是ZAOB内一点，C、C分别是点C关于OA、OB的对称点，若C、1 2 1C的连线交OA于D,交OB于E，CC =4.5cm，则 CDE的周长为()2 1 2A. 4.5cmB. 6.5cmC. 5.5cmD.无法求洽16.如图，点P关于OA、OB的

7、对称点分别为C、D,OB于N,若CD=18cm，则PMN的周长为连接CD，交OA于M，交洽17.如图，点P在ZAOB内部，且ZAOB度数为45 上找点C、D,使PC+CD+DP之和最小。，OP=2cm，在射线 OA、OB洽18.已知，如图DE是厶ABC的边AB的垂直平分线,D 为垂足， DE 交 BC 于 E，洽19.如图，在AABC中，AB = BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D, 若BC=10，AC = 6,求厶ACE的周长。洽20.已知：如图，点P在ZAOB内，且点P与M关于OA对称，PM交OA于Q, 点P与N关于OB对称，PN交OB于R,连接MN、OP、OM、ON,若M

8、N=10cm, OP洽21.已知，如图，在厶ABC中，ABVAC, BC边上的垂直平分线DE交BC于点D, 交AC于点E，AC = 8,AABE的周长为14,求AB的长.洽22.如图，在 ABC中，AB的垂直平分线交AC于D,若AC = 5cm, BC = 4cm, 则厶BDC的周长为.23.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千 米，BD = 30千米，且CD = 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇 供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使 铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？蛙24.如图，A、B两村欲在河边建一

9、抽水站，已知A村到河边的距离是100m，B 村到河边的距离是300m，且CD的长为300m，若辅设水管的费用是每米100元, 问应在河边的何处建水站才能使得辅设水管的费用最低？在图上画出水站的位 置P，并求出辅设水管的最低费用。tBtA奴25.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图 书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA丄AB于A，DB丄AB于B， 已知AB = 25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?蛙26.如图，铁路上A，B两点相距25km，C、D为两村庄，DA丄AB于A，C

10、B丄AB 于B,已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E, 使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？蛙27. （2008年咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角 平分线实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2, 0）,请在图中分别标明B （5, 3）、C （-2, 5）关于直线l的对称点B、C的位置，并 写出他们的坐标：B，、C，;归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P（a， b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为（不必证明）；运用与

11、拓广：（3）已知两点D （1,3）、E （-1，-4），试在直线l上确定一点Q,使点Q 到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标.蛙28. （2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A （3,-2）, B （4, 2）两点，现 另取一点C （1, n）,当n =时，AC + BC的值最小.（2009年达州）在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为 对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则周长的最小值为cm。蛙29. （2009陕西）如图，在锐角ABC中，AB = 4冷2ZBAC = 45,ZBAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是.

12、垃30.如图，在正方形ABCD中，点M在CD上，在AC上确定点N,使DN+MN最垃31. (2009年达州)在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P 为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则周长的最小值为cm。垃32.在正方形ABCD中，E在BC 上, BE = 2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的 长度之和最小可达到。如图，正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN +MN 的最小值为。垃33.如图，在 ABC中，AC = BC = 2，ZACB = 90, D是BC边的中点，E是AB 边上一动点，则EC + ED的最小值为。(1) 如

13、图1,等腰RtAABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为;(2) 几何拓展：如图2,A ABC中，AB=2,ZBAC=30 ,若在AC、AB上各取一 点M、N,使BM+MN的值最小，求这个最小值；(3)代数应用：求代数式*X2+1+： (4 x)2 + 4 (0WxW4)的最小值。垃34.如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O点D为BC边的中点, 连长为2cm,在BD上找点P,使DP+CP之和最小。垃35. （2009年抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12, ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,

14、使PD + PE的和最小，则这个 最小值为（ ）C3垃36. （2009荆门）一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A （2， 0），B （0， 4）（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC + PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.垃37. (2010宁德)如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对 角线BD (不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM。(1) 求证：AAMB竺AENB；(2) 当M点在何处时，AM+CM的值最小；当 M 点在何处时， AMBMCM 的

15、值最小，并说明理由；(3) 当AM+BM+CM的最小值为、;+ 1时，求正方形的边长.垃38. (2010淮安)(1)观察发现如题图1,若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小. 做法如下：作点B关于直线l的对称点B,连接AB,与直线l的交点就是所 求的点 P。再如题图2,在等边 ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一 点P, 使 BP+PE的值最小.做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点， 则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为.( 2)实践运用如题图3,已知O的直径CD为4, AD的度数

16、为60，点B是AD的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.如题图4,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使ZAPB=ZAPD.保留作图痕 迹，不必写出作法垃39.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公 路 AB 两侧的村庄。(1) 设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时, 距离村庄N最近。请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；(2) 当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都 越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？(3) 在公路AB上是否存在这样

17、一点H,使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的 距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点；如果不存在，请简要说明 理由。 M*NMO. (2008河北)在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别 是3km和2km， AB = akm (a1).现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向 两个村庄供水方案设计： 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图 131 是方案一的示意图，设该 方案中管道长度为d，且d =PB + BA (km)(其中BP丄l于点P)；图13 2是方 案二的示意图，设该方案中管道长度为d，且d =PA+PB (km)(其中点A与22点A关于l对称，AB与l

18、交于点P).观察计算（1）在方案一中，d =km （用含a的式子表示）；（ 2 ）在方案二中，组1长小宇为了计算 d 的长，作了如图 133 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d =km （用含a的式子表示）.2探索归纳：（1） 当a=4时，比较大小：dd （填“”、“二”或“ V”）；12当a = 6时，比较大小：dd （填“”、“二”或“ V”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？育汁扌旨导V m -yr - (m0 ?当不易直接比较两个正数欣与挖的犬小时, 可以对它们的平方进行比较：(m2 -k2)与伽-”)的符号相同.nod- cgn.24、八当 m2 -rr 0 m-K 0 ,即当/一沪=0时，陀一挖=0,即当眈一/cO 时，mn 0 j 即 m nM1.已知点M （3, 2），N （1，-1），试在y轴上求一点P,使PM+PN最短。画 出图形，写出点 P 的坐标。蛙42.如图，已知O的半径是R，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的 度数为96，弧BD的度数为36，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（）A. 2RB.护 C.何 D. R