《理论力学动静法》PPT课件

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1、 2 本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理。应用这一原理,就将动力学问题从形式上转化为静力学问题,从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法,因而也称动静法。 141 质点的动静法 142 质点系的动静法 143 刚体惯性力系的简化 144 刚体定轴转动时轴承动反力的概念 达朗伯原理的应用 第十四章 动静法 4 14-1质点的动静法力 是由于小车具有惯性,力图保持原来的运动状态,对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。 F一、惯性力的概念 人用手推车,人给小车一个力 ,而反过来小车也给人手一个力 ,由牛顿第三定律, (作用力与反作用力定律);由牛顿第二定律FFFF a

2、mF amFF 所以 52222 22dtzdmmaQ dtydmmaQ dtxdmmaQ zz yy xx 0 222 bb nn maQ vmmaQ dtsdmmaQ 注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力,它是质点对施 力体反作用力的合力。 加速运动的质点,对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。amQ 定义:质点惯性力 6 非自由质点M,质量m,受主动力 , 约束反力 ,合力F NamNFR 0 amNF 0 QNF质点的动静法二、质点的动静法 7 即:质点在任意瞬时,除作用的主动力和约束反力外,如再假想地加上惯性力,则这些力在形式上将组成一平衡力系。 8 该方程对动力学问题来说只

3、是形式上的平衡,并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点,可以利用静力学提供的解题方法,给动力学问题一种统一的解题格式。 9 例1 列车在水平轨道上行驶,车厢内悬挂一单摆,当车厢向右作匀加速运动时,单摆左偏角度 ,相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a 10 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 ) ( maQamQ 0cossin , 0 QmgX tgga 角随着加速度 的变化而变化,当 不变时, 角也不变。只要测出 角,就能知道列车的加速度 。这就是摆式加速计的原理。a a a 解:由动静法, 有 解得 11 14-2 质点系的动静法 对整个质点系,主动力系、约束反力系

4、、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为: 0)()()( 0 iOiOiO iii QmNmFm QNF设有一质点系由n个质点组成,对每一个质点,有 ) ,1,2,. ( 0 niQNF iii 12 注意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 则 0)( , 0 )()( iiOii FmF 0)()( 0)()( iOeiO iei QmFm QF 表明:对整个质点系来说,动静法给出的平衡方程,只是质点系的惯性力系与其外力的平衡,而与内力无关。 dtKdvmdtdaMamQ iiCiii )( dtLdvmmdtdammQm OiiOiiOiO )()()( 1

5、3 对平面任意力系: 0)()( 0 0)()( )( iOeiO iyei ixei QmFm QY QX对于空间任意力系:0)()( , 0 0)()( , 0 0)()( , 0 )()( )()( )()( izeizizei iyeiyiyei ixeixixei QmFmQZ QmFmQY QmFmQX 实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。 用动静法求解动力学问题时, 14 14-3 刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。QRQOM )( 与简化中心有关与简化

6、中心无关 QmM aMamQR OQO CQ 无论刚体作什么运动,惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度方向相反。 15 一、刚体作平动向质心C简化:CQ aMR 0)()( CiiCiiiCQC armamrQmM cQ aMR 刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻页请看动画 16 17空间惯性力系平面惯性力系(质量对称面)O为转轴z与质量对称平面的交点,向O点简化: 二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。Oiii amQ 直线 i : 平动, 过Mi点, 18 主矩:CQ aMR )( 0 )()( 2反向负号表示与 Oii ii

7、i niOiOQO Irm rmr QmQmM 主矢: 19 向O点简化:CQ aMR OQO IM 向质点C点简化: CQ aMR CQC IM作用在C点作用在O点 20 讨论:刚体作匀速转动,转轴不通过质点C 。2meRQ 21 讨论:转轴过质点C,但0,惯性力偶 (与反向)CQ IM 22 讨论:刚体作匀速转动,且转轴过质心,则0 , 0 QCQ MR(主矢、主矩均为零) 23 假设刚体具有质量对称平面,并且平行于该平面作平面运动。此时,刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点(质点C)的平动:绕通过质心轴的转动: 作用于质心CQ aMR CQC IM C

8、Q aMR CQC IM 三、刚体作平面运动 24 25 对于平面运动刚体:由动静法可列出如下三个方程:0)( , 0)( 0 , 0 0 , 0 )()( )( QCeCC Qye Qxe MFmFm RYY RXX实质上: )( , , )(22)(22)(22 eCCeCeC FmdtdIYdtydMXdtxdM 26 例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 选杆AB为研究对象 虚加惯性力系: 2 mlRQ 3 , 0 2 mlIMmaR AQAnnQ 解:根据动静法,有 27 (3) 02/cos , 0

9、)( (2) 0sin , 0 (1) 0cos , 0 0 00 QAA nQnAn QA MlmgFm RmgRF RmgRF 。得代入得由得由 cos4 :(1) ; cos23 :)3( ; sin :)2( 00 0 mgRlgmgR AnA 28 cos2331 cos2 2 lgmllmg 0 , cos23g , , 此时时000 lt用动量矩定理+质心运动定理再求解此题:解:选AB为研究对象2cos lmgIA 由得:由质心运动定理:nAn A Rmgma glamgRma 0 00sin0 cos432 cos 00 cos4 , sin mgRmgR AnA 29 例2

