中心力场去第3节及磁矩

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1、第 5章 中 心 力 场班 级 ： 11级 光 电 子 2013年 5月 6日 5.1 中 心 力 场 中 粒 子 运 动 的 一 般性 质 5.2 无 限 深 球 方 势 阱 5.3 三 维 各 向 同 性 谐 振 子 5.4 氢 原 子第 五 章 中 心 力 场 5.1 中 心 力 场 中 粒 子 运 动 的 一 般 性 质（ 1） 引 力 场 中 的 运 动 （ 2） 库 仑 场 中 的 运 动 (经 典 理 解 ) 如 Kepler运 动 ： 地 球 同 步 卫 星 如 原 子 体 系 ： 电 子 的 运 动 01 drrdVrrr rVrpp dtpdrpdtrdldtd )( )(

2、 经 典 力 学 中 ， 在 中 心 力 场 V（ r） 中 运 动 的 粒 子 ，角 动 量 为 守 恒 量 。下 面 我 们 看 量 子 力 学 中 的 角 动 量 问 题 。 即 角 动 量 是 守 恒 量 。 因 而 也 是 守 恒 量 。5.1.1角 动 量 守 恒 与 径 向 方 程设 质 量 为 的 粒 子 在 中 心 力 场 中 运 动 ， 则 哈 密 顿 量 算 符 表 示 为 ：)(2)(2 222 rVrVpH 0, HL L 2L (1) 考 虑 到 中 心 力 场 的 特 点 ： 球 对 称 性 ， 选 用 球 坐标 系 是 方 便 的 ，利 用 rx z 球 坐 标

3、r y)(2)(2 222 rVrVpH 22 2 2222 1 ( ) 1 1 1 (sin )sin sinrr r rr 2 2 222 2 22 2 22 2 22 22222 2 22 2 2 22 2 2 1 +2 2 + 1 1 122212 1 +2 (sin ) ( ) sin s) i n (p rr r rr r rrrrr r rLrLrr rrL 22 2 2 21 1 (sin )sin sinL (3) 2 22 22 21 + ( )2 L V Err rr r 故 满 足 的 能 量 本 征 方 程 为 ：左 边 第 一 项 称 为 径 向 动 能 算 符 ，

4、 第 二 项 称 为 离 心 势 能 。22 22 222 222 1 ( ) 1 2r rr r rr r rp rr r ( 1)r r rp i (4) 2 22 2 2 (2 21 )+rr r L V r Er 因 为 0, HL 0, 2 zLL 0, 2 HL, 2 zLLH所 以 构 成 守 恒 量 的 完 全 集 合 。 上 述 Hamitonian量 本 征 方 程 的 解 也 是 和 的 共 同 本 征 态 。 设 该 本 征 态 为 2LzL ),()(),( lml YrRr (5) 2 22 ( 1)( ) ( ) ( ) 0l ll lr E V r rr 代 入

5、 （ 4） 上 述 能 量 本 征 值 方 程 ， 得 径 向 方 程 ，lml llY zlm ,.,2,1,0,.2,1,0 ),(),( 2 的 共 同 本 征 态 。是令 ： ( ) ( )/l lR r r r可 得 ： (7)(8) (6)22 2 2d 2 d 2 ( 1)( ) ( ) ( ( ) ( ) 0d dl l ll lR r R r E V r R rr r r r 不 同 的 中 心 力 场 中 粒 子 的 能 量 本 征 函 数 的 差 别 仅 在 于径 向 波 函 数 ， 他 们 由 中 心 势 V(r)的 性 质 决 定 . 中 心 力 场 能 级 一 般

6、m度 简 并 ， m有 2l+1个 可能 取 值 ， 所 以 简 并 度 一 般 为 （ 2l+1） 。 径 向 量 子 数 nr nr 0， 1， 2， l 0， 1， 2， 3， 4 s， p， d， f， g， h 5.1.2 径 向 波 函 数 在 r0邻 域 的 渐 进 行 为假 定 V(r)满 足 20 ( ) 0 (8)limr r V r 此 条 件 下 ， 当 r0时 ， 方 程 （ 5） 渐 近 地 表 示成 2 22 2d ( )d 2 ( 1)( ) ( ) 0 (9)d dll lR r l lR r R rr r r r 在 正 则 奇 点 r=0邻 域 ， 设 s

