《Kalman滤波原理及程序》

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1、Kalman 滤波原理及程序KF/EKF/UKF原理+ 应用实例+MATLAB程序本手册的研究内容主要有 Kalman 滤波，扩展 Kalman 滤波，无迹 Kalman 滤波等，包括理论介绍和MATLAB源程序两部分。本手册所介绍的线性滤波器， 主要是Kalman滤波和a -0滤波，交互多模型Kalman滤波，这些算法的应用领 域主要有温度测量、自由落体， GPS 导航、石油地震勘探、视频图像中的目标检 测和跟踪。EKF 和 UKF 主要在非线性领域有着重要的应用，目标跟踪是最主要的非线 性领域应用之一，除了讲解目标跟踪外，还介绍了通用非线性系统的 EKF 和 UKF 滤波处理问题，相信读者

2、可以通过学习本文通用的非线性系统，能快速掌握 EKF 和 UKF 滤波算法。本文所涉及到的每一个应用实例，都包含原理介绍和程序代码(含详细的中 文注释)。一、四维目标跟踪 Kalman 线性滤波例子在不考虑机动目标自身的动力因素，将匀速直线运动的船舶系统推广到四维，即状态x (k) = L(k) x(k) y (k) y(k)t包含水平方向的位置和速度和纵向的位置和速度。则目标跟踪的系统方程可以用式(3.1)和(3.2)表示，X (k + 1)= X (k) + r u (k)2-4-9)2-4-10)-1T00其中，=0100，r =001T0001Z (k) = HX (k) + v (k

3、)0 .5T 20 一_ 10_TxT0，H =00，X =x00.5T 201y0T00_ y_Tu,v 为零均值的过程噪声和观测噪声。 T 为采样周期。为了便于理解，将状态方程和观测方程具体化：x (k)-1T00 _x (k 一 1)0.5T 20 _x (k)0100x (k 一 1)+T0y (k)001Ty(k - 1)00.5T 2_ y (k) _0001_ y (k - 1) _0Tw (k )2x1x (k)-1 0 0 0 _ y (k) _0 0 10 JZx(k)x (k) y(k) y( k)+ v (k)2x1假定船舶在二维水平面上运动，初始位置为(-100m,2

4、00m),水平运动速度为2m/s,垂直方向的运动速度为20 m/s, GPS接收机的扫描周期为T=1s,观测 噪声的均值为 0，方差为 100。过程噪声越小，目标越接近匀速直线运动，反之，则为曲线运动。仿真得到以下结果：1600140012001000800一真实轨迹 H观测轨迹 滤波轨迹600400-100 -80 -60 -40 -20图 3-1 跟踪轨迹图252015105波后误差滤波前误差7伸 少 i n口口 ；r .I f 亠轧赳10 20 30 40 50 60图 3-2 跟踪误差图20-012000仿真程序% % Kalman 滤波在目标跟踪中的应用实例%function Kal

5、manclc;clear;T=1;%雷达扫描周期，N=80/T; %总的采样次数X=zeros(4,N); % 目标真实位置、速度X(:,1)=-100,2,200,20;% 目标初始位置、速度Z=zeros(2,N); % 传感器对位置的观测Z(:,1)=X(1,1),X(3,1); % 观测初始化 delta_w=1e-2;%如果增大这个参数,目标真实轨迹就是曲线了Q=delta_w*diag(0.5,1,0.5,1) ; % 过程噪声均值R=100*eye(2); %观测噪声均值F=1,T,0,0;0,1,0,0;0,0,1,T;0,0,0,1; % 状态转移矩阵H=1,0,0,0;0,

6、0,1,0;% 观测矩阵二、视频图像目标跟踪 Kalman 滤波算法实例如下图所示，对于自由下落的皮球，要在视频中检测目标，这里主要检测目标中心，即红心皮球的重心，在模型建立时可以将该重心抽象成为一个质点，坐标为(x, y)。图 2-6-1 下落的球那么对该质点跟踪，它的状态为X (k) = Lx y x图 2-6-3 跟踪下落的球y ，状态方程如下1 dt 00-0 _01 dt 00X (k) +0 0 1000 0 0 1_ g _X (k + 1)=w(k)观测方程为在这个过程中，前提是目标检测，一定要找到重心(x, y )，与雷达目标跟踪中 观测目标位置是一回事。图像目标检测跟踪程序

