方差分析AnalysisofVariance(ANOVA)

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1、http:/ 1 方 差 分 析Analysis of Variance （ ANOVA ) 因 素 也 称 为 处 理 ， 每一 处 理 因 素 至 少 有 两 个 水 平 (level)（ 也 称 “ 处 理 组 ” ） 。 一 个 因 素 （ 水 平 间 独 立 ） 单 向 方 差 分 析 （ 第 十 章 ） 两 个 因 素 （ 水 平 间 独 立 或 相 关 ） 双 向 方 差 分 析 （ 第 十 一 章 ） 一 个 个 体 多 个 测 量 值 重 复 测 量 资 料 的 方 差 分 析 ANOVA与 回 归 分 析 相 结 合 协 方 差 分 析 目 的 ： 用 这 类 资 料 的

2、样 本 信 息 来 推 断 各 处 理 组 间 多 个 总体 均 数 的 差 别 有 无 统 计 学 意 义 。 http:/ 2 表 8-1 不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 ( /ml) 组 号 i 胆 硷 脂 酶 含 量 (Y i j ) in j ijY iY j ijY 2 1 23 12 18 16 28 14 6 111 18.5 2233.0 2 28 31 23 24 28 34 6 168 28.0 4790.0 3 14 24 17 19 16 22 6 112 18.7 2162.0 4 8 12 21 19 14 15 6 8

3、9 14.8 1431.0 合 计 73 79 79 78 86 85 24 480 20.0 10616.0 四 种 解 毒 药 的 解 毒 效 果 是 否 相 同 ？ Si S1 S2 S3 S4 合 计值 5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 http:/ 3 http:/ 4 ANOVA 由 英 国 统计 学 家 R.A.Fisher首创 ， 为 纪 念 Fisher，以 F命 名 ， 故 方 差 分 析又 称 F 检 验 （ F test） 。 用 于 推 断 多个 总 体 均 数 有 无 差 异 http:/ 5 第十章 单向方差分析One-way analysis o

4、f variance第 一 节 方 差 分 析 的 基 本 思 想 将 所 有 测 量 值 间 的 总 变 异 按 照 其 变 异 的来 源 分 解 为 多 个 部 份 ， 然 后 进 行 比 较 ， 评 价由 某 种 因 素 所 引 起 的 变 异 是 否 具 有 统 计 学 意义 。 http:/ 6 一、离均差平方和的分解组间变异总变异组内变异 http:/ 7 对 于 例 8-1（ 完 全 随 机 设 计 ）资 料 ， 共 有 三 种 不 同 的 变 异 1. 总 变 异 （ Total variation） ： 全 部 测 量 值 Yij与总 均 数 间 的 差 异 2. 组 间 变

5、 异 （ between group variation ） ： 各组 的 均 数 与 总 均 数 间 的 差 异3. 组 内 变 异 （ within group variation )： 每 组 的每 个 测 量 值 Yij与 该 组 均 数 的 差 异下 面 用 离 均 差 平 方 和 (sum of squares of deviations from mean， SS)反 映 变 异 的 大 小 20.0Y Y iY iY 1. 总 变 异 : 所有测量值之间总的变异程度，计算公式 2 21 1 1 12 2 , 1)i in na aij iji j i jN iji jSS Y

6、Y Y CY C N S 总 ( 2 21 1 ,( ) ( )ina Nij iji j i jY YC N N 校正系数：1N 总 2 组 间 变 异 ：各组均数与总均数的离均差平方和，计算公式为2 121 1 ( )( ) in ijja ai ii i iYSS n Y Y Cn 组 间 1a 组 间SS组 间 反 映 了 各 组 均 数 的 变 异 程 度组 间 变 异 随 机 误 差 + 处 理 因 素 效 应 iY 21 121 ( )( 1) ina ij ii ja i iiSS Y Yn S 组 内 N a 组 内 3 组 内 变 异 ： 在 同 一 处 理 组 内 ， 虽