7、l rrR )( ,代 入 （ 9） 式 得0)1()1( llss解 得 )1(, lls即 当 r 0时 ， ）（或 1)( lll rrrR (10)(11) 按 照 波 函 数 的 统 计 解 释 ， 在 任 何 体 积 元 中 找 到粒 子 的 概 率 都 应 为 有 限 值当 r 0时 ， 若 1( )l sR r r ， 则 要 求 3/ 2s因 此 ， 当 l1时 ， 1( ) llR r r （ ） 解 必 须 抛 弃 . r 0处 只 有 ( ) llR r r 的 解 才 是 物 理 上 可 以 接 受 的 .0 ( ) 0lim lr r （ 12）等 价 地 ， 要

8、求 径 向 方 程 (7)的 解 ( ) ( )l lr rR r 满 足 5.1.3 两 体 问 题 化 为 单 体 问 题实 际 问 题 中 出 现 的 中 心 力 场 问 题 ， 常 为 二 体 问 题 . 设 二 粒 子 的 质 量 分 别 为 m1和 m2， 相 互 作 用 势 为2(| |)r rV 1二 粒 子 体 系 的 能 量 本 征 方 程 为 2 21 2 2 2 21 2 (| |) ( ) ( )2 2 (16)TV E m m 1 1 1, ,r r r r r r 引 入 质 心 坐 标 R及 相 对 坐 标 r1 1 2 21 21 2m mm m r rRr

9、r r 2 2 2 21 21 21 1 1 1Rm m M 其 中 M = m1+m2 （ 总 质 量 ）1 2 1 2( )mm m m （ 约 化 质 量 ）(17) (19)可 证 明 1x +r1 r2rR 2O yz(18) m1x +r1 r2rR m2O yz将 二 体 问 题 化为 一 体 问 题 令 相 对 坐 标质 心 坐 标21 21 2211 rrr mm rmrmR rR rRmmmmm m 21 22 21 11分 量 式 111 xxxxXXx 21 21 2121 2211 21 2211 21 2211 zzz yyy xxxmm zmzmZ mm ymym

10、Y mm xmxmX ),(),( 21 rRrr xXmm m 21 1 这 样 ， 方 程 （ 16） 化 为2 22 2 ( )2 2R TV r E M (20) 2 2 ( ) ( )2 R cEM R R （ 22）代 入 （ 20） 式 ， 分 离 变 量 后 ， 得( ) ( )R r 令 （ 21）2 2 ( ) ( ) ( )2 V r E r r -描 述 质 心 运 动T CE E E -描 述 相 对 运 动（ 22） 5.2 无 限 深 球 方 势 阱 02 02202 )()()( rrVEdr rd 000 00 )(,)( a 考 虑 质 量 为 的 粒 子

11、在 半 径 为 a的 球 形 匣子 中 运 动 . 边 条 件 为 ： 先 考 虑 s态 （ l 0） ， 径 向 方 程 为 ： ar arrV 0)( a2 2 21 ( ( ) ( ) ( )2 2( 1) ) l ll V r R r ER rrr lrr r .,)( 2101 rr nnka .,)( 2102 12 2220 rrn nanEE r 在 阱 内 ， 有 ： 002202 )()( rkdr rd )( 0 2 EEk 000 00 )(,)( a依 照 边 条 件粒 子 的 能 量 本 征 值 ara rnar rnr 0 120 ,)(sin)( 相 应 的 归

12、 一 化 波 函 数 为 120 drrlna r )( 其 次 考 虑 ， 径 向 方 程 为 ：0l )()()()()( arrRrllkdr rdRrdr rRd lll 0 012 2222 不 作 要 求 ， 有 兴 趣 自 己 看 ！ 考 虑 质 量 为 的 粒 子 在 三 维 各 向 同 性 线 性 谐 振 子 势 V(r)中 运 动 2221)( rrV （ 1）是 刻 画 势 阱 强 度 的 参 量 ， 径 向 方 程 为 2 2 22 2 2d 2 d 2 1 ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) 0 (2)d d 2l l ll lR r R r E r R rr r

