《李群的概要》PPT课件

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1、1.4变换李群的无穷小算符 设 n维 欧 氏 空 间 中 坐 标 变 换的 总 体 构 成 变 换 李 群 G， 其 中 ：在 上 式 变 换 下 ， n维 欧 氏 空 间 中 任 一 函 数 (x)的 变 换 为上 式 可 看 作 函 数 变 换 算 符 P R的 定 义因 为 空 间 同 一 点 的 函 数 值 不 变 ， 故 其 中省 去 带 撇 号 ：其 中 为 变 换 R的 逆 元 素 的 参 数 ),(),( 2121 rnxxxx )()()( xPxx R )()()( 1xRxxPR 的 变 换是 由 xxR 1 ),()()( 1 xfxRxPR ),();,2,1(),(

2、 xfxnxfxx R 对 于 无 穷 小 变 换 ， k为 无 穷 小 ， 引 入 r个 无 穷 中 小 算 符 ： 则 原 式 为 ：因 为 (x)是 任 意 的 ， 故 投 影 算 符 Zk变 换 李 群 的 无 穷 小 算 符 ， 它 的 个 数 等 于 李 各 的 阶 数 。 kk 010 ),(),()( rk kkR xfxfxP 0),(),( ),()( kk k xfxf xfx xxxfx n krk k )(),()( 011 n kk xxf1 0),( )()()( 1 xxxP krk kR k k kRP 1 -(*) xxf 0|),( 可 以 证 明 ： 李

3、 群 的 无 穷 小 算 符 的 对 易 式 可 表 为 该 群 的 无 穷 小 算符 的 线 性 组 合 ， 并 且 同 李 群 的 生 成 元 一 样 ， 满 足 同样 的 对 易 式 。其 中 为 李 群 结 构 常 数 。 k kijkji C,kijC -( ) ex.1 （ r =2, n=1）当 时 是 恒 等 变 换 ， 故 在 随 近 展 开 。其 中 ：对 易 式 ： 满 足 前 页 （ ） 式 。 21 xx ),(, 21 xfaxf 0,1 21 0,1 21 1,;, 01220111 2121 xfuxxfu xxuxxxu 2211 , 122121 , 222

4、22 )( xxxxxx xxxxxx221 , ex.2 二 维 转 动 群 SO（ 2） 它 是 单 参 数 ， r=1,只 有 一 个 无 穷 小 算 符 。 据 定 义 ： 令 这 是 角 动 量 Z分 量 算 符 （ =1） ),(cossin ),(sincos 21 yxfyxy yxfyxx ),(,),( 21021 yxxxxyxfk yyxxyx 00 )sincos(cossin yxxy )(, xyyxiJiJ zz 则 ex.3单 位 元 ： 1= 4=1, 2= 3=0 在 此 附 近 展 开对 易 关 系 ： 同 理 ： )();( 2122413221122

5、111 axxfxxxaxxfxxx 1011111 32 41 xfu 0011221 32 41 fu 224141231322212 ,0,0,0, xuuxuuuxu 1121121 11 0 xxxxxxu jj j ; 224213122 xxxxxx 122121 22222 xyxyxxyxxy 242413431432331 ;0; x1=x, x2=y 令 a=i3/2, b= 2/2+ i1/2ex.4 求 SU(2)群 的 无 穷 小 算 符 和 对 易 关 系 SU(2)， U= （ 有 三 个 独 立 参 量 ， a,b是 复 数 ） * ab ba ),(, ba

6、Ibag vuab badvv duu *1*1 vuii ii 312 123 21221 22121 321123 ,2212 vufviuiuduu u 321312 ,2221 vufviuivdvv v vifu uu 2011 a,b很 小 * 11 ab ba 同 理 ：同 理可 以 验 证同 理 这 个 李 代 数 称 为 A 1 viuuiuuuvuuiu vuvuv 2,2,21,21,2 33221 vuuvivuuu vu 2111 3122121 2 vvuui vvuuivuuv 2;21 32 213132 ; ex.5 三 维 转 动 变 换 SO(3)实 空

