《模拟滤波器》PPT课件

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1、第 二 节 模 拟 滤 波 器 的 设 计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如： 1) 巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2) 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3) 椭圆(Ellipse)滤波器 4) 贝塞尔(Bessel)滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率， p是通带(0p)中的最大衰减系数 s是阻带s的最小衰减系数dBeH20dBeH eH20 pp0 jaja jap )(lg)( )

2、(lg dBeH20dBeH eH20 ss0 jaja jas )(lg)( )(lg c称为3dB截止频率：707022jH ca .)( dB3jH20 ca )(lg 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标p和s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有： jsaa aa2a sHsH jHjHjH )()( )()()( * 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2 用下式表示：N ca jH 22 1 1)( N越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。 (2)幅度平方函数极点分

3、布及Ha(s)的构成将幅度平方函数|H a(j)|2写成s的函数：21( ) ( ) 1 ( )a a NcH s H s sj 上式表明，极点sk用下式表示： 1 1 2 1( )2 2 2( 1) ( ) kjN Nk c cs j e 为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为1 0( ) ( )Nca N kkH s s s 设N=3，极点有6个，它们分别为2301 232 1 334 135 jc c jc jcc jcs ess es ess e 取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成H

4、a(s)：)()()( 32323 jcjcc ca esesssH (3) 频率归一化 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的H a(s)表示为 1 0 1( ) ( )a N kk c cH s s s 式中，s/c=j/c。 令=/c，称为归一化频率；令 p = j= j/c ， p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为1 0 1( ) ( )a N kkH p p p 式中，pk为归一化极点，用下式表示：1 2 1( )2 2 , 0,1, , 1kj Nkp e k N 带入Ha(p)表达式，得到的Ha(

5、p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： NNNa ppbpbbpH 1110 1)( 归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 (4)阶数N的确定 阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将=p代入幅度平方函数中: 2)(lg10)(lg20 pp japjap eHeH Ncppa jH 22 1 1)( 102 101 pNcp 将=s代入幅度平方函数中: 2)(lg10)(lg20 ss jasjas eHeH Ncssa jH 22 1 1)( 102 101 sNcs 102 101 pNcp

6、102 101 sNcs 110 110 1010 spNsp ,pssp 令：110 1101010 spspk spspkN lglg用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。 关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：102 101 pNcp 102 101 sNcs Npc p 2110 )110( Nsc s 2110 )110( 通常是用一个算出c，然后用另一个(反过来)来检验。 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1) 根据技术指标p,p,s, s，求出滤波器的阶数N。(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。 (

7、3) 将H a(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。1 2 1( )2 2 , 0,1, , 1kj Nkp e k N NNNa ppbpbbpH 1110 1)( spspkN lglg cspaa pHsH )()( 例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解： (1) 确定阶数N：0.1 0.110 1 0.024210 12 2.42lg0.0242 4.25, 5lg2.4psasp assp pk ffN N (2) 求

8、极点：3 45 50 1 652 37 54 ,j jjjjs e s es e s es e 归一化传输函数为4 0 1( ) ( )a kkH p p p 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.0000 5 4 3 24 3 2 1 01( )aH p p b p b p b p b p b 其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB

9、截止频率c。)/(2755.52)110( 2110 sradkNpc p 将p=s/ c代入Ha(p)中得到：55 4 2 3 3 2 4 54 3 2( ) 1 0ca c c c c cH s s b s b s b s b s b )/(525.102)110( 2110 sradkNcs s 检验： 可以看出，满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。 4、模拟滤波器的频率变换 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计(1) 低通到高通的频率变换和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)则用下式转换： 1 1)(

10、)( jGjH 1 1)()( jGjH 模拟高通滤波器的设计步骤如下：A、确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p， 阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰 减s。B、确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器 的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项 设计指标为：低通滤波器通带截止频率 p=1/p；低通滤波器阻带截止频率s=1/s；通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。 C、设计归一化低通滤波器G(p)。D、求模拟高通的H(s)。将G(p) 先转换成归一化高通H(q)，再去归一化，得H(s)： sp cpGsH )()( cspaa pHsH )()(回忆低通滤波器的去归一化： 例