13、 r r 采 用 自 然 单 位 ， 令 1 ,方 程 （ 2） 化 为 2 22 ( 1)( ) ( ) 2 ( ) 0 (3)l l ll lR r R r E r R rr r 5.3 三 维 各 向 同 性 谐 振 子 5.4 氢 原 子一 、 氢 原 子 径 向 波 函 数 满 足 的 方 程二 、 径 向 方 程 的 求 解 （ 求 解 能 级 和 波 函 数 ）三 、 讨 论 ： （ 1） 级 简 并 度 （ 2） 径 向 位 置 概 率 分 布 （ 3） 概 率 密 度 随 角 度 的 变 化 （ 4） 类 氢 原 子 选 择 无 穷 远 处 为 零 势 点 ， 其 库 仑 吸

14、 引 势 可 表 为2( ) eV r r （ 1）一 、 氢 原 子 径 向 波 函 数 及 其 满 足 的 方 程 ，0)1()(2dd2dd 22222 lll RrllreErRrrR )0( r径 向 波 函 数 满 足 方 程 （ 2）0)()1()(2)( 222 rrllreEr ll )()( rrRr ll 令 0)0( l边 界 条 件 为 （ 3） r=0， 是 微 分 方 程 的 奇 点 .（ 1） 径 向 方 程 的 解 在 r0的 渐 近 行 为 是1( ) ( ) ,l ll lr rR r r r 因 此 ， 当 r0时 ， 只 能 取1 e 在 自 然 单

15、位 下 ， 即 令 则 方 程 （ 2） 化 为1 e 0)()1(22 2 rrllrEr ll ）（ (4)二 、 径 向 方 程 的 求 解 1( ) ll r r (5) （ 2） 当 r 时 ， 束 缚 态 下 （ E0） 方 程 （ 4） 化 为令 方 程 （ 4） 的 解 表 示 成代 入 （ 4） 得 ( ) 2 ( ) 0, ( 0)l lr E r E (5) 1( ) e ( )l rl r r u r (8) 其 解 ( ) e rl r 但 er不 满 足 束 缚 态 条 件 ， 当 r 时 ， 只 能 取( ) e rl r (7)2 ( 0)E E (6)令 2(

16、 1) 2 2( 1) 1 0ru l r u l u 则 得 2 2d d 12( 1) ( 1) 0d du l u l u 这 正 是 合 流 超 几 何 方 程 ， 见 附 录 A5 22d d 0d du u u 11l 令 2( 1) 2l （ 正 整 数 ） (9)2 r 再 令 (10)(11)(12) 在 0邻 域 ， 有 界 的 解 为 合 流 超 几 何 函 数 nn nn nF !1)( )( !3)2)(1( )2)(1(!2)1( )1(1),( 0 32 )1()2)(1()( n n 其 中可 看 出 时 reeF 2),( 对 于 束 缚 态 ， 必 须 要

17、求 F(, ,)中 断 为 一 个 多 项 式 ，这 要 求 为 0或 负 整 数 ， 即 1( 1 ) , 0,1,2, (15)r rl n n 令 1 1, 2,3 (16)rn n l n ， .则 1/n ， 利 用 式 （ 6） 得2 21 1 (17)2 2E n 添 上 能 量 的 自 然 单 位 ， 即 得 出 氢 原 子 的 能 量 本 征 值4 22 2 22 2 1 1,2,3, (18)2 2/ (Bohr ) (19)n e eE nn a na e 半 径此 即 著 名 的 Bohr氢 原 子 能 级 公 式 ， n为 主 量 子 数 . 径 向 波 函 数 为

18、/2( ) F , 2 2, (20)lnl rR r e n l 其 中 2 2 / .r r na 归 一 化 的 径 向 波 函 数 为 /2 2( ) F 1, 2 2, ,lnl nl rR r N e n l l na 3/2 22 ( )! (21)(2 1)! ( 1)nl n lN a n l n l ！2 20 ( ) 1 rn lR r r dr ( , , ) ( )Y ( , ) (22)nlm nl lmr R r 氢 原 子 的 束 缚 态 能 量 本 征 函 数 为最 低 的 几 条 能 级 的 径 向 波 函 数 是 1212/10 3/220 3/221 3

