生活中的优化问题举例

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1、4.4 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 问 题 提 出 t57301p 2 1.在 什 么 条 件 下 ， 函 数 f(x)在 闭 区 间a， b上 一 定 存 在 最 大 值 和 最 小 值 ？函 数 y f(x)的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 2.如 果 在 闭 区 间 a， b上 函 数 y f(x)的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 ， 那 么 如何 求 出 函 数 f(x)在 区 间 a， b上 的 最 大值 和 最 小 值 ？ 将 函 数 f(x)在 开 区 间 （ a， b） 上 的 所 有 极 值与 区 间 端 点 函 数 值 进 行

2、 比 较 ， 其 中 最 大 者 为最 大 值 ， 最 小 者 为 最 小 值 . 3.生 活 中 经 常 遇 到 求 利 润 最 高 ， 产 量 最大 ， 成 本 最 低 ， 用 料 最 省 等 实 际 问 题 ，这 些 问 题 通 常 称 为 优 化 问 题 .解 决 优 化 问题 的 本 质 就 是 求 函 数 的 最 值 ， 因 此 ， 以函 数 为 载 体 导 数 为 工 具 ， 解 决 生 活 中 的优 化 问 题 ， 是 数 学 应 用 领 域 的 一 个 重 要课 题 . 探 究 （ 一 ） ： 海 报 版 面 尺 寸 的 设 计 【 背 景 材 料 】 学 校 或 班 级 举

3、 行 活 动 ， 通常 需 要 张 贴 海 报 进 行 宣 传 .现 让 你 设 计 一张 如 图 所 示 的 竖 向 张 贴 的 海 报 ， 要 求 版心 面 积 为 128dm2， 上 、 下 两 边 各 空 2dm，左 、 右 两 边 各 空 1dm. 思 考 1： 版 心 面 积 为 定 值 128dm2， 海 报的 面 积 是 否 也 为 定 值 ？思 考 2： 设 版 心 的 高 为 x， 则 海 报 的 面 积为 多 少 ？ 海 报 四 周 空 白 的 面 积 为 多 少 ？128( 4)( 2)x x+ +128( 4)( 2) 128x x+ + - 思 考 3： 设 海 报

4、 四 周 空 白 的 面 积 为 S(x)，则 S(x)的 最 简 表 达 式 如 何 ？ 其 定 义 域 是什 么 ？ 512( ) 2 8, 0S x x xx= + + 思 考 4： 海 报 四 周 空 白 的 面 积 S(x)是 否 存在 最 值 ？ 若 存 在 ， 如 何 求 其 最 值 ？ 512( ) 2 8, 0S x x xx= + + 思 考 5： 如 何 设 计 海 报 的 尺 寸 ， 才 能 使 四周 空 白 面 积 最 小 ？ 版 心 高 为 16dm， 宽 为 8dm时 ， 探 究 （ 二 ） ： 饮 料 瓶 大 小 对 饮 料 公 司 利 润 的 影 响 【 背

5、景 材 料 】 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形瓶 装 的 某 种 饮 料 ， 瓶 子 的 制 造 成 本 是0.8 r2分 ， 其 中 r(单 位 ： cm)是 瓶 子 的半 径 .已 知 每 出 售 1mL的 饮 料 ， 制 造 商 可获 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 作 的 瓶 子 的 最大 半 径 为 6cm. 思 考 1： 1mL饮 料 所 占 的 体 积 是 多 少 cm3？半 径 为 r的 瓶 子 最 多 能 装 多 少 mL的 饮 料 ？思 考 2： 每 瓶 满 装 的 饮 料 的 利 润 (单 位 ：分 )是 多 少 ？ 3 240.2 0.83 r r

6、p p -343 rp思 考 3： 设 每 瓶 满 装 饮 料 的 利 润 为 f(r)，则 函 数 f(r)的 定 义 域 是 什 么 ？ （ 0， 6 思 考 4： 函 数 是 否 存 在 最 值 ？ 若 存 在 ， 如 何 求 其 最 值 ？ 3 2( ) 0.8 ( )(0 6)3rf r r rp= - m in 3.2( ) (2) 3f x f p= = -m ax( ) (6) 28.8f x f p= = 思 考 5： 函 数的 大 致 图 象 是 什 么 ？ 据 图 象 分 析 ， 瓶 子半 径 的 大 小 对 制 造 商 的 利 润 产 生 什 么 影响 ？ 3 2( )

7、 0.8 ( )(0 6)3rf r r rp= - O xy 2 3 6当 0 r 3时 ， 利 润 为 负值 ； 当 r 3时 ， 利 润 为零 ； 当 r 3时 ， 利 润 为正 值 ， 并 随 着 瓶 子 半 径的 增 大 利 润 也 相 应 增 大 . 思 考 6： 市 场 上 等 量 的 小 包 装 的 物 品 一 般比 大 包 装 的 要 贵 些 （ 如 半 斤 装 的 白 酒 比一 斤 装 的 白 酒 平 均 价 格 要 高 ） ， 在 数 学上 有 什 么 道 理 ？ 将 包 装 盒 捏 成 球 状 ， 因 为 小 包 装 的 半 径小 ， 其 利 润 低 ， 生 产 商 就

8、 提 高 销 售 价 格来 平 衡 与 大 包 装 的 利 润 . 探 究 （ 三 ） ： 磁 盘 的 最 大 存 储 量 问 题 【 背 景 材 料 】 计 算 机 把 信 息 存 储 在 磁 盘上 ， 磁 盘 是 带 有 磁 性 介 质 的 圆 盘 ， 并 由操 作 系 统 将 其 格 式 化 成 磁 道 和 扇 区 .磁 道是 指 不 同 半 径 所 构 成 的 同 心 圆 轨 道 ， 扇区 是 指 被 圆 心 角 分 割 成 的 扇 形 区 域 .磁 道上 的 定 长 的 弧 可 作 为 基 本 存 储 单 元 ， 根据 其 磁 化 与 否 可 分 别 记 录 数 据 0或 1， 这个