7、间 中 的 无 穷 小 转 动 为其 中 ij为 无 穷 小 参 数 ， 由 于 正 交 性 ， 则可 知 ： ij仅 有 三 个 独 立 参 数 j jjiijj jijii xxRxx )( jkkii jiiki ij RRRR kjjk ikkiijji )( 2 O ijikikijikij kk ijkij xx 031 kk ijm mkmkm xx 31 0)( kmmk ijkm xx 0, mk kmkjimmmjki xxx, 0ijji xxxx 设 证 ： J 1， J2， J3正 是 量 子 力 学 中 的 角 动 量 算 符 ， 它 们 的 对 易关 系 ： 23

8、321 1 xxxxiJ 31132 1 xxxxiJ 12213 1 xxxxiJ l ljklkj JiJJ , )3,2,1(, 123312231 kiJkk 1.5 有限群元的生成 群 G生 成 元是 在 =0附 近 求 得 的 ， 它 反 应 了 整 个 G的 性 质 ),2,1( rkk 0 kk g证 明 ： 在 g(0)附 近 g()当 并 不 很 小 时 而 很 大 时 。在 2 1)0()( Ogg krk k 点 上N 00 1 gNgNg iri i g(0)g()群 空 间分 成 N段P 此 算 子 使 g(0)变 到 g(/N) 2102 NgNgNgNg iri

9、 i NNggNNg Nri ii NrNg NNNg 121)0( , Niri iN Ngg 1)0()( lim iri i1exp 令 N ex.1 SO(2)群 元 素 定 轴 转 动 无 穷 小 生 成 元 令 ， 则 cossin sincos)(g 01 100 ddg 0010 01 eg N )exp(lim NN Neg pp P 0 !1 01 10 II I 432 , 10 0101 1001 10 完 全 决 定 了 g()， 即 由 g()得 到 的 决 定 g() 0 !1p ppg cossin sincos0sin sin0cos0 0cos sincos

10、 1)!12( 11)!2( 1 0 1220 I qIq q qqqqq 根 据 李 群 的 无 穷 小 算 符 ， 来 导 出 相 应 的 函 数 变 换 PR。在 变 换 李 群 的 无 穷 小 变 换 R下 ， 函 数 变 换 算 符 为其 中 Zk为 变 换 李 群 的 无 穷 小 算 符当 k不 很 小 时 ， 亦 可 将 其 分 为 N等 分krk kRP 11 k kkR NP 1 eNP Nk kkR 1 xxfn kk 1 0),(对 多 参 数 李 群 ， 如 SO(3)， 可 以 求 出 绕 x,y,z轴 分 别 转 1， 2， 3角 的转 动 算 符 : xxx Ji

11、RJiRJiR ePePeP 332211 , , 321 , JJJk 绕 空 间 任 意 方 向 (方 位 角 , )， 转 过 角 的 转 动 算 符 ， 可 表 为 ； 这 是 因 为 ： 取则 =(1 2 3) 为 正 则 参 数如 选 欧 拉 (Euler)角 , , 为 SO(3)群 参 数 。 相 继 施 行 三 个 转 动 ，则这 是 因 为 J x Jy Jz三 个 分 量 是 不 可 对 易 缘 故 。 欧 拉 角 , , 为 非 正 则 参 数 n cossinsincossinexpexp zyxR JJJiJniPn zzyyxx JnJnJnJn cos;sins

12、in;cossin zyx nnn zyxR JiJiJiPn 321exp )(, zyxzyx JJJiJiJiJiR eeeeP cos;sinsin;cossin 321 1.6 不变积分 李群的表示 1.61 不 变 积 分 在 有 限 群 中 ， 群 G上 的 函 数 f(A)(A G)具 有 下 列 求 和 不 变 式 ： （ 根 据 是 有 限 群 中 各 元 素 R都 具 有 同 样 的 权 重 weightfs)其 中 B为 G中 任 意 元 素 。对 于 李 群 (无 限 群 )， 是 否 也 有 相 应 的 不 变 式 呢 ？首 先 ， 应 将 上 面 求 和 改 为