19、/221, e 12, ( ) (1 )e221( ) e (23)2 6 aar a rrn R a rn R r aa rR r aa 1313 13 230 3/231 3/2 2 32 3/2 2 2 23, 1 ( ) e3 273 38 1 e627 64 e81 30 aa a rrrr rn R a aa r rR a aa rR aa 氢 原 子 的 能 级 分 布 如 下 页 图 5s,5p,5d,5f,5g4s,4p,4d,4f3s,3p,3d 2s,2p 25169 4 1 543-0.54-0.85 Enl/eV-13.6 -3.9-1.51 0 Lyman Balm

20、er Paschen n1 2 fn=n2 nl1s 无 穷 大处 于 基 态 的 电 子 的 能 量 为-13.6eV， 即 氢 原 子 的 离 化 能 为-13.6eV， 随 着 n的 增 加 ， 能 级越 来 越 密 ， 在 E 0领 域 ， 有 无限 多 条 离 散 能 级 密 集 。 当 E 0后 ， 则 过 渡 到 连 续 区 （ 游 离态 ） 。 讨 论 ： 1、 能 级 简 并 度对 于 给 定 能 级 En ,由 （ 16） 式 ， l=n-nr-10, 1, 2, , 11, 2, 3, , 0 (24) rl nn n n n 对 于 给 定 量 子 数 l， 磁 量 子

21、 数 可 以 取 （ 2 l +1）个 可 能 值 , 1, , 1, (25)m l l l l 因 此 ， 属 于 En能 级 的 量 子 态 nlm的 数 目 为1 20 (2 1) (26)nn lf l n 能 级 简 并 度 比 一 般 中 心 力 场 中 能 级 的 简 并 度 高 .一 般 中 心 力 场 中 ， 粒 子 能 级 依 赖 于 两 个 量 子 数 nr和 l，在 Coulomb场 中 ， 能 量 只 依 赖 于 一 个 量 子 数 n n n r+ l+1 2、 径 向 位 置 概 率 分 布 按 照 波 函 数 的 统 计 诠 释 ， 在 态 nlm(r, ,

22、)下 ， 在(r,r+dr)球 壳 中 （ 不 管 方 向 如 何 ） 找 到 电 子 的 概 率 为 2 222 2d ( , , ) ( ) d ( ) d (27)nlm nl nlr r d r R r r r r r 较 低 的 几 条 能 级 上 的 电 子 的 径 向 位 置 概 率 分 布曲 线 如 图 5.4. 2( )nl r 例 如 ： 对 于 基 态 030 /224 221010 )()( ara er rrRrW 0/2040 /2203010 0)(8 )22(4)( 0 0areraa r eraradr rdW ar ar 3、 概 率 密 度 随 角 度 的

23、 变 化 在 态 nlm(r, , )下 ， 在 , )方 向 的 立 体 角 d（ 不 管 径 向 位 置 ） 找 到 电 子 的 概 率 为22Y ( , ) d (cos ) d (28)mlm lP 它 与 角 无 关 ， 即 对 绕 z 轴 旋 转 是 对 称 的 . 角 量 子 数 l 较 低 的 几 个 粒 子 态 的 概 率 密 度 随 角度 的 变 化 如 下 图 所 示 . 例 1. =0, m=0， 有 ： W00 = (1/4)，与 也 无 关 ， 是 一 个 球 对 称 分 布 。x yz 例 2. = 1, m = 0 时 ， W1,0() = 3/4 cos2。在 = 0时 ， 最 大 ； 在 = /2时 ， 等 于 零 。z yx 例 3. =1, m= 1时 W1, 1( )=(3/8 )sin2 。在 = /2时 ， 有 最 大 值 。 在 = 0沿 极 轴 方 向（ z向 ） W1, 1 = 0。 z x yZ 4、 类 氢 离 子 以 上 结 果 对 于 类 氢 离 子 （ H e+, Li+ +, Be+ + + ，等 ） ， 也 都 适 用 . 只 要 把 核 电 荷 +e 换 成 +Ze， 换成 相 应 的 约 化 质 量 即 可 .类 氢 离 子 的 能 级 公 式 为 4 22 2 1,2,3, (33)2n e ZE nn