9、 基 本 单 元 通 常 称 为 比 特 ， 磁 盘 的 构 造如 图 所 示 . 为 了 保 障 磁 盘 的 分 辨 率 ， 磁 道 之 间的 宽 度 必 须 大 于 m， 每 比 特 所 占 用 的 磁 道长 度 不 得 小 于 n.为 了 数 据 检 索 的 方 便 ，磁 盘 格 式 化 时 要 求 所 有 磁 道 具 有 相 同 的比 特 数 . Rr 思 考 1： 现 有 一 张 半 径 为 R的 磁 盘 ， 它 的存 储 区 是 半 径 介 于 r与 R的 环 形 区 域 ， 且最 外 面 的 磁 道 不 存 储 任 何 信 息 ， 那 么 这张 磁 盘 的 磁 道 数 最 多 可

10、 达 多 少 ？ RrR rm-思 考 2： 由 于 每 条 磁 道 上 的 比 特 数 相 同 ，那 么 这 张 磁 盘 存 储 量 的 大 小 取 决 于 哪 条磁 道 上 的 比 特 数 ？最 内 一 条 磁 道 . 思 考 3： 要 使 磁 盘 的 存 储 量 达 到 最 大 ， 那么 最 内 一 条 磁 道 上 的 比 特 数 为 多 少 ？ Rr2 rnp思 考 4： 这 张 磁 盘 的 存 储 量 最 大 可 达 到 多少 比 特 ？ 2R r rm np- 思 考 5： 若 R为 定 值 ， r为 变 量 ， 那 么 这 张磁 盘 的 存 储 量如 何 变 化 ？ 有 何 最

11、值 ？2( ) ( )(0 )f r r R r r Rm np= - 2Rr = 时 ， 存 储 量 最 大 . Rr 思 考 6： 如 果 每 条 磁 道 存 储 的 信 息 与 磁 道的 长 度 成 正 比 ， 那 么 如 何 计 算 磁 盘 的 存储 量 ？ 此 时 ， 是 不 是 r越 小 ， 磁 盘 的 存 储量 越 大 ？ Rr 2 2 ( ) 2 ( )( ) ( )( )r r m R mf r n n nR r m R rm np p pp + -= + + += + - -L2mr = 时 ， 存 储 量 最 大 . 理 论 迁 移 例 某 汽 车 制 造 厂 有 一 条

12、 价 值 为 60万 元的 汽 车 生 产 线 ， 现 要 通 过 技 术 改 造 来 提高 其 生 产 能 力 ， 进 而 提 高 产 品 的 增 加 值 .已 知 投 入 x万 元 用 于 技 术 改 造 ， 所 获 得 的产 品 的 增 加 值 为 (60 x)x2万 元 ， 并 且 技改 投 入 比 率 .求 当 技 改 投 入多 少 万 元 时 ， 所 获 得 的 产 品 的 增 加 值 为最 大 ？ (0, 560 x x技 改 投 入 40万 元 小 结 作 业 1.解 决 优 化 问 题 的 基 本 思 路 ：优 化 问 题 用 函 数 表 示 的 数 学 问 题优 化 问 题

13、 的 答 案 用 导 数 解 决 数 学 问 题 2.解 决 优 化 问 题 的 实 质 是 将 实 际 问 题化 归 为 函 数 的 最 值 问 题 来 处 理 ， 其 探 究过 程 是 一 个 典 型 的 数 学 建 模 过 程 .对 目 标函 数 的 最 值 ， 要 根 据 函 数 式 的 特 点 ， 用适 当 的 方 法 求 解 ， 有 时 用 基 本 不 等 式 或二 次 函 数 图 象 求 最 值 比 用 导 数 更 方 便 . 3.对 优 化 问 题 中 的 函 数 关 系 ， 要 注 意根 据 实 际 背 景 确 定 函 数 的 定 义 域 ， 如 果目 标 函 数 在 定 义

14、 域 内 只 有 一 个 极 值 点 ，则 这 个 极 值 点 一 般 就 是 最 值 点 . 例 1 一 艘 轮 船 在 航 行 中 每 小 时 的 燃 料费 和 它 的 速 度 的 立 方 成 正 比 ， 已 知 在 速度 为 每 小 时 10km时 ， 燃 料 费 是 每 小 时 6元 ，其 它 与 速 度 无 关 的 费 用 是 每 小 时 96元 ，问 此 轮 船 以 何 种 速 度 航 行 时 ， 能 使 每 行驶 1km的 总 费 用 最 小 ？ 20km/h 例 2 用 总 长 为 14.8m的 钢 条 制 作 一 个 长方 体 容 器 的 框 架 ， 如 果 所 制 作 的 容 器 的底 面 的 一 边 比 另 一 边 长 0.5m， 那 么 当 容器 的 高 为 多 少 时 ， 其 容 积 最 大 ？ 最 大 容积 为 多 少 ？ 高 为 1.2m， 最 大 容 积 为 1.8m3. 例 3 如 图 所 示 ， 一 条 宽 为 1m的 走 廊 与另 一 条 走 廊 垂 直 相 连 ， 要 使 一 条 长 为 8m的 细 杆 能 水 平 通 过 拐 角 ， 问 另 一 条 走 廊的 宽 度 至 少 为 多 少 m？ 细 杆走 廊 走 廊1m3 3m 作 业 ：P37习 题 1.4A组 ： 1， 2， 3.