13、对 群 参 数 的 积 分 ， 并 且 必 须 引 入 权 重函 数 : r群 为 的 阶这 样 使 得 群 上 函 数 f(R)的 积 分 在 参 数 的 变 换 下 保 持 不 变 ： 上 式 即 为 不 变 积 分 GA GAGAGAGA AfABfABfBAfABf )()( 11 rWW , 21 GG G dwRRfdwRRfdwRf 11 （ *）R为 任 意 元 素 一 般 来 说 ， 上 式 成 立 是 有 条 件 的 ， 可 以 证 明 ：定 理 ： 对 于 紧 致 李 群 ， 可 求 得 这 样 的 权 函 数 ， 使 不 变 积 分 （ *）存 在 。ex. SO(3)

14、用 欧 勒 角 , , ， 作 参 数 时 ， 权 函 数 为 ： sin, W 1.62 密 度 函 数 （ 权 函 数 ）设 有 参 数 空 间 群 元 素 ：现 将 群 元 素 R平 移 :其 中 ： i.e. r raaaSS aaaRaRR , ;,21 21 raaaRaRaRaSSR , 21),( aaa rrkk aaaaaaa , 2121平 移 不 变 性 要 求 ： )( GSdSRFdRF G RG R G rrG GG adaRaRF adaaa aaaaaaRaRF daaRaRFdaaRaRaSF 21 21,( R SRaj aidaad R )( adad

15、SR )( 比 较 上 式 左 右 得 ： or: 简 记 作 ： 将 单 位 元 素 取 作 基 准 元 素 R(a)这 样 （ 这 时 R(a0)已 同 群 元 数 无 关 ）例 ： 其又 例 ： rraaa aaaaaaRaR 21 21, aRaaaaaaR rr 21 21, aaaaa rr ),( , 21 21 raaaRaR 0,02010 , aaaa ,0 aaaaxxx aaxx , 0; 0基 元 参 数 aaa 则,00 aaaaa axxxaaxx 则令则 ,1, ;1, 00 于 是 就 有 ：再 将则 ：其 中 ： aaaaa aarr 021 210 , a

16、aaaaa aa , 记记 aaa ,0而 aaaa , aJ aa 平 移平 移 0 000 000 0000 321 22221 1121121 21 , , , , ararar araa araaaarr aaa aaa aaaaJ 平 移 ex.1 变 换 群 等 密 度在 该 群 上 的 不 变 积 分 为 ：这 是 真 接 应 用 公 式 ， 如 不 用 公 式 直 算 ， 则 更 直 观 ： axx aaaa ,00 1, 00 aaaJ a平 移 001 aaa 平 移 daaRF G首 先 ： G daaRaRFI G adaRaRF 另 一 方 面 ： 取 则 I=II，

17、 为 不 变 积 分实 际 上 ， 上 面 不 变 积 分 即 为其 中 c为 任 意 实 常 数 ， 的 积 分 限 即 为 参 数 全 空 间 。 daaRaRaSFII G )()( daaRaaRFG )( 00 aa ada aaaRaRF aaG 0 0)( adEaRFG )( ,)( 0aEaR dcxfdxfdxf G 令 ex.2 变 换 群 解 ： 在 群 上 的 不 变 积 分 为 ： axx 10 a aaa , aaaa aaaaJ a1,0 10 变变 G daaaRF 1常 量 （ 对 a积 分 时 ） 另 一 解 法 ，令 在 群 上 的 不 变 积 分 为

18、daaRaRFI G adaRaRFG daaRaRaSFII G daaRaaRFG aaa 10 a adaaaRaRFII aaG 10 adaaRaRF aaG 101 ERRaR 10 adaEaRFG 1 G daaaRF 1 adaaRaRFG 10 （ 即 ）aa 对 积 分 时 ， 它 是 常 量a ex.3 变 换 群 ：群 上 不 变 积 分 为 ： 21 axax 22122 1111 0201 , 0,1 aaaa aaa aa 10122122110111 022 011022 011 ,0,0, aa aaaa 2111012221 1211 0 0 202 10