7、% 目标检测函数，这个函数主要完成将目标从背景中提取出来%function detectclear,clc;%清除所有内存变量、图形窗口% 计算背景图片数目Imzero = zeros(240,320,3);for i = 1:5% 将图像文件 i.jpg 的图像像素数据读入矩阵 ImImi = double(imread(DATA/,int2str(i),.jpg);Imzero = Imi+Imzero;endImback = Imzero/5; MR,MC,Dim = size(Imback);% 遍历所有图片for i = 1 : 60% 读取所有帧运行程序得到的x,y方向的位置跟踪偏

8、差分析0 10 20 30 40 50 60200150100050X 方向的位置偏差三、通用非线性系统的 EKF 实现例子所谓的非线性方程，就是因变量与自变量的关系不是线性的，这类方程很多 例如平方关系，对数关系，指数关系，三角函数关系等等。这些方程可分为两类 一类是多项式方程，一种是非多项式方程。为了便于说明非线性卡尔曼滤波 扩展 Kalman 滤波的原理，我们选用以下系统，系统状态为X (k)，它仅包含一维变量，即X (k) = Lx(k)，系统状态方程为2.5X (k 1)zoX (k) = 0.5X (k 1) + 8cos( 1.2k) + w(k)(3-2-1)1 + X 2(k

9、 1)观测方程为Y (k)=血 + v (k)(3-2-2)20 其中，式(3-1-1)是包含分式，平方，三角函数在内的严重非线性的方程， w(k) 为 过程噪声，其均值为0,方差为Q,观测方程中，观测信号y (k)与状态x (k)的 关系也是非线性的，v(k)也是均值为0,方差为R的高斯白噪声。因此关于(3-1-1) 和(3-2-2)是一个状态和观测都为非线性的一维系统。以此为通用的非线性方程的 代表，接下来讲述如何用扩展 Kalman 滤波来处理噪声问题。第一步：初始化初始状态X (0)，Y(0)，协防差矩阵P。0第二步：状态预测(3-2-3)2.5X(k 1)X (k I k 1) =

10、0.5X (k 1) + 8cos( 1.2k)1 + X 2(k 1)第三步：观测预测(3-2-4)X 2(k |k 1)Y (k I k 1)=20(3-2-10)第九步：协方差更新P(k) = (I K(k)H(k)P(k Ik 1) n以上九步为扩展卡尔曼滤波的一个计算周期，如此循环下去就是各个时刻EKF 对非线性系统的处理过程。其他参数设置请查看源程序，仿真以上系统得到状态滤波结果，如图3-2-1 所示，滤波后的状态与真值之间的偏差如图图 3-2-2所示。151050-5-100 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50图 3-2-1 EKF 滤波处理后的状态与真值对

11、比 图 3-2-2 偏差分析EKF 一维非线性系统仿真程序% % 函数功能：一维非线性系统扩展 Kalman 滤波问题% 状态函数：X(k+l)=0.5X(k)+2.5X(k)/(l+X(k)A2)+8cos(1.2k) +w(k)% 观测方程：Z (k) =X(k)A2/20 +v(k)% %function EKF_for_One_Div_UnLine_System% 初始化T=50;% 总时间Q=10;R=1;% 产生过程噪声 w=sqrt(Q)*randn(1,T);% 产生观测噪声v=sqrt(R)*randn(1,T);四、EKF在纯方位寻的导弹制导中的应用例子：考虑一个在三维平面

12、x-y-z内运动的质点M,其在某一时刻k的位置、速度 和加速度可用矢量可以表示为：x (k) = C (k)r (k)r (k)v (k) v(k)v(k)a(k)a(k)a(k) -Txyzxyzxyz质点M可以在三维空间内做任何运动，同时假设三个x-y-z方向上运动具有加性 系统噪声w(k)，则在笛卡尔坐标系下该质点的运动状态方程为：X (k + 1) = fk (x (k), w (k)通常情况下，上述方程为线性的，即能表示为以下方式，x (k + 1) = x (k) + r u (k) + w (k)其中I A tl33(e-XAt + 九At 一 1)I 九2 = 0I330033

