加工厂选址问题

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1、加工厂选址问题 摘要 食品加工厂选址时需要考虑到各个原材料生产点的生产量以及距离各个原材 料生产点的路程等各方面因素，因此合理的选址能尽可能的节约生产成本，进而 提高厂家的效益。 本文以总运费最低作为厂址最佳的选择标准。 问题一是选择九个原材料生产基地其中一个为加工厂，使得各个基地原料运 往加工厂总运费费用最低，是一种最优化问题。我们建立非线性规划模型并运用 Matlab 软件，根据所设目标函数，编出程序求出在每个基地建造加工厂时所需 运输总费用。进而得出当加工厂建在第一个原材料生产基地在坐标位置°2,38） 时，（见表（2））所需运输总费用最少，为 10965.2412。 问题二是

2、在该区域内任选一点作为加工厂，同样考虑总运费最低，建立连续 的非线性规划模型，根据所设目标函数并运用 Lingo 软件编出程序，求出最佳选 址在坐标为（35.5,33・18）的位置，且总运费最低为10602.55。 针对问题三若在该区域内建造两个加工厂，且同一原料生产基地不同时供应 两个加工厂的情况下，我们用0-1变量法，建立一个连续的多元非线性规划模型， 确立一个目标函数，运用 Lingo 软件编出程序，进而求出两个加工厂的坐标分别 为：S以=（8，13）,（役,勺）=（46.78635,37.22265 ）.且最低运费为 8599.175。 关键词：工厂选址，最低运费， 0-1 变量法，

3、非线性规划 1 问题重述 随着经济的发展，越来越多的工厂企业建立，本题是食品加工厂的选择选址问 题，在不考虑加工厂的建设费用的前提下，总的费用仅与加工厂的位置有关。在 假定的单位运费与运输距离成正比的条件下，给出了九个原材料生产基地的坐标 和年生产量。针对以下问题我们建立数学模型并求解： （1）如果九个原材料基地都可以建造加工厂的话，选择一个最合适的，并求 出总的运输费用。 （2）如果允许在该区域任选一点建造加工厂，试在该区域内选取一最佳点建 造加工厂，并求出总的运输费用。 （3）如果可以在该区域建造两个加工厂，且同一原料生产基地不能供应两个 加工厂的条件下，如何选址才能是运输总费用

4、最低，求出两个加工厂的具体位 置，并求出两个加工厂分别服务于那几个原材料生产基地及运输总费用。 2：问题分析 如何在合理的位置建造加工厂，我们选择评价最佳选址的标准是使总的运输 费用最低。 针对问题一，我们分析得知该问题是最优化问题，建立目标函数，并且进一 步运用 Matlab 编程软件，计算出任意一个原材料加工基地作为加工厂时所需 运费，进行比较，进一步筛选出最合理的选址。 针对问题二，也属于最优化问题，我们运用Lingo软件编程，直接得出最佳 加工厂的坐标位置。 针对问题三，需要建造两个加工厂，且同一原料基地不能供应两个加工厂。 我们建立0-1整数规划模型和非线性规划模型，并运用

5、Lingo软件编程，求出 所建造两个加工厂的具体坐标位置使得总运费最少。在此前提下，尽可能的使 运往两个加工厂的原材料相差不大。 3：模型假设 1. 原材料到加工厂有直达的路线，并且将路线看作线段。 2. 不考虑运输过程中的原材料损耗。 3. 不考虑运输过程中的设备损耗及维修费用。 4. 所有的原料生产基地和加工厂均在同一海拔。 5. 单位运费与运输距离成正比，且比例系数为 1。 6. 该地区个点气候条件，生态条件相同，交通便利程度和基础设施条件相同。 4：符号说明 i : 原材料基地的标号； j :待选加工厂的标号； wi :原材料基地的年产量； k : 单位运费与运

6、输距离的比例系数； \a b 丿： aj,bj :待选加工厂的坐标； \xi' yj:原材料基地的坐标； Cj ‘ yJ：原材料生产基地作为待选加工厂厂址的坐标； Pij： i原材料生产基地是否运往j加工厂； 5：模型的建立与求解 *5 8 1,3) +(81,63, 18,45,8) +(22,38 ,1) #2,32 ,4) * 3,13^1

7、6 ,12,6) 38,11,5) .+(62,12 ,9) 90 F : 5.1 问题一的求解 80 ―58 70 +(81,63,7) 60 50 +(18,45,8) 40 软22,38刁 車52,32,4) 30 20 w *8,13越6,12,6) 赵38,11.5) 対62,12,9)_. : 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 表(1)九个原料生产基地的具体坐标 我们根据已知九个原材料基地的具体坐标位置和生产量，设Xi'乙)为所选择 的作为加工厂的原材料基地的坐标，k为单位运费，Wi为每个原材料

8、生产基地 的产量，然后确定目标函数 min £ kw \x - x J2 + \y - y》，j = 1, ,9 i i j i j i=1 并用Matlab软件编程(见附录1)，首先求出每个原材料基地作为加工厂时到其 他原材料基地的距离，并作出表格（2）如下： 距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0.00 28.65 46.24 30.59 31.38 26.68 64.08 8.06 47.71 2 28.65 0.00 68.07 47.93 30.07 8.06 88.48 33.53 54.01 3

9、46.24 68.07 0.00 67.90 77.39 69.87 78.10 38.28 89.50 4 30.59 47.93 67.90 0.00 25.24 41.18 42.45 36.40 22.36 5 31.38 30.07 77.39 25.24 0.00 22.02 67.48 39.45 24.02 6 26.68 8.06 69.87 41.18 22.02 0.00 82.62 33.06 46.00 7 64.08 88.48 78.10 42.45 67.48 82.62