7、 然 每个 受 试 对 象 接 受 的 处 理 相 同 ， 但 测 量 值 仍 各 不 相 同 ，这 种 变 异 称 为 组 内 变 异 ， 也 称 SS误 差 。 用 各 组 内 各 测 量 值 Yij与 其 所 在 组 的 均 数 差 值 的平 方 和 来 表 示 ， 反 映 随 机 误 差 的 影 响 。 计 算 公 式 为 三 种 “ 变 异 ” 之 间 的 关 系离 均 差 平 方 和 分 解：组 内组 间总 SSSSSS += ， 且 总 = 组 间 + 组 内 组 内 变 异 SS 组 内 ： 随 机 误 差 组 间 变 异 SS 组 间 ： 处 理 因 素 + 随 机 误 差

8、One-Factor ANOVA Partitions of Total VariationVariation Due to Treatment SSB Variation Due to Random Sampling SSWTotal Variation SSTw Commonly referred to as:oSum of Squares Within, oroSum of Squares Error, oroWithin Groups Variationw Commonly referred to as:oSum of Squares Among, oroSum of Squares

9、Between, oroSum of Squares Model, oroAmong Groups Variation= + 均 方 差 ， 均 方 (mean square， MS) 变 异 程 度 除 与 离 均 差 平 方 和 的 大 小 有 关 外 ， 还 与 其 自 由 度 有 关 ， 由 于 各 部 分 自 由 度 不 相 等 ， 因 此 各 部 分 离 均 差 平 方 和 不 能 直 接 比 较 ， 须 将 各 部 分 离 均 差 平 方 和 除 以 相 应 自 由 度 ， 其 比 值 称 为 均 方 差 ， 简 称 均 方 (mean square， MS)。 组 间 均 方

10、和 组 内 均 方 的 计 算 公 式 为 : SSMS 组 间组 间 组 间 SSMS 组 内组 内 组 内 二 、 F 值 与 F分 布如 果 各 组 样 本 的 总 体 均 数 相 等 （ H 0： 1 2 k ） ， 即 各 处 理 组 的 样 本 来 自 相 同 总 体 ， 无 处 理 因 素 的 作 用 ， 则 组 间 变 异 同 组 内 变 异 一 样 ， 只 反 映 随 机 误 差 作 用 的 大 小 。 组 间 均 方 与 组 内 均 方 的 比 值 称 为 F 统 计 量 MSF MS 组 间组 内 1 组 间 ， 2 组 内 F 值 接 近 于 l， 就 没 有 理 由

11、拒 绝 H 0； 反 之 ， F 值 越 大 ， 拒 绝 H 0的 理 由 越 充 分 。 数 理 统 计 的 理 论 证 明 ， 当 H 0成 立 时 ， F 统 计 量 服 从 F 分 布 。 ， 15F 分 布 曲 线 10,10 21 5,1 21 5,5 21 22121 122/22/121 21121 )(22 2)( F FFf 16 F 界 值 表附 表 5 F界 值 表 （ 方 差 分 析 用 ， 单 侧 界 值 ）上 行 ： P=0.05 下 行 ： P=0.01分 母 自 由 度 2 分 子 的 自 由 度 ， 11 2 3 4 5 6 1 161 200 216 22

12、5 230 234 4052 4999 5403 5625 5764 5859 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 98.49 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 5 17 F 分 布 曲 线 下 面 积 与 概 率 18 http:/ 19 第 二 节 实 例 8.1的 方 差 分 析 http:/ 20H 0： 即 4个 试 验 组 总 体 均 数 相 等 H 1： 4个 试 验 组 总 体 均 数 不

13、 全 相 等 检 验 水 准 1 2 3 4 0.05 一 、 建 立 检 验 假 设 http:/ 21 表 8-1 不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 ( /ml) 组 号 i 胆 硷 脂 酶 含 量 (Y i j ) in j ijY iY j ijY 2 1 23 12 18 16 28 14 6 111 18.5 2233.0 2 28 31 23 24 28 34 6 168 28.0 4790.0 3 14 24 17 19 16 22 6 112 18.7 2162.0 4 8 12 21 19 14 15 6 89 14.8 1431.