13、1(1 - e-XAt)I 九3e -入A113- (At2 / 2)I3- A tI303At为测量周期，也叫扫描周期，采样时间间隔等。动态噪声w(k)为00(k)(k)xy而且E w (k) = q = 0，19 x1E C(k)wT (k)L Q06 x 3b 2 I3目标arctanr (k)xr (k)zw(k) 是高斯型白色随机向量序列。现在考虑一个带有观测器的飞行中的导弹，可以假设为质点M，对移动的 目标进行观测，如下图所示，导弹与目标的相对位置依然可用x-y-z表示，7那么，导弹对目标纯方位角观测，主要是俯仰角和水平方向偏向角，实际测 量中雷达具有加性测量噪声v(k)，则在笛卡

14、尔坐标系下，观测方程为z (k) = h x (k)+ v (k) 式中，r (k)arctan . yr2 (k) + r2 (k)xzv(k)为测量噪声，他也是高斯型白色随机向量序列，而且E tv (k) = r = 0，12x1E L(k)vT (k)L r1对于 R ，其定义为1R (k) = D -1( k) xD - t (k)1其中，0.1I20Ir2 (k) + r2 (k) + r2 (k)xyz0500 -1000位置误差轨迹跟踪图速度误差0 50 100 150 200 250 300 350 400加速度误差显然在笛卡尔坐标系下，该模型运动观测方程为非线性的。仿真结果为

15、：寻的制导 matlab 仿真程序% % 程序说明：目标跟踪程序，实现运动弹头对运动物体的三维跟踪，主函数% 状态方程： x(t)=Ax(t-1)+Bu(t-1)+w(t )% 参考资料：寻的导弹新型导引第 5.5 和 5.6 节中仿真参数设置 % %function main%delta_t=0.01; % 测量周期,采样周期longa=1; % 机动时间常数的倒数，即机动频率T=3.7/delta_t;%时间长度3.7秒钟，一共采样T=370次F=eye(3),delta_t*eye(3),(exp(-l*longa*delta_t)+longa*delta_t-l)/longaA2*ey

16、e(3); zeros(3),eye(3),(1-exp(-1*longa*delta_t)/longa*eye(3);zeros(3),zeros(3),exp(-l*longa*delta_t)*eye(3); % 状态转移矩阵 faiG=-1*0.5*delta_tA2*eye(3);-1*delta_t*eye(3);zeros(3); % 控制量驱动矩阵 gama五、UKF在六维CA目标跟踪模型中的应用例子：一、仿真问题描述考虑一个在二维平面x-y内运动的质点M，其在某一时刻k的位置、速度和 加速度可用矢量x(k) = x ,y ,x ,y ,x- ,y t表示。假设M在水平方向(x

17、)作近似 k k k k k k匀加速直线运动，垂直方向(y)上亦作近似匀加速直线运动。两方向上运动具 有加性系统噪声w(k)，则在笛卡尔坐标系下该质点的运动状态方程为x (k + 1) = f (x (k) + w (k) = F x (k) + w (k)kk其中10t0t20010假设一坐标位置为(0,0)的雷达对M进行测距r和测角申，实际测量中雷kkz (k) = h (x (k) + v (k)=kr + v (k)kr申 + v (k)k甲达具有加性测量噪声 v(k) ，则在传感器极坐标系下，观测方程为ytan -1 k + v (k)x wk显然在笛卡尔坐标系下，该模型运动观测方

18、程为非线性的。我们根据雷达测 量值使用UKF算法对目标进行跟踪，并与EKF算法结果进行比较。假设设系统噪声w (k)具有协方差阵Qk =520协方差阵R =，二者不相关。k L 00.012状态 x (0) = 1000, 5000,10, 50, 2, - 4卩。100000010000000.12000，v(k)具有0000.120000000.0120000000.012N=50，采样时间为t=0.5。初始动轨迹如图 1 所示。535053005250520051505050 ：50(1000 1100 120013001400实际值-测量值ukf估计值15001600170018001

