《类曲面积分》PPT课件

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1、E-mail: 5 第 二 类 曲 面 积 分 （ 对 坐 标 的 曲 面 积 分 ）有 向 曲 面 ： 通 常 我 们 遇 到 的 曲 面 都 是 双 侧 的 例 如 由 方 程 zz(x y) 表 示 的 曲 面 分 为 上 侧 与 下 侧 设 n(cos cos cos)为 曲 面 上 的 法 向 量 在 曲 面 的 上 侧 cos0 在 曲 面 的 下 侧 cos0 闭 曲 面 有 内 侧 与 外 侧 之 分 曲 面 分 上 侧 和 下 侧 曲 面 分 内 侧 和 外 侧一 、 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 概 念 和 性 质 E-mail: 类 似 地 如 果 曲 面 的 方

2、程 为 yy(z x)则 曲 面 分 为左 侧 与 右 侧 在 曲 面 的 右 侧 cos0 在 曲 面 的 左 侧cos0 如 果 曲 面 的 方 程 为 xx(y z) 则 曲 面 分 为 前侧 与 后 侧 在 曲 面 的 前 侧 cos 0 在 曲 面 的 后 侧cos0 n E-mail: 设 是 有 向 曲 面 ， 在 上 取 一 小 块 曲 面 S 把 S投 影 到 xOy面 上 得 一 投 影 区 域 这 投 影 区 域 的 面 积记 为 ()xy。 假 定 S上 各 点 处 的 法 向 量 与 z轴 的 夹角 的 余 弦 cos有 相 同 的 符 号 (即 cos都 是 正 的

3、 或 都是 负 的 ) 我 们 规 定 S在 xOy面 上 的 投 影 (S)xy为 .0cos0 0cos)( 0cos)()( 时当 时当 时当 xyxyxyS其 中 cos0也 就 是 () xy0的 情 形 类 似 地 可 以 定 义 S在 yOz面 及 在 zOx面 上 的 投影 (S)yz及 (S)zx E-mail: 实 例 流 向 曲 面 一 侧 的 流 量 . x yzo E-mail: A v0n E-mail: E-mail: x yzo iS ),( iii ivin 把 曲 面 分 成 n小 块 is ( is 同 时 也 代 表 第 i小 块 曲 面 的 面 积 )

4、,在 is 上 任 取 一 点),( iii , 1. 分 割则 该 点 流 速 为 .iv法 向 量 为 .in E-mail: 通 过 is 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为 ).,2,1( niSnv iii ,),(),(),( ),( kRjQiPvv iiiiiiiii iiii E-mail: iiiii iiiini iiii SR QP cos),( cos),(cos),(1 xyiiii xziiiiyzni iiii SR SQSP )(,( )(,()(,(1 3.取 极 限 0 .的 精 确 值取 极 限 得 到 流 量 2. 求 和 通 过 流

5、向 指 定 侧 的 流 量 ni iii Snv1 E-mail: 这 样 的 极 限 还 会 在 其 它 问 题 中 遇 到 抽 去 它 们的 具 体 意 义 就 得 出 下 列 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 概 念 E-mail: E-mail: E-mail: ni xyiiii SR10 )(,(lim 存 在 , 则 称 此 极 限 为 函 数 ),( zyxR 在 有 向 曲 面 上 对 坐 标 yx, 的 曲 面 积 分 (也 称 第 二 类 曲 面 积 分 ) E-mail: ni xyiiii SRdxdyzyxR 10 )(,(lim),( 被 积 函 数积 分 曲

6、面类 似 可 定 义 ni yziiii SPdydzzyxP 10 )(,(lim),( ni zxiiii SQdzdxzyxQ 10 )(,(lim),( E-mail: E-mail: 存 在 条 件 :组 合 形 式 : dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),(),(),( 物 理 意 义 : 表 示 流 向 指 定 的 流 量 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),(),(),( E-mail: 注 意 ：一 个 规 定 ： 如 果 是 分 片 光 滑 的 有 向 曲 面 我 们 规 定 函 数 在 上 对 坐 标 的 曲 面 积 分 等 于 函 数