19、1 aaaaJ aa 变 21 021, aaaaa 变变 2121 212121 21 , dadaa aaFdadaa aaRF GG 22111 221121 21 )(: aaxa axaaxaxxx xxxx 定 理 ： 在 紧 致 无 限 群 的 情 况 下 aa 右左 1.63 李 群 的 表 示Def.1 如 果 存 在 非 奇 异 的 l阶 矩 阵 集 合 D(G)， 它 同 给 定 李 群 G同构 或 同 态 ， 则 称 D(G)为 李 群 G的 一 组 l阶 线 性 表 示 。 一 般 说 来 ， D(G)也 是 一 个 李 群 ， 表 示 的 阶 l可 以 是 有 限

20、的， D(G)的 个 数 也 为 无 穷 多 个 。Def.2 若 有 一 组 基 底 ， 使 表 示 的 所 有 矩 阵 都 取 如 下 形 式 ： 则 此 表 示 称 为 可 约 表 示 。 如 果 上 式 中 Y(G)对 R G均 为零 ， 那 么 这 表 示 称 为 完 全 可 约 的 。 RD RYRGRD 210有 限 群 的 线 性 表 示 等 价 于 么 正 表 示 ， 因 此 ， 总 可 通 过 相 似 变 换 ，使 D(R)化 为 么 正 表 示 ， 从 而 Y(R)=0。 所 以 有 限 群 的 可 约 表 示 必定 是 完 全 可 约 的 ， 但 对 于 李 群 ， 这

21、 个 结 论 不 一 定 对 。 ex. 一 维 平 移 群 （ 非 紧 致 群 ）可 以 找 到 一 组 基 函 数在 平 移 变 换 下 ， 基 函 数 变 为 ：在 这 组 基 函 数 下 ， 该 平 移 群 的 一 个 二 维 表 示 为 ：它 是 可 约 的 ， 但 由 于 找 不 到 一 个 相 似 变 换 使 它 对 角 化 ， 所 以它 不 是 完 全 可 约 的 。 xx1 121 x xx 1101121 xxxx GD 101101101101)( 2121 定 理 ： (对 于 紧 致 李 群 )有 限 群 表 示 论 中 的 结 论 都 可 以 移 置 到 紧致 李

22、群 中 来例 如 ： 不 可 约 么 正 表 示 的 矩 阵 元 有 正 交 关 系 ：其 中 nj为 D(j)的 维 数 ， j: 为 某 独 立 的 表 示 。 jjjvvjj n dwdwRDRD * 1.64 李 群 表 示 的 生 成 元设 D(G)为 李 群 G的 一 个 表 示 ， 其 表 示 矩 阵 D()可 用 r个 参 数 k(k=1,2， r)来 表 示 ， 即设 单 位 阵 （ 对 应 于 李 群 的 单 位 元 素 ） 的 参 数 为 零 ， 当 很 小 时 其 中 r个 矩 阵 称 为 李 群 G的 表 示 D(G) 的 生 成 元 。由 X k可 求 出 群 中

23、任 意 元 素 R在 表 示 D(G)中 的 表 示 矩 阵 D(G) ， 其步 骤 同 群 元 素 生 成 元 可 求 任 意 群 元 素 一 样 。 rDD , 11 00 k kk DDD k kkX1 rkDX kk 2,10 李 氏 第 一 定 理 ： 简 单 李 群 （ 即 群 空 间 是 连 通 的 ） 的 线 性 表 示 完全 由 它 的 生 成 元 决 定 。 非 奇 异 矩 阵 （ detA0） 的 全 体 按 照 一 般 的 矩 阵 乘 法 显 然 构 成一 个 李 群 。 以 n n的 非 奇 异 矩 阵 为 例 ： 封 闭 性 ： 矩 阵 之 积 为 矩 阵 单 位

