《概率论与数理统计(王明慈第二版)第2章随机变量及其分布9节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(王明慈第二版)第2章随机变量及其分布9节（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、2021-5-6 1 第 九 节 随 机 变 量 函 数 的 分 布X -1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.41.0)1()0( XPYP 7.04.03.0)2()0()1( XPXPYP一 、 一 维 随 机 变 量 函 数 的 分 布求 Y=(X-1)2的 概 率 分 布例 1 设 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 如 下 ，解 ： Y的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,4 2.0)1()4( XPYP 2021-5-6 2 例 2. 设 随 机 变 量 X有 概 率 密 度 其 他,0 40,8)( xxxfX )(),( yFxF YX)()( yYPyF Y
2、解：分别记X，Y的分布函数为求随机变量Y=2X+8的概率密度。)82( yXP )28( yXP )28( yFX的 概 率 密 度 为求 导 数 ， 得关 于将 Y)( yyFY )28)(28()()( yyfyFyf XYY 其 他，,0 428021)28(81 yy 其 他，,0 168328 yy 2021-5-6 3 例 3. 设 随 机 变 量 X在 区 间 -1,2上 服 从 均 匀 分 布 ，时 ， 有当 10)1( y )()( yYPyF Y )( 2 yXP 解: 当X在 区 间 -1,2上 取 值 时 ,Y在 0,1或 1,4取 值求随机变量Y=X2的概率密度。)(
3、 yXyP dxyy 31由于y=x2不是单调的，y32时 ， 有当 41)2( y )()( yYPyFY )( 2 yXP dxdx yy 1 311 0 )1(31 y )( yXyP )1( XyP )1( yXP 2021-5-6 4 例 3. 设 随 机 变 量 X在 区 间 -1,2上 服 从 均 匀 分 布 ， 4,1 41),1(31 10,32 0,0)( y yy yy yyFY求随机变量Y=X2的概率密度。解: 所以Y的分布函数为上式对y求导数，得Y的概率密度为 其 他,0 41,61 10,31)( yy yyyfY 2021-5-6 51）3） 在 实 际 问 题
4、中 ， 常 常 会 遇 到 需 要 求 随 机 变 量 函数 的 分 布 问 题 。 例 如 ： 在 下 列 系 统 中 ， 每 个 元 件 的寿 命 分 别 为 随 机 变 量 X,Y ， 它 们 相 互 独 立 同 分 布 。我 们 想 知 道 系 统 寿 命 Z 的 分 布 。 ),min( YXZ ),max( YXZ YXZ 这 就 是 求 随 机 变 量 函 数 的 分 布 问 题 。2）二 、 多 维 随 机 变 量 函 数 的 分 布 2021-5-6 6解 题 步 骤 ： ，的 分 布 函 数先 求 随 机 变 量 函 数 zFYXgZ Z, zFzf YXgZ ZZ 的 密
5、 度 函 数再 求 随 机 变 量 函 数 , 1.一 般 情 形 问 题 已 知 二 维 随 机 变 量 （ X,Y） 的 联 合 密 度 为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是 二 元 连 续 函 数 ， 欲 求 随 机 变 量 Z=g (X,Y)的 概 率 密 度 。 2021-5-6 7 2. 和 的 分 布例 3 的 联 合 概 率 分 布 为设 二 维 离 散 型 随 机 变 量 YX,的 联 合 概 率 分 布 试 求 随 机 变 量 YXZ 1） 离 散 型 随 机 变 量 和 的 分 布 2021-5-6 8 解 ： 的 取 值 为YXZ ,的 取 值 知与
6、由 于 YX 1ZP 01 YXP ， ；41 2ZP 0211 YXPYXP ，810 3ZP 12 YXP ， .3,2,1；81 ；85 的 分 布 律 为由 此 得 YXZ Z 1 2 3 P 41 81 85 2021-5-6 9 例 4 联 合 概 率 分 布 分 布 ， 试 求 随 机 变 量的与参 数 为 相 互 独 立 ， 且 分 别 服 从与设 随 机 变 量YXZ YX Poisson21 解 ： ，的 取 值 都 是与由 随 机 变 量 210YX ，的 取 值 也 是可 知 随 机 变 量 210YXZ nZP nYXP nk knYkXP 0 ， nk knYkXP