7、 在 各 片光 滑 曲 面 上 对 坐 标 的 曲 面 积 分 之 和 E-mail: 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 性 质 : 1 21 21. Pdydz Qdzdx RdxdyPdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy （ 曲 面 可 加 性 ） 2. Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy （ 方 向 性 ） 设 是 有 向 曲 面 ， 表 示 与 取 相 反 侧 的 有 向 曲 面 ， 则 E-mail: 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 性 质 :3. F G( + G) + GF ndS F ndS ndS （

8、线 性 性 ） 若 和 在 有 向 曲 面 上 的 第 二 类 曲 面 积 分 存 在 ， 、 是 任 意 常 数 ， 则 E-mail: n ),( yxfz xyDx yzo xys)(二 、 对 坐 标 的 曲 面 积 分 的 计 算1、 逐 个 投 影 法 【 将 曲 面 积 分 化 为 二 重 积 分 】 E-mail: ni xyiiii SRdxdyzyxR 10 )(,(lim),( ),( ,)()(,0cos, iii xyxyiz S 又 取 上 侧 ni xyiiiiini xyiiii zR SR1010 )(,(,(lim )(,(lim xyD dxdyyxzyx

9、RdxdyzyxR ),(,),(即 E-mail: ,)()(,0cos, xyxyiS 取 下 侧若 xyD dxdyyxzyxRdxdyzyxR ),(,),( 则 有给 出由如 果 ,),( zyxx yzD dydzzyzyxPdydzzyxP ,),(),( 则 有给 出由如 果 ,),( xzyy zxD dzdxzxzyxQdzdxzyxQ ),(,),(注 意 :对 坐 标 的 曲 面 积 分 ,必 须 注 意 曲 面 所 取 的 侧 . E-mail: 逐 个 投 影 法 思 路 清 晰 ,计 算 量 大 ， 一 般 不 多 用2、 转 换 投 影 法 【 将 曲 面 积

10、分 同 应 到 别 的 坐 标 面 】S xoy设 在 平 面 上 的 投 影 满 足 “ 投 影 点 不 重 合 ” ，xyD区 域 较 容 易 求 得 ， 则 ：S ( , , ) ( , , ( , ) xyD zP x y z dydz P x y z x y dxdyx S ( , , ) ( , , ( , )xyD zQ x y z dzdx Q x y z x y dxdyy S ( , , ) ( , , )xyDR x y z dxdy R x y z dxdy E-mail: S 0, ,2+, , , ,2 n z 当 有 向 曲 面 的 法 向 量 与 轴 正 向 的

11、 交 角 时以 上 诸 式 取 当 时 取 综 合 以 上 三 式 ,有S ( , , ) ( , , ) ( , , )P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ( , , ( , ), ( , , ( , ), ( , , ( , ) xyD P x y z x y Q x y z x y R x y z x y , ,1z z dxdyx y ( , ) Sz z x y其 中 ， 为 曲 面 的 显 示 表 示 。 E-mail: 类 似 地 ,投 影 转 换 到 yoz平 面 时 有 :S ( , , ) ( , , ) ( , , )P x y

12、z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ( ( , ), , ), ( ( , ), , ), ( ( , ), , )yzD P x y z y z Q x y z y z R x y z y z 1 ,x x dydzy z ， ( , ( , ), ), ( , ( , ), ), ( , ( , ), ) zxD P x y x z z Q x y x z z R x y x z z ,1,y y dzdxx z cos 0 （ 时 取 正 号 ）cos 0 （ 时 取 正 号 ）类 似 地 ,投 影 转 换 到 zox平 面 时 有 :S ( , , ) (

13、 , , ) ( , , )P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy E-mail: 1 例 (2 ) ,x z dydz zdxdy 计 算 曲 面 积 分 其 中 为 有 向2 2(0 1),z x y z 曲 面 z其 法 向 量 与 轴 正 向 夹 角 为 锐 角 。解 法 1： 逐 个 投 影 法S (2 ) ,x z dydz先 计 算S yoz将 分 成 前 后 两 块 投 影 到 平 面 ：2S , ( , ) ,yzx z y y z D 前 ： 方 向 向 后 ；2S , ( , ) ,yzx z y y z D 后 ： 方 向 向 前