10、 0.00 65.52 54.42 8 8.06 33.53 38.28 36.40 39.45 33.06 65.52 0.00 55.00 9 47.71 54.01 89.50 .表(: 22.36 2) 24.02 46.00 54.42 55.00 0.00 求出把各个生产基地建设为加工厂所需运费，并作出条形图如下： 表（3） 由条形图可以清晰的看出选择原材料基地 1 为加工厂时总运费最少，为 10965.2412，所以说最合理的选址应为原材料基地 1。 5.2 问题二模型的建立与求解 表（4） 若

11、能在该区域任何一个位置选址作为加工厂的具体位置时，我们可以设该点位 （x, y\ wi为每个原材料生产基地的年产量，确定目标函数： min £ kw .；(x -x)2 +(y i、 i i i=1 并结合Lingo软件编出程序（见附录2），求出点（35-5,33"18 ）为最佳选址地点, 由图可知该点恰好在该区域内，因此计算结果比较符合题意。具体位置见表（4）。 5.3 问题三模型的建立与求解 若在该区域内建造两个加工厂，我们分别设坐标为（arb）（a2,b2）。并设原材 料基地的坐标为3‘y〉i =1,9，j o-i变量，当其取值为1时，表示将i 原材料基地的原材料运往j

12、加•工厂，当其取值为0时，表示不将i原材料基地的 原材料运往j加工厂，wi为第i个原材料基地的年生产量。建立一个非线性规 划模型，确立目标函数： min ££ kp w ij i i=1 j=1' 99 工 wi1ti + 工 wi2ti= 280 i=1 i=1 2 工 wijTJT，，9 ij j=1 」1, i基地的原材料运往j•工厂 W = 0, i基地的原材料不运往j•工厂 并结合 Lingo 软件编程（见附录 3）,求出加工厂的两个最佳选址地点坐标为 （ai，bi）=（&13）,（役,勺）=（46.78635,37.22265 ）.目标函数的取值

13、即最低运输费用为 8599.175。并解出两个加工厂分别服务的原材料基地,结果如（表 4）所示 第一个加工厂 坐标 （8,13） 所服务的原材料加工基地 2、6 第一个加工厂 坐标 (46.79,37.22) 所服务的原材料加工基地 1、 3、 4、 5、 7、 8、 9 表 4 ） 6：模型的评价与改进 本文在模型的选择,建立,求解和检验过程中,有以下优点： 1） 我们以运费最少作为最佳厂址的选择标准,是比较符合现实情况的。 2） 第一问所建立的模型方便快捷,可以快速求出所有情况下的最小运输费用。 3） 对于问题二所建立的单目标非线性规划模型,直接运用数

14、学建模中常用的 软件,可以很方便的求解。 4） 问题三应用的多元连续选址模型很方便的解决该类问题。 当然,我们的模型也有很多缺点,比如： 我们所建立的模型只考虑到了最少运费这一影响厂址选择问题的因素,而忽略了 其他因素,比如说加工厂的选址还需考虑到所生产食品的运销（而食品的销路与 工厂附近人口密度息息相关）。 对于第三个问题,我们所得的结果并没有考虑到两个加工厂所分配的原材料的 均衡问题,而在现实生活中厂址选择时这一问题是必须考虑的。 针对以上问题，我们可以做出一些改进，搜集这一地区的人口分布的数据，可 以将消费人群的分布也作为厂址选择的考虑因素，可以将模型改为多目标优化问 题。将两个

15、工厂所负责的原材料基地的原材料综合尽量均衡也作为最后决策加工 厂建造的考虑因素。另外建立一个目标函数： )2 min (工 w t —工 w t i1 i i 2 i i=1 i=1 再结合第二问然后求出一个更合理的结果。 参考文献： [1] 姜启源，数学模型，北京：高等教育出版社，2004年 [2] 谢金星薛毅，优化建模与LINGO/LINDO软件，北京：清华大学出版社，2004 年 [3] 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005年 [4] 周义仓 赫孝良，数学建模实验，西安：西安交通大学出版社，1999 年 [5] 朱道元，数学建模案例精选，北京

16、：科学出版社，2003 年 [6] 吴翊 吴孟达 成礼智，数学建模的理论与实践，长沙：国防科技大学出版社， 1999 年 附录 1 X=[22 8 5 52 38 16 81 18 62]; Y=[38 13 81 32 11 12 63 45 12]; C=[17 40 60 25 30 15 50 8 35]; A=zeros(9); F=zeros(9); for i=1:9; for j=1:9; A(i,j)=sqrt((X(i)-X(j))人2+(Y(i)-Y(j))人2); end end A F=A*C' 附录2 sets: cl/1..9/:

17、a,b,c; endsets data: a=22,8,5,52,3 & 16,81,18,62; b=38,13,81,32,11,12,63,45,12; c=17,40,60,25,30,15,50,8,35; enddata min=@sum(c l(i):c(i)*@sqrt((x-a(i))人2+(y-b (i) )A2)); End 附录3 sets: cl/1..9/:x,y,t; gc/1..2/:a,b; link(cl,gc):w; endsets data: t=17,40,60,25,30,15,50,8,35; x,y=22,38 8,13 5,81 52,32 38,11 16,12 81,63 18,45 62,12; enddata min=@sum(link(i,j):w(i,j)*t(i)*@sqrt((x(i)-a(j))A2+(y(i)-b(j))A2)); @sum(c l(i):w(i,1)*t (i) )+@sum(cl(i):w(i,2)*t (i) )=280; @for(c l(i): @sum(gc(j):w(i,j))=1); @for(link(i,j): @bin(w(i,j)));