14、0 合 计 73 79 79 78 86 85 24 480 20.0 10616.0 四 种 解 毒 药 的 解 毒 效 果 是 否 相 同 ？ Si S1 S2 S3 S4 合 计值 5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 http:/ 22 二 、 计 算 离 均 差 平 方 、 自 由 度 、 均 方1 总 离 均 差 平 方 和 总SS = 21 1ina iji j Y C =10616 (480) 2/24 1016.0。 或 总SS (24-1) 6.652=1016.0 总 自 由 度 总 =24-1 23 。 2 组 间 离 均 差 平 方 和 21 2 2 2

15、2 21 ( ) 116 168 112 89 480 568.336 6 6 6 24in ijjai iY CS nS 组 间 。 组 间 自 由 度 1 =4-1=3， 组 间 均 方 组 间MS 333.568 189.44 。 3 组 内 离 均 差 平 方 和 组 内SS 1016.0 568.33 447.67， 组 内SS (6-1) 5.99 2 (6-1) 4.152+(6-1) 3.782+(6-1) 4.712 组 内 自 由 度 2 =4 (6-1)=20,组 内 均 方 组 内MS 2067.447 22.38。 http:/ 23 三 、 计 算 F值 F 38.

16、22 44.189 8.46 分 子 分 母 自 由 度 分 别 为 ： 3， 20 列 于 方 差 分 析 表 中 (见 表 8-2)。 表 8-2 大 白 鼠 血 中 胆 硷 酯 酶 含 量 方 差 分 析 表 变 异 来 源 SS MS F P 组 间 568.33 3 189.44 8.46 0.00079 组 内 447.67 20 22.38 总 1016.00 23 http:/ 24 四 、 下 结 论查 附 表 5 F 界 值 表 ， 得 F 0.05(3,20)=3.10。 由 于 F F0.05(3,20)， 故 有 概 率 P 0.05， 根 据 式 (8.5)的 推

17、断 规 则 拒 绝 无 效 假 设 ， 接 受 备 择 假 设 。 处 理 因 素 的 4 个 水 平 中 至 少 有 一 个 组 的 总 体 平 均 值 不 同 于 其 他 各 组 。 从 表 8.1 所 示 的 各 iY 值 可 见 ， 不 同 解 毒 药 物 的 效 果 是 不 同 的 。 解 毒 药 物 A 和 C 与 空 白 对 照 组 D 相 近 。 B 组 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 较 其 他 组 为 高 。 注 意 ： 当 组 数 为 2时 ， 完 全 随 机 设 计 的 方差 分 析 结 果 与 两 样 本 均 数 比 较 的 t检 验 结 果 等价 ， 对 同 一 资

18、 料 ,有 ： t F http:/ 25 第 三 节 平 均 值 之 间 的 多 重 比 较不 拒 绝 H 0， 表 示 拒 绝 总 体 均 数 相 等 的 证 据不 足 分 析 终 止 。拒 绝 H 0， 接 受 H 1, 表 示 总 体 均 数 不 全 相 等哪 两 两 均 数 之 间 相 等 ？哪 两 两 均 数 之 间 不 等 ？ 需 要 进 一 步 作 多 重 比 较 。 http:/ 26 控 制 累 积 类 错 误 概 率 增 大 的 方 法采 用 Bonferroni法 、 SNK 法 和Tukey法 等 方 法 http:/ 27 累 积 类 错 误 的 概 率 为 当 有

19、 k个 均 数 需 作 两 两 比 较 时 ， 比 较 的 次 数 共 有c= k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2设 每 次 检 验 所 用 类 错 误 的 概 率 水 准 为 ， 累 积 类 错 误 的 概 率 为 ， 则 在 对 同 一 实 验 资 料 进 行 c次 检验 时 ， 在 样 本 彼 此 独 立 的 条 件 下 ， 根 据 概 率 乘 法 原 理 ，其 累 积 类 错 误 概 率 与 c有 下 列 关 系 ： 1 (1 )c (8.6)例 如 ， 设 0.05， c=3(即 k=3)， 其 累 积 类 错 误的 概 率 为 1 (1-0.05) 3 =1-(0.95)