19、900三、实验仿真与结果分析轨迹跟踪图跟踪位置偏差109876543210051015202530354045504.3.2 仿真程序% % 功能说明： UKF 在目标跟踪中的应用% 参数说明：状态6维，x方向的位置、速度、加速度；y方向的位置、速度、加速度; %观测信息为距离和角度；%function ukf_for_track_6_div_system%n=6;% 状态位数t=0.5; % 采样时间Q=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 0.01 0 0 0;0 0 0 0.01 0 0;0 0 0 0 0.0001 0;0 0 0 0 0 0.0001;%过程噪声协方

20、差阵R = 100 0;0 0.001人2;%量测噪声协方差阵% 状态方程目录第一章 Kalman 滤波概述 11.1 kalman 滤波的背景 11.2 kalman 滤波的发展过程 31.3 kalman 滤波应用领域 5 第二章 线性卡尔曼滤波62.1 Kalman 滤波原理 62.1.1 射影定理 62.1.2 Kalman 滤波原理推导 82.1.3 Kalman 滤波过程描述 102.2 Kalman滤波在温度测量中的应用122.2.1 原理介绍 122.2.1 matlab 仿真程序 132.3 Kalman滤波在自由落体中的应用142.3.1 原理介绍 142.3.2 Matl

21、ab 仿真程序 192.3.3 C 语言程序 20222.4 Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用2.4.1 原理介绍 222.4.2 matlab 仿真程序 252.5 Kalman滤波在石油地震勘探中的应用262.5.1 石油地震勘探白噪声反卷积滤波原理 262.5.2 石油地震勘探白噪声反卷积滤波仿真程序 282.6 Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用312.6.1 视频图像处理的基本方法及程序 312.6.2 Kalman滤波对自由下落的皮球跟踪应用332.6.3 目标检测程序 332.6.4 Kalman滤波视频跟踪程序35第三章 扩展卡尔曼滤波 EKF 373.

22、1扩展Kalman滤波原理373.2 扩展卡尔曼在一维非线性系统中的应用 383.2.1 状态方程和观测方程都为非线性的通用系统 383.2.2 EKF 一维非线性系统仿真程序 403.3 扩展卡尔曼在二维非线性系统中的应用 413.3.1 状态方程和观测方程都为非线性的通用二维系统 413.3.2 EKF 二维非线性系统仿真程序 433.4 扩展卡尔曼在二维目标跟踪中的应用 443.4.1 基于观测距离的 EKF 目标跟踪算法443.4.2 跟踪算法 matlab 程序 443.4.3 基于纯方位的 EKF 目标跟踪算法 463.4.4纯方位目标跟踪算法matlab程序 473.5 EKF在

23、纯方位寻的导弹制导中的应用483.5.1 三维寻的制导系统 483.5.2寻的制导matlab仿真程序52第四章 无迹卡尔曼滤波 UKF 554.1无迹Kalman滤波原理554.1.1 UT 变换 554.1.2 无迹卡尔曼原理 564.2 UKF在单站二维目标跟踪中的应用 574.2.1 原理介绍574.2.2 仿真程序574.3 UKF在六维CA目标跟踪模型中的应用 604.3.1 原理介绍604.3.2 仿真程序62第五章 交互多模型卡尔曼滤波 655.1交互多模型Kalman滤波（IMM）655.1.1 交互多模原理 655.1.2 仿真方法 665.2交互多模型Kalman滤波在目标跟踪中应用705.2.1 仿真分析 705.2.2 IMM仿真程序 71第六章 自校正a -B跟踪滤波器766.1自校正a -B跟踪滤波器766.2自校正a -B跟踪滤波器在雷达跟踪系统中的应用786.2.1 跟踪系统介绍 786.2.2自校正a -B跟踪滤波器仿真程序806.2.3 Gevers-Wouters 算法仿真程序 816.2.4 递推增广最小二乘自校正算法程序 826.3含未知模型参数的自校正a -B跟踪滤波器 836.3.1 原理介绍836.3.2 仿真程序85本书的网址链接：