24、元 素 ： 单 位 矩 阵 逆 元 素 ： 非 奇 异 矩 阵 总 有 逆 矩 阵 存 在 ， （ 矩 阵 代 数 ） 组 合 律 ： 矩 阵 的 乘 法 遵 从 组 合 律 (AB)C=A(BC) 解 析 性 ： n n非 奇 异 矩 阵 为 n2参 量 矩 阵 ， 参 量 就 是 n2个 矩 阵 元 ， 当 矩 阵 相 乘 时 ： 参 数 之 间 的 函 数 关 系 显 然 为 解 析 函 数 nnnn nnnnnn nnnnnn nn 21 22221 1121121 22221 1121121 22221 11211 nk kjikij 1 ,即 1.7 矩阵群 1.71 一 般 线

25、性 群 GL(n) （ General Linear Grasp）这 是 表 示 n维 空 间 上 的 线 性 变 换 的 最 一 般 的 矩 阵 ， 除 了 要 求 矩 阵行 列 式 不 能 为 零 （ 非 奇 异 ） 之 外 ， 没 有 其 他 附 加 条 件 。 （ i=1,2n） 注 意 ： GL(n)群 不 是 紧 致 （ 致 密 ） 群 。两 种 情 况 ： 显 然 ， （ 实 包 含 在 复 之 内 ） nj jiji xx 1 xxxjij nnnnn nnn xxxxxx 2121 22221 1121121 ),(,2),( 2 cnGLnCij 记 作个 参 量复 域 )

26、,(,),( 2 RnGLnRij 记 作个 参 量实 域 RnGLcnGL , 1.72 特 殊 线 性 群 (么 模 群 ) SL(n) (Special Linear Group) （ i=1,2,n）特 征 ：有 两 种 情 况 ： 个 参 量 个 参 量显 然若 以 C表 示 复 数 乘 法 群 （ 除 0以 外 的 复 数 对 乘 法 所 构 成 ）若 以 R表 示 实 数 乘 法 群 （ 除 0以 外 的 实 数 对 乘 法 所 构 成 ）则 有 ： nj jiji xx 1 xx ,1det 22, 2 nCji 0detIm 1detRe:222 个 约 束 条 件个 虚 部

27、个 实 部nn 1, 2 nRji 约 束 条 件个 实 部 1det 2 n RnSLCnSLCnGL RnSLRnGLCnGL , , RRnSLRnGL CCnSLCnGL , , ex. GL(2) 单 位 元 素 ： 逆 元 素 ：乘 积 元 素 ： 矩 阵 乘 积 2221212 2121111 xxx xxx 2221 1211 10 01e 0 1 1.73 么 正 群 U(n) (Unitary Group) (i=1,2,n) or 么 正 ： 自 动 保 证 det 0 即 么 正 条 件 即约 束 条 件 ：i.e 当 j=j 时 共 n个 (只 有 实 部 )当 jj

28、 时 共 个 (分 虚 实 两 部 ) 故 共 有 约 束 条 件 个 参 量 数 ： xx I jji i jiijjiji * ni ini i xx 1 21 2 xxxxxx jjni jiij 1 * 0*1 ni jiij jjnjj ;,2,1, 2 1nn 22 12 nnnn 2222 nnn nj jiji xx 1 I 11 2 ni ij 为 紧 致 的)(,12 nUij ex. U(2) 得 约 束 条 件 ： 共 有 4个 （ 2 2） 约 束 条 件 。另 外 ， 满 足 条 件 ：的 线 性 变 换 群 记 作 U(p,g)， 显 然 U(n,0)= U(0,

29、n)= U(n) 212212211121 xxxxxxxx 22221212212111221 xxxxxx *21*2221*12112222221221221211 xxxx 2*122*2112*11 xx 2221 xx 011 *2221*1211 222212 221211 022*2112*11 pi gppj jipi gppj ji xxxx 1 1 221 1 22 0Im 0Re *2221*1211 *2221*1211 1.74 特 殊 么 正 群 （ 么 模 么 正 群 ） SU(n) i.e. 参 量 数 = n2-1 由 +=I得 |det|2=1， 即 de