20、3 = 0.1432k http:/ 28 一 、 Bonferroni法方 法 ： 采 用 /c作 为 下 结 论 时 所 采 用 的检 验 水 准 。 c为 两 两 比 较 次 数 ， 为 累 积 I类 错 误 的 概 率 。 1 2 ,1 1i h i heY Y Y Yt N aS MS n n 组 内组 内（ ） http:/ 29 例 8-1四 个 均 值 的 Bonferroni法 比 较 设 /c 0.05/6=0.0083,由 此 t的 临界 值 为 t（ 0.0083/2,20） =2.927118.5 28.0( : ) , 24 4 201 122.38 6 6( :C

21、) 0.07 2.9271, ( : ) 1.35 23.48 2.92713.40 2.9271 4.83 2.9 .9271( : ) , ( : ) , ( : ) 1.43 2271 .9271t A Bt A t A Dt B C t B t B D C D 同 理只 有 有 统 计 学 意 义 ， 其 他与 其 他 各 无 统 计组 间 差 异 学 意 义 。 http:/ 30 Bonferroni法 的 适 用 性 当 比 较 次 数 不 多 时 ， Bonferroni法 的 效果 较 好 。 但 当 比 较 次 数 较 多 (例 如 在 10次 以 上 )时 ，则 由 于

22、其 检 验 水 准 选 择 得 过 低 ， 结 论 偏 于 保守 。 http:/ 31 二 、 SNK法 SNK(student-Newman-Keuls)法 又 称 q检 验 ， 是 根 据 q值 的抽 样 分 布 作 出 统 计 推 论 （ 例 8-1） 。1 将 各 组 的 平 均 值 按 由 大 到 小 的 顺 序 排 列 ： 顺 序 (1) (2) (3) (4) 平 均 值 28.0 18.7 18.5 14.8 原 组 号 B C A D2. 计 算 两 个 平 均 值 之 间 的 差 值 及 组 间 跨 度 k， 见 表 8-3第 (2)、 (3)两 列 。3. 计 算 统

23、计 量 q值4. 根 据 计 算 的 q值 及 查 附 表 6得 到 的 q界 值 （ p286） ， 作 出 统 计推 断 。 http:/ 32 表 8-3 SNK 法 两 两 比 较 的 计 算 用 表 对 比 组 两 平 均 值 之 差 组 间 跨 度 统 计 量 Q ( k, 2 0 )临 界 值 概 率 (i):(h) )(iY - )(hY k q =0.05 =0.01 P (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (1):(4) 13.2 4 6.83 3.96 5.02 0.01 (1):(3) 9.5 3 4.92 3.58 4.64 0.01 (1):(2

24、) 9.3 2 4.82 2.95 4.02 0.05 (2):(3) 0.2 2 0.10 2.95 4.02 0.05 (3):(4) 3.7 2 1.92 2.95 4.02 0.05 22.38 1 11 1 2 6 62 i h i hi hY Y Y Yq MS n n 组 内 附 表 6 http:/ 33 Tukey 法 又 称 为 真 正 显 著 差 (honestly significant difference， HSD)法 ,用 单 一 值 作 为 判 断 标 准 。 该 法 的 计 算 步 骤 为 ： 1 计 算 两 两 的 绝 对 差 值 d ( i , h )=

25、hi YY 。 结 果 见 表 8-4 第 2 行 。 2 从 附 表 6 查 出 =0.05 时 q (k , N - k )= q0.05(4,20)=3.96。 3. nMS 1, 组 内kNkqHSD 3.96 22.38 1 6 7.65 (8-12) 当 两 组 的 观 察 例 数 不 相 等 时 用 例 数 较 少 的 ni 代 替 n。 4. 凡 d(i : h ) HSD， 则 拒 绝 H 0； 否 则 不 拒 绝 H 0。 表 8-4 HSD 法 计 算 用 表 比 较 组 AY - BY AY - CY AY - DY BY - CY BY - DY CY - DY 绝