10、牵引车的主动轮质量为m,半径为R,沿水平直线轨道滚动,设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M,车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为,轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下,驱动力偶矩M 之最大值。TS、 取轮为研究对象 虚加惯性力系: 2mIM mRmaR CQC CQ 解:O 30 (3) 0 , 0)( (2) 0 , 0 (1) 0 , 0 QCC Q MFRMFm SPNY RTFX由(1)得TFmRRQ 得代入所以(3) mRTF O由动静法,得:(4) )()( 222 2 RTRRFTFRFRM mRTFmFRMFRM QC 3

11、1 由(2)得 N= P +S,要保证车轮不滑动,必须 Ff N =f (P+S) (5) RTRRSPfM 22 )( 可见,f 越大越不易滑动。 Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得:O 32 14-4 刚体定轴转动时轴承动反力的概念 一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ,角加速度(逆时针) 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩R QR OMQOM )()()( )( kQmjQmiQm kMjMiM QmQrM aMR iziyix QzQyQx iOiiQO CQ 33 iiiiiiii iiiiiniii ixnixixQx RzmRzm

12、 amzamz QmQmQmM cossin cossin )()()( 2 ziiiiiizQz yzzxQy IRmRamQmM IIM 22 )( 同理可得 )()( /co /sin 2 iiiiiiQx iiiiii zymxzmM RxsRy 故而2 , yzzxQx iiiyziiizx IIM zymIxzmI 惯性积令 34 根据动静法:. 0 ,0 ,0 , 0 , 0 , 0 Qzz BAQyy ABQxx zB QyyBA QxxBA MM OBXOAXMM OAYOBYMM RZ RRYY RRXX其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l 1, OB=l

13、2 可得 35 /)()( /)()( /)()( /)()( 11 11 22 22xB QxQyxyB QyQxyxB QyQxyxA QxQyxyA RZ llRMlRMX llRMlRMY llRMlRMY llRMlRMX 由两部分组成,一部分由主动力引起的,不能消除,称为静反力;一部分是由于惯性力系的不平衡引起的,称为附加动反力,它可以通过调整加以消除。 使附加动反力为零,须有静反力附加动反力动反力 36 0 QyQx MM 0 QyQx RR当刚体转轴为中心惯性主轴时,轴承的附加动反力为零。002 2 yzzx yzzx II II )0( 0 422 2 yzzxxz III

14、00CyCxMaMa 0 CC yx对z 轴惯性积为零,z 轴为刚体在O点的惯性主轴;过质心 37 静平衡:刚体转轴过质心,则刚体在仅受重力而不受其它主动力时,不论位置如何,总能平衡。 动平衡:转动为中心惯性主轴时,转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念 38 例1 质量不计的刚性轴以角速度匀速转动,其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下,哪些是静平衡的?哪些是动平衡的?静平衡: (b)、 (d)动平衡: ( a) 39 动平衡的刚体,一定是静平衡的;反过来,静平衡的刚体,不一定是动平衡的。 GrrgGmrGrrRMb GrmrGrMa QQQ 22222 121

15、 21 , 0 :)( 21 , 0 :)( 对对21 21 , 例2 两个相同的定滑轮如下图示,开始时都处于静止,问哪个角速度大?(a) 绳子上加力G (b) 绳子上挂一重G的物体OO 40 根据达朗伯原理,以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法,称为动静法。应用动静法既可求运动,例如加速度、角加速度;也可以求力,并且多用于已知运动,求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如,矩心可以任意选取,二矩式,三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时,应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用 41 选取研究对象。原则与静力学相同。 受力

16、分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度,刚体角加速度,标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点:虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶,一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。 42 列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程(运动量之间的关系)。 求解求知量。 注 的方向及转向已在受力图中标出,建立方程时,只需按 代入即可。QOQ MR , OQOCQ IMmaR , 43 例1 质量为m1和m2的两重物,分别挂在两条绳子上,绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上,已知两鼓轮对于转轴O的转

17、动惯量为I,系统在重力作用下发生运动,求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象解:方法1 用达朗伯原理求解 44 虚加惯性力和惯性力偶: IIMamRamR OQOQQ , , 222111由动静法:00 , 0)( 2221112211 22112211 Iramramgrmgrm MrRrRgrmgrm Fm QOQQO列补充方程: 代入上式得: 2211 , rara gIrmrm rmrm 222211 2211 45 方法2 用动量矩定理求解 2211)( 222211 222111 )( grmgrmM Irmrm IrvmrvmL eOO gIrmrm rmrm 222211 221