14、； 2( , )| 1, 1 1yzD y z y z y 其 中 ， E-mail: 所 以S (2 ) ,x z dydz 2 2(2 ) ( 2 )yz yzD Dz y z dydz z y z dydz 24 yzD z y dydz 21 1 214 ydy z y dz 31 2 2016 (1 )3 y dy 42016 cos3 tdt S ,zdxdy再 计 算 E-mail: S , :xoy将 投 影 到 平 面 上 投 影 区 域 为 2 2D ( , )| 1xy x y x y 于 是 2 2S ( )xyDzdxdy x y dxdy 2 1 30 0 2d r

15、 dr 故 S (2 ) 2 2x z dydz zdxdy E-mail: 解 法 2 转 换 投 影 法S , :xoy将 投 影 到 平 面 上 投 影 区 域 为 2 2D ( , )| 1xy x y x y :S的 方 程 为 2 2 ( , ) xyz x y x y D S (2 )x z dydz zdxdy 2 2 2 2= (2 )( 2 ) xyD x x y x x y dxdy 2 1 2 2 2 30 0 ( 4 cos 2 cos )d r r r rdr 2204 cos 2d 2 E-mail: 2 例 2 2 2x dydz y dzdx z dxdy 计

16、 算 曲 面 积 分( , , )|0 ,0 ,0 x y z x a y b z c 其 中 为 长 方 体 的 整 个 表 面 的 外 侧 ，解 1 2把 的 上 下 面 分 别 记 为 和 3 4把 的 前 后 面 分 别 记 为 和 5 6把 的 左 右 面 分 别 记 为 和1 zc (0 xa 0yb)的 上 侧 2 z0 (0 xa 0yb)的 下 侧 3 xa (0yb 0zc)的 前 侧 4 x0 (0yb 0zc)的 后 侧 5 y0 (0 xa 0zc)的 左 侧 6 yb (0 xa 0zc)的 右 侧 E-mail: 3 4 yoz 除 ， 外 ， 其 余 四 片 曲

17、 面 在 面 上 的 投 影 为 零 ，因 此 3 42 2 22 20yz yzD Dx dydz y dydz x dyda dydz dydz a bc 类 似 地 可 以 得 到 ：2 2 2 2y dzdx b ac z dxdy c ab ，于 是 所 求 曲 面 积 分 为 ：( )a+ b+ c abc E-mail: 练 习 的 正 方 体 （ 外 ） 表 面 。、 边 长中 心 在求 : , )()()( aO dxdyxzdzdxzydydzyx 原 式解 轮 换 对 称 性 dydzyx )(3 前(3 后 左 右 上 下 dydzyx )(dydzyx )( 后 前(

18、3 x z yO)( yOz下上右左 、 E-mail: 3( )( )x y dydz 后前 xdydz 前前 后 对 称 6 )(3 dydza yzD 化 为 二 重 积 分 |D|a yz3 dydza 前方 程 2633a E-mail: 3 例 xyzdxdy计 算 曲 面 积 分解 2 21 2 22 1 ( 0, 0)1 ( 0, 0)z x y x yz x y x y 把 有 向 曲 面 分 成 以 下 两 个 部 分 ： 的 上 侧 ，： 的 下 侧 ， 1和 2在 xoy面 上 的 投 影 区 域 都 是 Dxy: x2y21 (x0 y0)其 中 是 球 面 x2y2

19、z21外 侧 在 x0 y0的 部 分 E-mail: 2 21 2 220 02 12 sin cos 1215xyD xy x y dxdyd r r rdr 1 22 2 2 21 ( 1 )xy xyD Dxyzdxdy xyzdxdy xyzdxdyxy x y dxdy xy x y dxdy E-mail: 解 两 部 分和分 成把 21 ;1: 2211 yxz ,1: 2222 yxz x yz 2 1 取 上 侧 取 下 侧 E-mail: （ 下 ）上 ） 12( xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyD dxdyyxxy 221 xyD dxdyyxxy 22

20、12 xyD rdrdrr 22 1cossin2 xyD dxdyyxxy )1()1( 22 rdrrrd 22 0 10 2 1cossin2 152 xo y 11 r E-mail: 2 练 习 I xydydz yzdzdx zxdxdy 计 算 曲 面 积 分 1x y z 其 中 由 平 面 与 三 个 坐 标 面 围 成 得四 面 体 的 表 面 ， 取 其 外 侧 。解 , , 1 2 3 4由 可 分 为 , 四 小 块 ， 其 方 程 分 别 为 ：1 z=0； 2 x=0； 3 y=0； 4 x+y+z=1当 取 外 侧 时 ， 1 取 下 侧 ； 2 取 后 侧 ；