30、t = eia a为 任 意 实 数 ， 而 么 模 条 件 “ det=1” 要 求 a=0。 这 就 是 一 个限 制 条 件 ， 而 不 是 两 个 ， 数 量 参 量 数 为 n2-1， 而 不 是 n2-2， 因为 det=1只 增 加 1个 限 制 条 件 ， 而 不 是 两 个 ， 尽 管 是 复 数 。 1det, Ixx CnSLnUnSU , 1.75 正 交 群 O(n)与 特 殊 正 交 群 SO(n) （ i=1,2,n）正 交 条 件 即则 有约 束 条 件 ： i,e. 当 j=j时 （ j=1,2,n） 共 n个 当 j j时 （ j, j =1,2,n; j

31、j ） 共 个 I i jiiji jijijj 1 ni inj i xxeixxxxxx 1 21 2. jji jiij 11 2 ni ij 01 ni jiij 2 1nn 个 约 束 条 件有对 于 个 约 束 条 件有对 于 nnnnnRnO nnnnnCnO 1212 1, )1(2 12, nj jiji xx 1 xx 参 量 数i) O(n,C)有 参 量 个ii) O(n,R)有 参 量 个 这 样 ， 的 变 化 域 分 成 两 det=+1与 det=-1两 个 互 不 连 接 的 叶 ，而 不 能 从 一 个 叶 连 续 地 变 到 另 一 个 叶 。 O(n)群

32、 是 不 连 通 的 det=+1的 子 区 域 （ 叶 ） 包 含 单 位 矩 阵 I， 它 组 成 O(n)的 一 个 不变 子 群 SO(n) （ i.e么 模 正 交 群 ）在 物 理 上 ， SO(4)群 同 构 于 洛 伦 茨 群而 且 其 商 群 ， 同 构 于 离 散 的 二 阶 群 例 如 反 演 群 E,而 )1(2 1222 2 nnnnnn )1(212 12 nnnnnn 1det1det 2 I nSOnO ,EnSOnO 在 这 里 要 注 意 ： 么 模 条 条 件 是 从 两 个 连 通 区 选 出 一 个 来 ， 它由 正 交 条 件 自 然 地 引 伸 出

33、 来 ， 并 不 是 额 外 附 加 的 约 束 ， 因 此 ，比 起 O(n)来 ， SO(n)的 参 量 数 并 未 减 少 ， 这 是 正 交 群 异 于 么 正 群的 一 点 ， 此 外 ， 显 然 有满 足 条 件 的 线 性 变 换 群 （ 矩 阵 群 ） 记 作 O(p,g), 若 再 加 上 么 模 条 件 ， 则为 SO(p,g)。SO(1,3) 就 是 著 名 的 Lorentz群 nOnSLnSO gppj ipi ipi gppj ii xxxx 1 21 21 1 22 2423222124232221 xxxxxxxx 1.76 率 群 Sp(2n) Def.1 对

34、 于 N维 线 性 空 间 中 的 矢 量 作 非 退 化 的 （ non-degenerate） 双 线 性 型 ： 其 中 度 规 张 量 矩 阵 为 斜 反 对 称 的 ： 对 角 线 上 元 素 为 零则 该 双 线 型 称 为 矢 量 与 的 斜 积 （ show product） 记 作 ： （ gki=-gik） nxxxxx 321 nyyyyy 321 nnnnn nnn yyyggg ggg gggxxxyGx 2121 22221 1121121, i k kiik yxgikki gg x yGxyx , y Def.2 对 于 N维 线 性 空 间 中 各 矢 量 进