18、1 根据动量矩定理:2211222211 )( grmgrmIrmrmdtd 取系统为研究对象 46)(2 212121 2222112 2222211 Irmrm IvmvmT 取系统为研究对象,任一瞬时系统的 )gdr-mr(m dgrmdgrm gdsmgdsmWF 2211 2211 2211 元功 方法3 用动能定理求解 47gIrmrm rmrm 222211 2211 gdrmrmIrmrmd WdT F )()(2 22112222112 得由两边除以dt,并求导数,得 48 例2 在图示机构中,沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体,各重为P和Q,半径均为R,绳子不可

19、伸长,其质量不计,斜面倾角,如在鼓轮上作用一常力偶矩M, 试求:(1)鼓轮的角加速度? (2)绳子的拉力? (3)轴承O处的支反力? (4)圆柱体与斜面间的摩擦力(不计滚动摩擦)? 49 解:方法1 用达朗伯原理求解取轮O为研究对象,虚加惯性力偶OOOQ RgQIM 221列出动静方程:(3) 0 sin0 (2) 0cos0 (1) 0 , 0)( TQ , YY T , XX MMTRFm O O QO AAQ RgPagPR 2QA 21M , 取轮A为研究对象,虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。QR 50 列出动静方程:(5) 0sin , 0 (4) 0sin , 0)( PFRT

20、X MRTRRRPFm Q QAQC运动学关系: ,OAOAA RRa 将MQ,RQ,MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得: 。 )3( )sin3( , )3( )sin(2 2RPQ QRMPT gRPQ RPMO 51 代入(2)、(3)、(5)式,得:。 )3( )sin( , sin)3( )sin3( , cos)3( )sin3( RPQ PRMP F QRPQ QRMPY RPQ QRMPXOO 52 方法2 用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象 )sin( sinPRM PRMWF )( AO RRv 222222221 )

21、3(4 22121221 )( RPQgRgPvgPRgQT CT OAO 常量 53 )sin()3(4 , 22 12 PRMCRPQg WTTO F 得由gRPQ PRM O 2)3( )sin(2 两边对t求导数: )sin(2)3(41 2 OOO PRMRPQg 54 (2) 用动量矩定理求绳子拉力 (定轴转动微分方程) 取轮O为研究对象,由动量矩定理得TRMRgQ O 22 RPQ QRMPT )3( )sin3( 55 (3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象,根据质心运动定理: sin0 , cos0 , TQYYMa TXXMa OCy OCx QRPQ

22、QRMPY RPQ QRMPX OO sin)3( )sin3( , cos)3( )sin3( 56 (4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象, 根据刚体平面运动微分方程)( OAAA FRI RPQ PRMPgRPQ PRMRgPRRIF AA )3( )sin()3( )sin(221 22 方法3:用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力(绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 )。T OX OY F 57 例3 均质圆柱体重为P,半径为R,无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ,试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不

23、计。解:(1) 用动能定理求速度,加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时,处于静止状态,故T1=0;在末位置时,设角速度为,则v C = R , 动能为:P 58 22222 4322121 CC vgPRgPvgPT 主动力的功: sinPSWF由动能定理 得 FWTT 12 sin34 sin043 22 gSvPSvgP CC对 t 求导数,则: sin32 , sin32 RggaC (2) 用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象,虚加惯性力 和惯性力偶MQCQR P 59 sin3sin3221 , sin322 PRRgRgPM PagPR QC CQ 0sincossin32sin

24、3 , 0)( 0sinsin32 , 0 0cossin32 , 0 RPPSRPRPMFm ,PP YY , P XX OO OO 列出动静方程:SP MO cos 2sin3P XO )sin321 2P( YO 60 例4 绕线轮重P,半径为R及 r ,对质心O转动惯量为IO,在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动,不计滚阻,求:(1)轮心的加速度;(2)分析纯滚动的条件。解:用达朗伯原理求解 绕线轮作平面运动 (纯滚动)) ( , RaaRIMagPR OOOQOOQ 由达朗伯原理,得0cos , 0)( RTTrRRMFm QQOC 将RQ 、MQO代入上式,可得2 )cos( Rg

25、PI rRTRa OO 61 0cos , 0 QRFTX 22 )cos()cos(cos cos RgPI RrgPITRgPI rRTRgPT RTF OOOQ sin 0sin , 0 TPN TPNY 纯滚动的条件: F f N )sin()cos( 2 TPfRgPI RrgPIT OO )(sin( )cos( 2RgPITP RrgPITf OO 62 1. 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成,放在光滑水平面上,物体A上作用一水平力F,试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F ?思考题:解:FNN FmaFN NRF Q 0 63cos2 212221 aaaamRQ cossintg 21 21 aa a 解: 2. 质量为M的三棱柱体A 以加速度 向右移动,质量为m的滑块B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动,试问滑块B的惯性力的大小和方向如何?1a2a 64 3. 匀质轮重为P,半径为 r ,在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ,角加速度为 ,求轮对质心C 的转动惯量,轮的动量、动能,对质心的动量矩,向质心简化的惯性力系主矢与主矩。解: grPIMrgPagPR grPIL rgPrgPrgPT rgPvgPK rgPI CQCCQ CC CC 2 , 2 43212121 )(2 22 2222222 65

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