26、对 差 d 9.5 0.2 3.7 9.3 13.2 3.9 结 果 判 断 拒 绝 H 0 不 拒 绝 H 0 不 拒 绝 H 0 拒 绝 H 0 拒 绝 H 0 不 拒 绝 H 0 http:/ 34 第 四 节 方 差 分 析 的 假 定 条 件 和 数 据 转 换 一 、 方 差 分 析 的 假 定 条 件 （ 上 述 条 件 与 两 均 数 比 较 的 t检验 的 应 用 条 件 相 同 。 ）1.各 处 理 组 样 本 来 自 随 机 、 独 立 的 正 态 总体 (D法 、 W法 、 卡 方 检 验 )；2.各 处 理 组 样 本 的 总 体 方 差 相 等 （ 不 等 会 增

27、加 I型 错误 的 概 率 ， 影 响 方 差 分 析 结 果 的 判 断 ） 二 、 方 差 齐 性 检 验1. Bartlett检 验 法2. Levene等3. 最 大 方 差 与 最 小 方 差 之 比 3,初 步 认 为 方 差 齐 同 。 http:/ 35 1. Bartlett 检 验 法H 0： 各 总 体 方 差 齐 同 ， H 1： 各 总 体 方 差 不 齐 。 ki iiC SnSkNC 1 222 ln)1(ln)(1 1 k 误 差MSnXXS ki iki nj iijC i 11 1 22 )1()( ； kNnkC ki i 1)1( 1)1(3 11 1

28、式 中 k 为 组 数 ， in 为 各 组 例 数 ， N 为 总 例 数 ， 2iS 为 各 组 方 差 。 统 计 量 2 服 从 以 k-1 为 自 由 度 的 2 分 布 。 若 P 值 较 小 ， 则 拒 绝 H 0， 尚 不 能 认 为 方 差 满 足 齐 同 要 求 ； 可 认 为 方 差 不 齐 。 http:/ 36 2. Levene 检 验 法 将 原 样 本 观 察 值 作 离 均 差 变 换 ， 或 离 均 差 平 方 变 换 ，然 后 执 行 完 全 随 机 设 计 的 方 差 分 析 ， 其 检 验 结 果 用 于 判 断方 差 是 否 齐 性 。 因 为 le

29、vene检 验 对 原 数 据 是 否 为 正 态 不 灵 敏 ， 所 以 比 较稳 健 。 目 前 均 推 荐 采 用 LEVENE方 差 齐 性 检 验 （ 1） ij ij id Y Y ， （ 2） ij ij id Y md ， （ 3） ij ij id Y Y 2 http:/ 37 三 、 数 据 变 换 改 善 数 据 的 正 态 性 或 方 差 齐 性 。 使 之满 足 方 差 分 析 的 假 定 条 件 。1.平 方 根 反 正 弦 变 换 适 用 于 二 项 分 布率 （ 比 例 ） 数 据 。2.平 方 根 变 换 适 用 于 泊 松 分 布 的 计 数资 料3.对

30、数 变 换 适 用 于 对 数 正 态 分 布 资 料X Y1 1sin sin180X Y X Y 或 10log ( )X Y http:/ 38 第 五 节 完 全 随 机 设 计 方 法 简 介将 120名 高 血 脂 患 者 完 全 随 机 分 成 4个 例 数 相 等 的 组 1. 编 号 ： 120名 高 血 脂 患 者 从 1开 始 到120， 见 下 面 表 第 1行 ；2. 取 随 机 数 字 ： 从 附 表 15中 的 任 一 行 任一 列 开 始 ， 如 第 5行 第 7列 开 始 ， 依 次读 取 三 位 数 作 为 一 个 随 机 数 录 于 编 号下 ， 见 下

31、面 表 的 第 2行 ； http:/ 39表 完 全 随 机 设 计 分 组 结 果 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 119 120 随 机 数 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 220 634 序 号 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 16 75 分 组 结 果 甲 丁 乙 甲 甲 丁 甲 丁 丁 丁 甲 丙 3. 排 序 ： 按 随 机 数 字 从 小 到 大 (数 据 相 同 则 按 先 后顺 序 ） 编 序 号 ， 见 下 面 表 的 第 3行 。4. 事 先 规 定 ： 序 号 1-30为 甲 组 ， 序 号 31-60为 乙 组 ，序 号 61-90为 丙 组 ， 序 号 91-120为 丁 组 ， 见 下 面 表 的第 4行 。