21、3 取 左 侧 ；4 取 正 侧 E-mail: 1 0 xydydz yzdzdx zxdxdy 不 难 验 证 ：2 3 0 同 理 。 44 4 41 1 1 10 0 0 0 1 10 0(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )1 1 1 124 24 24 8yz zx xyD D Dy zx I xydydz yzdzdx zxdxdyxydydz yzdzdx zxdxdyy z ydydz z x zdzdx y x xdxdydy y z ydz dz y z zdxdx y x xdy 4下 求 的 积 分 。 E-mail: 4 例 22 2 2 ,xdyd

22、z z dxdyx y z 计 算 曲 面 积 分2 2 2 ( 0) .x y R z R R 及 平 面 所 谓 立 体 表 面 外 侧其 中 是 由 曲 面解 ： 如 图 2 2 222 2 222 2 2 22 2 2xdydzx y zxdydz z dxdyx y zxdydz z dxdyx y zxdydz z dxdyx y z 123 E-mail: 22 2 2 2 2 2xdydz z dxdy xdydzx y z x y z 1 1而 1 xoy 垂 直 于 面 ， 所 以 相 应 的 积 分 为 零2 2 2 2 2 2 2 2xdydz z dxdy z dxd

23、yx y z x y z 2 22 yoz 垂 直 于 面 ， 所 以 相 应 的 积 分 为 零2 22 2 2 2 2 2xdydz z dxdy z dxdyx y z x y z 3 33 yoz 垂 直 于 面 ， 所 以 相 应 的 积 分 为 零 E-mail: 2 2 2 2 2 2 2 2 2xdydz xdydz xdydzx y z x y z x y z 1 1后1前2 21 2 21 : ( , ) ,: ( , ) ,yzyzx R y y z Dx R y y z D 前后 向 前 向 后( , )| , ,yzD y z R y R R z R 而 2 2 2

24、2 2 2 2 2 2xdydz xdydz xdydzx y z x y z x y z 1 1后1前即 ： 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22yz yz yzD D DR y dydz R y dydz R y dydzR z R z R z 2 2 22 2 12 2R RR R dzR y dy RR z E-mail: 23 : ( , ) ,: ( , ) ,xyxyz R x y Dz R x y D 向 上 向 下2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2( ) 0z dxdy z dxdyx y z x y zR dxdy R dxdyx y z

25、x y z 2 32 3于 是 2 2 22 2 2 1 102 2xdydz z dxdy R Rx y z 所 以 E-mail: 三 、 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 联 系 xyD ),( yxfz x yzo dsn E-mail: E-mail: 曲 面 (取 下 侧 ) 因 为 221 1cos yx zz E-mail: ( cos cos cos )Pdydz Qdzdx RdxdyP Q R dS 综 合 起 来 有 ：其 中 cos 、 cos 、 cos 是 有 向 曲 面 上 点 (x y z)处 的 法 向 量 的 方 向 余 弦 E-mail: 两 类 曲

26、面 积 分 之 间 的 联 系 的 向 量 形 式 dSAsdAdSnASdA n 或 E-mail: 解 由 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 ， 可 得 ： dydzxz )( 2 , x,y,-1在 曲 面 上 曲 面 的 法 向 量 ( ) dsxz cos)( 2 dxdyxz coscos)( 2 E-mail: 2 2 2( ) ( )( ) ( ( )cos cos )z x dydz zdxdy z x x z dxdyz x z dS 或 2 2 2 2 21 1 ( ) ( ) ( )4 2xyD x y x x x y dxdy 2 2 2 22 2 2 2 2 24 4 1( ) ( )4 2x y x yx x y dxdy x x y dxdy 2 2 2 22 2 1cos , cos1 11xx y x ydS x y dxdy E-mail: xyD dxdyyxx )(21 222 20 22220 )21cos( rdrrrd .82 2 2 2 24 ( ) 04x y x x y dxdy 在 对 称 积 分 区 域 上 被 积 函 数 为 奇 函 数 ， 则 积分 值 为 零 。