11、： 设计高通滤波器，fp=200Hz、fs=100Hz，幅度特性单调下 降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。解： 高通技术要求fp=200Hz p=3dBfs=100Hz, s=15dB归一化频率5.0,1 csscpp ffff 低通技术要求：dBdB sp ssp 153 211 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故0.10.1 3 2 10 1 0.1810 12lg 2.47, 3lg 1( ) 2 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p p 求模拟高通H(s)： 33 2 2 3( ) ( ) 2 22 cp c c csc p s

12、H s G p s s sf (2) 低通到带通的频率变换低通与带通滤波器的幅度特性如图： 。限频率和通带下限频率为带通滤波器的通带上和lu lu0 luB 为通带中心频率，有：为通带带宽，令：20阻带下限频率。为下阻带上限频率和上和s2s 1 ul uull s2ss1s BB BB 20 21，令：由与的对应关系，得到： 202 由上表知p对应u，代入上式中，有1 202 B luluuup 上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式：jp 202 jp 202 将q=j代入上式，得到：qqj jjjp 202202

13、22202 )(22202022 lu ulsssBBsBsBsp 为去归一化，将q=s/B代入 ，得到：qqp 202 )(2)()( lu ulssppGsH 因此有： 模拟带通的设计步骤A、 确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率u，带通下限频率l下阻带上限频率s1 ,上阻带下限频率s2 通带中心频率02=lu，通带宽度B=u-l与以上边界频率对应的归一化边界频率如下： 1 21 220, ,s s ls s luu l uB B BB B、 确定归一化低通技术要求：2 2 2 22 0 1 02 11, ,s sp s ss s s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，

14、这样保证在较大的s处更能满足要求。通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。C、设计归一化低通G (p)。D、 将G (p)转换成带通H (s)。 例：设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中 心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB， 阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最 小衰减s=15dB。解 ：(1) 模拟带通的技术要求0=21000rad/s, p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s, s=15dB B = 2200rad/s;0= 0 /B = 5,s1= s1 /B = 4.15, s2 = s2

15、/B = 6 (2) 模拟归一化低通技术要求：874.1,833.1,1 1 20212 2022 ssssssp 取s=1.833, p=3dB, s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器G (p)： 0.10.110 1 0.1810 11.833lg 2.83lg pssp ssp p sp spk kN 取N=3，查表得： 23 2( ) 1( ) 2 2 1( ) ( ) l uu lsp s G p p p pH s G p (4) 求模拟带通H (s)：)( 2)()( lu ulssppGsH 16040222040 332042205633 2)23( )4()23(2)

16、( BssB sBBsBBssBssH (3) 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图 l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率， s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率， 0为阻带中心频率，02=ul， 阻带带宽B=u-l，B作为归一化参考频率。 相应的归一化边界频率为：u=u/B, l=l/B,s1=s1/B, s2=s2/B; 02=ul 根据与的对应关系，可得到： 且u -l=1，p=1，上式称为低通到带阻的频率变换公式。将上式代入p=j，并去归一化，可得：上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。202 ul lusss sBp 220 )( ul lusss

17、 sBppGsH 2202 )()()( 设计带阻滤波器的步骤A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：下通带截止频率l，上通带截止频率u阻带下限频率s1，阻带上限频率s2阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l它们相应的归一化边界频率为 l=l/B, u=u/B, s1=s1/B, s2=s2/B, 20=ul以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。 B、 确定归一化模拟低通技术要求，1 22 2 2 21 0 2 01, ,s sp s ss s 取s和-s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。C、设计归一化模拟低通G (p)D、将G (p)转换成带阻滤波器H (s) ul luss

18、s sBppGsH 2202 )()()( 例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解: (1) 模拟带阻滤波器的技术要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 02=lu=421000025, B=u-l=2200; l=l/B=4.525, u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9, s2=5.1;20=lu=25(2) 归一化低通的技术要求：95.4,05.5,1 2021 12022 2 s sss ssp dBdB sps 25395.4 ，取： (3)设计归一化低通滤波器G (p)：0.10.1 2 10 1 0.056210 14.95lg 1.8, 2lg 1( ) 2 1pssp ssp p spspk kN NG p p p (4) 带阻滤波器的H (s)为： 4020220224 402204 2)2(2 2)()( 202 sBsBBss sspGsH s sBp