7、0 ， nk knYPkXP0 2021-5-6 10 nk knk eknek0 21 21 ! nk knkknke 0 21! 121 nk knkknk nne 0 21! ! 21 nk knkknCne 0 21! 21 nne 21! 21 分 布 的服 从 参 数 为 Poisson21 YXZ 分 布 ， 则的与 参 数 为相 互 独 立 ， 且 分 别 服 从与若 随 机 变 量 Poisson21 YX 2021-5-6 11 2） 连 续 型 随 机 变 量 和 的 分 布 ，为 其 联 合 密 度 函 数是 二 维 连 续 型 随 机 变 量设 yxf YX, , 的
8、 密 度 函 数下 面 计 算 zfYXZ Z 的 分 布 函 数首 先 计 算 随 机 变 量 zFYXZ Z zZPzFZ zYXP zyx dxdyyxf ， xyOx + y = z xz dyyxfdx ， 2021-5-6 12 ,xuy 作 变 换 ： 则 有 zZ duxuxfdxzF ， dxxuxfduz ， xzz dyyxfdxzF ，)(的 密 度 函 数 为导 ， 可 得 求之 间 的 关 系 ， 上 式 对由 分 布 函 数 与 密 度 函 数YXZ z zFzf ZZ dxxzxf ， 2021-5-6 13 由 于 X , Y 的 对 称 性 可 得 dyyy
9、zfzfZ ， 相 互 独 立 ， 则 有与特 别 地 ， 如 果 随 机 变 量 YX .yfxfyxf YX，此 时 ， 我 们 有 dxxzfxfzf YXZ或 者 dyyfyzfzf YXZ 2021-5-6 14 的 卷 积 ， 记 作与我 们 称 上 式 为 函 数 yfxf YX yfxf YX * ：因 此 ， 我 们 有 以 下 结 论卷 积 ： 密 度 函 数 的与的 密 度 函 数 等 于相 互 独 立 ， 则 它 们 的 和与如 果 随 机 变 量 YXYXZ YX yfxfzf YXZ * dxxzfxfzf YXZ dyyfyzfzf YXZ dxxzfxfzf Y
10、XZ dyyfyzf YX 2021-5-6 15 例 5. 设 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立 ， 概 率 密 度 分 别 是;0,0 0,)(;0,0 0,)( yyeyfxxexf yYxX解: Z的分布函数为求Z=X+Y的概率密度。 zZPzF Z zYXP zyx dxdyyxf ， zyx YX dxdyyfxf )()(0)(0 zFz Z时 ， 有当 2021-5-6 16 zZPzFZ zyx YX dxdyyfxf )()( z xz yx dxdyee0 0 )( zyx yxZ dxdyeezFz )(0时 ， 有当 z zxz xzx dxeedxee 00
11、)( )()1( zz zee 1 Z的 分 布 函 数 0,0 0,1)( zzzeezF zzZ 0,0 0,)( zzzezfZ zZ的 概 率 密 度 xyOx + y = z 2021-5-6 17 为是 相 互 独 立 ， 分 布 函 数设 随 机 变 量 yFxFYX YX , 的 分 布 函 数 与试 求 ),min(),max( YXYX3.极 值 分 布 zYXPzF ),max(max , zYzXP zYPzXP zFzF YX解 ： 2021-5-6 18 为是 相 互 独 立 ， 分 布 函 数设 随 机 变 量 yFxFYX YX , 的 分 布 函 数 与试 求
12、 ),min(),max( YXYX zYXPzF ),min(min zYXP ),min(1 zYPzXP 1 )(1)(11 zYPzXP 解 ： )(1)(11 zFzF YX 2021-5-6 19 令 ：的 分 布 函 数 为 是 独 立 的 随 机 变 量 ，设推 广 ： xFX XXX ii n21 11 111 zFzFX ini 的 分 布 函 数 同 分 布是 相 互 独 立 ， 且 服 从 相，若特 别 地 nXXX , 21 ， ， nn nXXXX XXXX 21 211 maxmin zFzFX ininn 1的 分 布 函 数则 则的 分 布 函 数 为设 ),(zFXi ，nn zFzF nzFzF 111 2021-5-6 20 习 题 二 (P65)： 27,30作 业
概率论与数理统计(王明慈第二版)第2章随机变量及其分布9节
