《理论力学动静法》PPT课件

《《理论力学动静法》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《理论力学动静法》PPT课件（65页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 2 本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称动静法。 141 质点的动静法 142 质点系的动静法 143 刚体惯性力系的简化 144 刚体定轴转动时轴承动反力的概念 达朗伯原理的应用 第十四章 动静法 4 14-1质点的动静法力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。 F一、惯性力的概念 人用手推车，人给小车一个力 ，而反过来小车也给人手一个力 ，由牛顿第三定律， （作用力与反作用力定律）；由牛顿第二定律FFFF a

2、mF amFF 所以 52222 22dtzdmmaQ dtydmmaQ dtxdmmaQ zz yy xx 0 222 bb nn maQ vmmaQ dtsdmmaQ 注 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。 加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。amQ 定义：质点惯性力 6 非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，合力F NamNFR 0 amNF 0 QNF质点的动静法二、质点的动静法 7 即：质点在任意瞬时，除作用的主动力和约束反力外，如再假想地加上惯性力，则这些力在形式上将组成一平衡力系。 8 该方程对动力学问题来说只

3、是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。 9 例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。a 10 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 ) ( maQamQ 0cossin , 0 QmgX tgga 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。这就是摆式加速计的原理。a a a 解：由动静法, 有 解得 11 14-2 质点系的动静法 对整个质点系，主动力系、约束反力系

4、、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为： 0)()()( 0 iOiOiO iii QmNmFm QNF设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有 ) ,1,2,. ( 0 niQNF iii 12 注意到 , 将质点系受力按内力、外力划分, 则 0)( , 0 )()( iiOii FmF 0)()( 0)()( iOeiO iei QmFm QF 表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。 dtKdvmdtdaMamQ iiCiii )( dtLdvmmdtdammQm OiiOiiOiO )()()( 1

5、3 对平面任意力系： 0)()( 0 0)()( )( iOeiO iyei ixei QmFm QY QX对于空间任意力系：0)()( , 0 0)()( , 0 0)()( , 0 )()( )()( )()( izeizizei iyeiyiyei ixeixixei QmFmQZ QmFmQY QmFmQX 实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。 用动静法求解动力学问题时， 14 14-3 刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。QRQOM )( 与简化中心有关与简化

6、中心无关 QmM aMamQR OQO CQ 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 15 一、刚体作平动向质心C简化：CQ aMR 0)()( CiiCiiiCQC armamrQmM cQ aMR 刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。翻页请看动画 16 17空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化： 二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。Oiii amQ 直线 i : 平动， 过Mi点， 18 主矩：CQ aMR )( 0 )()( 2反向负号表示与 Oii ii

7、i niOiOQO Irm rmr QmQmM 主矢： 19 向O点简化：CQ aMR OQO IM 向质点C点简化： CQ aMR CQC IM作用在C点作用在O点 20 讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。2meRQ 21 讨论：转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）CQ IM 22 讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则0 , 0 QCQ MR（主矢、主矩均为零） 23 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动： 作用于质心CQ aMR CQC IM C

8、Q aMR CQC IM 三、刚体作平面运动 24 25 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：0)( , 0)( 0 , 0 0 , 0 )()( )( QCeCC Qye Qxe MFmFm RYY RXX实质上： )( , , )(22)(22)(22 eCCeCeC FmdtdIYdtydMXdtxdM 26 例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 选杆AB为研究对象 虚加惯性力系： 2 mlRQ 3 , 0 2 mlIMmaR AQAnnQ 解：根据动静法，有 27 (3) 02/cos , 0

9、)( (2) 0sin , 0 (1) 0cos , 0 0 00 QAA nQnAn QA MlmgFm RmgRF RmgRF 。得代入得由得由 cos4 :(1) ; cos23 :)3( ; sin :)2( 00 0 mgRlgmgR AnA 28 cos2331 cos2 2 lgmllmg 0 , cos23g , , 此时时000 lt用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：解：选AB为研究对象2cos lmgIA 由得：由质心运动定理：nAn A Rmgma glamgRma 0 00sin0 cos432 cos 00 cos4 , sin mgRmgR AnA 29 例2

10、牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。TS、 取轮为研究对象 虚加惯性力系： 2mIM mRmaR CQC CQ 解：O 30 (3) 0 , 0)( (2) 0 , 0 (1) 0 , 0 QCC Q MFRMFm SPNY RTFX由(1)得TFmRRQ 得代入所以(3) mRTF O由动静法，得：(4) )()( 222 2 RTRRFTFRFRM mRTFmFRMFRM QC 3

11、1 由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必须 Ff N =f (P+S) (5) RTRRSPfM 22 )( 可见，f 越大越不易滑动。 Mmax的值为上式右端的值。把(5)代入(4)得：O 32 14-4 刚体定轴转动时轴承动反力的概念 一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩R QR OMQOM )()()( )( kQmjQmiQm kMjMiM QmQrM aMR iziyix QzQyQx iOiiQO CQ 33 iiiiiiii iiiiiniii ixnixixQx RzmRzm

12、 amzamz QmQmQmM cossin cossin )()()( 2 ziiiiiizQz yzzxQy IRmRamQmM IIM 22 )( 同理可得 )()( /co /sin 2 iiiiiiQx iiiiii zymxzmM RxsRy 故而2 , yzzxQx iiiyziiizx IIM zymIxzmI 惯性积令 34 根据动静法：. 0 ,0 ,0 , 0 , 0 , 0 Qzz BAQyy ABQxx zB QyyBA QxxBA MM OBXOAXMM OAYOBYMM RZ RRYY RRXX其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l 1, OB=l