35、 行 线 性 变 换 ： 若 矢 量 的 斜 积 在 变 换 下 不 变 ： 则 要 求 这 样 的 变 换 的 全 体 所 构 成 的 群 称 为 率 群 ， 记 作 Sp(N) 由 于 为 斜 反 对 称 的 ， 故 有 detG=(-1) Ndet G 当 N为 奇 时 ， detG=0， 即 G为 奇 异 矩 阵 。 由 此 可 知 。 仅 当 N=2n（ 偶 数 ） 时 ， 才 能 定 义 SP(2n) xAx yAy A yAGxAyAxAyx , yAGAx yGxyx , GAGA G GGGG N det1detdetdet A 率 坐 标 基我 们 可 以 在 这 个 2n

36、维 空 间 中 选 取 一 组 适 当 的 基 ， 使 得 斜 积 具 有 简 单 的 规 范 形 式 。首 先 ， 取 一 个 任 意 的 非 零 矢 量 作 为 第 一 个 基 ， 其 次 ， 取 一 个使 的 （ 这 是 可 能 的 ， 因 为 斜 积 为 非 退 化 的 ） 并乘 上 一 个 适 当 的 常 数 因 子 后 作 为 第 二 个 基 ， 使 得 于是 ， 这 两 个 基 满 足 下 列 条 件 ：例 ： 二 维 ： i k kiik yxg 1e 0,1 ye y yx , 1e 1,0,0, 111111 eeeeee 111 ee 211 122212121 1221

37、212221 121121 00 gx gxxxxxg gxxxxgg ggxx 0 21121221 gxxgxx 1221 gg 而 且 由 于 gki=-gik， ， 而 且 为 线 性 独 立 的 。 111 ee 11,ee 证 ： 假 如 不 线 性 独 立 ， 则 必 有则 同 理 必 定 是 线 性 独 立 的 。在 这 2n维 空 间 中 ， 满 足 条 件的 矢 量 全 体 构 成 一 个 （ 2n-2） 维 的 子 空 间 ， 整 个 2n维 空 间中 任 何 一 个 矢 量 都 可 表 示 为式 中 1,ee 011 ee 1111111 , eeeeeee 0,010

38、 0, 111 eee 0,0, 11 zeze z zexexx 1111 1111111111 , ezeexeexexexx 11111111111 , ezeexeexexexx 1,ee x 对 于 上 述 （ 2n-2） 维 子 空 间 ， 继 续 进 行 上 述 手 续 ， 最 后 可 以 得到 一 组 率 坐 标 基它 们 满 足 条 件 ：空 间 中 任 何 两 个 矢 量 ：的 斜 积 就 是 ： ),( 2121 nn eeeeee ijjiijjijiji eeeeeeee ,0,0, nnnn nnnn eyeyeyeyeyeyy exexexexexexx 2211

39、2211 22112211 ni nj jjjjiii eyeyexexyx 1 11 , i jijij jijijijijiji eeyxeeyxeeyxeeyx , i iiii yxyx 这 样 ， 斜 积 定 义 中 的 度 规 张 量 矩 阵 必 须 是 ：nn n II IG 20 0 yGxyx , nnn nnn yyyyI Ixxxxxx 112121 0 0, ni jiiinnnn yxyxyyyyxxxxxx 1112121 , nnnn yxyxyxyxyxyx 22221111 使 得 例 n=2 根 据 以 上 的 讨 论 ， 一 般 对 于 率 群 的 定 义

40、 为 ：在 2n维 复 空 间 中 ， 使 矢 量的 斜 积 22112211 2121212121212121 0010 0001 1000 0100 yxyxyxyx yyyyxxxxyyyyxxxx nn nn yyyyyyy xxxxxxx , , 2121 2121 ni iiii yxyxyx 1,在 变 换 前 后 保 持 不 变 的 线 性 变 换 全 体 所 组 成 的 群 称 为 率 群 ， 记 作 SP(2n,C) 这 个 群 的 矩 阵 具 有 性 质 ， 其 中 In为 n维 单 位 矩 阵Sp(2n,R)的 参 量 数 目 为 个Sp(2n,C)的 参 量 数 目 为 个Sp(2n)表 示 么 正 率 群 ： Ann IAIA 22 0 02 n nn I II 1221221 nnnn 122122 nnnn )2(,22 nUCnSpnSp