13、2 可得 35 /)()( /)()( /)()( /)()( 11 11 22 22xB QxQyxyB QyQxyxB QyQxyxA QxQyxyA RZ llRMlRMX llRMlRMY llRMlRMY llRMlRMX 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。 使附加动反力为零，须有静反力附加动反力动反力 36 0 QyQx MM 0 QyQx RR当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。002 2 yzzx yzzx II II )0( 0 422 2 yzzxxz III

14、00CyCxMaMa 0 CC yx对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心 37 静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：转动为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念 38 例1 质量不计的刚性轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a) 39 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。 GrrgGmrGrrRMb GrmrGrMa QQQ 22222 121

15、 21 , 0 :)( 21 , 0 :)( 对对21 21 , 例2 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a) 绳子上加力G (b) 绳子上挂一重G的物体OO 40 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用 41 选取研究对象。原则与静力学相同。 受力

16、分析。画出全部主动力和外约束反力。 运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。 42 列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。 注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。QOQ MR , OQOCQ IMmaR , 43 例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转

17、动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象解：方法1 用达朗伯原理求解 44 虚加惯性力和惯性力偶： IIMamRamR OQOQQ , , 222111由动静法：00 , 0)( 2221112211 22112211 Iramramgrmgrm MrRrRgrmgrm Fm QOQQO列补充方程： 代入上式得： 2211 , rara gIrmrm rmrm 222211 2211 45 方法2 用动量矩定理求解 2211)( 222211 222111 )( grmgrmM Irmrm IrvmrvmL eOO gIrmrm rmrm 222211 221

18、1 根据动量矩定理：2211222211 )( grmgrmIrmrmdtd 取系统为研究对象 46)(2 212121 2222112 2222211 Irmrm IvmvmT 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 )gdr-mr(m dgrmdgrm gdsmgdsmWF 2211 2211 2211 元功 方法3 用动能定理求解 47gIrmrm rmrm 222211 2211 gdrmrmIrmrmd WdT F )()(2 22112222112 得由两边除以dt，并求导数，得 48 例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P和Q，半径均为R，绳子不可

19、伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？ 49 解：方法1 用达朗伯原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶OOOQ RgQIM 221列出动静方程：(3) 0 sin0 (2) 0cos0 (1) 0 , 0)( TQ , YY T , XX MMTRFm O O QO AAQ RgPagPR 2QA 21M , 取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。QR 50 列出动静方程：(5) 0sin , 0 (4) 0sin , 0)( PFRT

20、X MRTRRRPFm Q QAQC运动学关系： ，OAOAA RRa 将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得： 。 )3( )sin3( , )3( )sin(2 2RPQ QRMPT gRPQ RPMO 51 代入(2)、(3)、(5)式，得：。 )3( )sin( , sin)3( )sin3( , cos)3( )sin3( RPQ PRMP F QRPQ QRMPY RPQ QRMPXOO 52 方法2 用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。 取系统为研究对象 )sin( sinPRM PRMWF )( AO RRv 222222221 )

21、3(4 22121221 )( RPQgRgPvgPRgQT CT OAO 常量 53 )sin()3(4 , 22 12 PRMCRPQg WTTO F 得由gRPQ PRM O 2)3( )sin(2 两边对t求导数： )sin(2)3(41 2 OOO PRMRPQg 54 (2) 用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程） 取轮O为研究对象，由动量矩定理得TRMRgQ O 22 RPQ QRMPT )3( )sin3( 55 (3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理： sin0 , cos0 , TQYYMa TXXMa OCy OCx QRPQ

22、QRMPY RPQ QRMPX OO sin)3( )sin3( , cos)3( )sin3( 56 (4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程)( OAAA FRI RPQ PRMPgRPQ PRMRgPRRIF AA )3( )sin()3( )sin(221 22 方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。T OX OY F 57 例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA=S时平板在O点的约束反力。板的重力略去不

23、计。解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则v C = R , 动能为：P 58 22222 4322121 CC vgPRgPvgPT 主动力的功： sinPSWF由动能定理 得 FWTT 12 sin34 sin043 22 gSvPSvgP CC对 t 求导数，则： sin32 , sin32 RggaC (2) 用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQCQR P 59 sin3sin3221 , sin322 PRRgRgPM PagPR QC CQ 0sincossin32sin

24、3 , 0)( 0sinsin32 , 0 0cossin32 , 0 RPPSRPRPMFm ,PP YY , P XX OO OO 列出动静方程：SP MO cos 2sin3P XO )sin321 2P( YO 60 例4 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解：用达朗伯原理求解 绕线轮作平面运动 （纯滚动）) ( , RaaRIMagPR OOOQOOQ 由达朗伯原理，得0cos , 0)( RTTrRRMFm QQOC 将RQ 、MQO代入上式，可得2 )cos( Rg

25、PI rRTRa OO 61 0cos , 0 QRFTX 22 )cos()cos(cos cos RgPI RrgPITRgPI rRTRgPT RTF OOOQ sin 0sin , 0 TPN TPNY 纯滚动的条件： F f N )sin()cos( 2 TPfRgPI RrgPIT OO )(sin( )cos( 2RgPITP RrgPITf OO 62 1. 物体系统由质量均为m的两物块A和B组成，放在光滑水平面上，物体A上作用一水平力F，试用动静法说明A物体对B物体作用力大小是否等于F ？思考题：解：FNN FmaFN NRF Q 0 63cos2 212221 aaaamRQ cossintg 21 21 aa a 解： 2. 质量为M的三棱柱体A 以加速度 向右移动，质量为m的滑块B以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B的惯性力的大小和方向如何？1a2a 64 3. 匀质轮重为P，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为 ，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。解： grPIMrgPagPR grPIL rgPrgPrgPT rgPvgPK rgPI CQCCQ CC CC 2 , 2 43212121 )(2 22 2222222 65