难做概率论与数理统计去年试卷分析

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1、20102011 学年 秋冬 学期 概率论与数理统计试卷注：X N (0,1),(x)P Xx:(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2) 0.98t ( n),2 (n), F (n1, n2 ) 分别表示服从具有相应自由度的t 分布，2 分布和 F 分布的上22.70,2(9)3.32,2(9)16.92,219.02 ，分位点：0.975 (9)0.950.050.025 (9)t 0.05 (9)1.83, t 0.025(9)2.26 ， F0.05 (2,9)4.26, F0.05 (9,2)19.4 。一、填空题 ( 每小格 3 分，共 42 分，每个

2、分布均要写出参数 )1设 A, B 为两随机事件，已知 P( A)0.6,P( B)0.5,P( AB)0.3，则P( AB)_ ， P( A AB)_。一批产品的寿命X(小时)具有概率密度f ( x)a2 ,x800a_，2x，则0,x800随机取一件产品，其寿命大于1000 小时的概率为 _；若随机独立抽取6 件产品，则至少有两件寿命大于1000 小时的概率为 _ _；若随机独立抽取 100件产品，则多于76 件产品的寿命大于1000 小时的概率近似值为 _ _。3设随机变量 ( X ,Y) N ( 1,2 ,12 ,22 ,) ，已知 X N (0,1),Y N (1,4)，0.5 。设

3、 Z13XY, Z27 X4Y ，则 Z1服从 _分布 , Z1与 Z2 的相关系数 Z Z_ _ ， Z1与Z2 独立吗？为什么？答：。124设总体 X N (,2 ),( 0) 是未知参数， X1 , X10 为来自 X 的简单随机样本，记 X 与S2 为样本均值和样本方差，则X 2是 2的无偏估计吗？答： _；若2b20.95，则 b_；22_；的置信度为P S_P S_95的单侧置信下限为 _；对于假设 H 0 :21, H1 :21的显著性水平为5的拒绝域为 _。二（ 12 分）某路段在长度为 t （以分计）的时间段内，在天气好时发生交通事故数 X1(t) (泊松分布 )，天气不好时

4、事故数 X2 ( t ) 。设在不重叠时480120间段发生交通事故的次数相互独立。（ 1）若 6:00-10:00 天气是好的，求这一时段该路段没有发生交通事故的概率；（ 2）设明天 6:00-10:00 天气好的概率为70，求这一时段该路段至少发生一次交通事故的概率；（ 3）若 6:00-10:00 天气是好的，求该路段在 6:00-10:00 至少发生一次交通事故的条件下， 6:00-8:00 没有发生交通事故的概率。三（ 12 分）设二维随机变量(X , Y) 的联合概率密度x, 0x 1, 0 y3xf ( x, y)其它0,（ 1）问 X 与 Y 是否独立？说明理由；（2）求条件概

5、率密度 fY X ( y x) ；（ 3）设Z X Y ，求 Z 的概率密度 fZ (z) 。四（ 12 分）某车站（春节前）规定 1 人最多可买 3 张票，今有甲乙丙 3 人结伴买票，他们先各自排队，让先排到者买这 3 人的票，其余 2 人退出排队。设每个队等待时间独立，且都服从均值为 20 分钟的指数分布，记买到 3 张票的等待时间为 Y 分钟。（ 1）求甲排队时间超过 20 分钟的概率；（ 2）求 Y 大于 20 的概率；（ 3）求 Y 的概率密度。五（ 12 分）设某商品一个月市场需求量X 在 a, 上均匀分布， a(0) 已知， ( a) 未知。现有以往的数据 (看成来自 X 的简单

6、随机样本 )： x1, xn 。求的矩估计值和极大似然估计值。六（ 10 分）一公司对新研发的某一化工产品进行中期试验，在 3 种不同的加热温度（其它条件不变） A1, A2 , A3 下观察其得率（），得数据如下：A1( X1)A2 ( X 2 )A3 ( X 3 )58637160504859414560525034计算得 T657,xij236769 。设 Xi N ( i ,2 ), i1,2,3 ，且 X1 , X 2 , X3 相i 1j1互独立。请将方差分析表移到答题本上，并将表内空格填满。方差来源 平方和 自由度 均方 F 比因素误差总和在显著性水平=0.05 下，检验假设 H

7、 0 : 1 23 , H1 : 1 , 2 , 3不全相同 。试卷解答一填空题1(1) 0.9(2)6/72. (3) 800(4)4/5(5)624/625=0.9984(6)0.843(7) N(-1,19)(8)0(9)4. (10)不是无偏估计(11) 1.88(13)XS t0.05 (9) X0.5787 S10二（ 1） p1 e 0.50.6065（2） p20.7(1e 0.5 ) 0.3(1 e 2 )（3） p3e 0.25 (1e 0.25 )0.43781e0.5三（ 1）3 x3x2,0 x1fX ( x)xdy0, f Y ( y)0,其它f ( x, y)f

8、X ( x) fY ( y),X与 Y不独立。独立，因为 Z1与Z2 不相关(12) 0(14) 9S202.95 (9), 即 S2 0.36890.53481y2 ) 18, 0 y 3xdx (9y/30,其它（ 2） fY X ( y x)1 ,0 y3x3x0,其它xdx15z2,0z1z32z/ 4（ 3） fZ ( z)f (x, zx)dxxdx16 z21z4,1z/ 4320,其它四记甲乙丙排队时间分别为X1, X2 , X 3 分钟，1 exe 1（ 1） P X1 2020 dx0.36792020Ymin X1 , X 2 , X3 （ 2）20P X1 20, X

9、220, X 320 P X1 20 3e 30.0498P Yy0, FY ( y)0（ 3）0, FY ( y)1 P X1 y 31e 3 yy3 y3 e 20 ,y0fY ( y)200,y0五矩估计： E( X )a令 E( X )x,? 2x a,2极大似然估计：1, amin x ,max x ,? max x L( )( a) niii六方差来源平方和自由度均方F 比因素418.52209.254.959误差379.75942.194总和798.2511因为 F0.05 (2,9)4.26F比，所以拒绝原假设。20102011 学年春夏学期概率论与数理统计试卷(0.17)0.

10、57,(0.91)0.82,(1.645)0.95,(1.96)0.975,注： t 0.05 (8)1.86, t 0.025(8)2.31,02.05(5)11.07,02.05(4)9.49,2(8)2.18,2(8)2.73,2(8)15.51,2(8)17.53.0.9750.950.050.025一填空题（每小格3 分，共 42 分）：1. 某人在外兼职，设一次的劳务收入 X （以元计）在区间（ 22，32）上均匀分布，且各次收入独立，则X 的分布函数F (x)；4 次兼职_中至少有 2 次收入不少于 30 元的概率为 _，4 次兼职的平均收入为 _元 .2. 一批产品的寿命服从均

11、值为 1 的指数分布，今从中随机独立取两件，分别用X1 , X 2记其寿命，设 Wk1,X kk ,0,X kk 1,2 则 W1 的概率分布律为k .；记 YWW ,Ymax(W , W )，则 Y 的概率分布律为1122121_， Y2的概率分布律为._3. 某煤矿一天的产煤量 X （以吨计）的均值为 1.5 吨，标准差为 0.2 吨，设各天产煤量相互独立， Y 表示一个月（按 30 天计）的产煤量 . 用切比雪夫不等式估计 P Y452_；用中心极限定理计算P Y46 近似等于 _.4 设总体 X N (, 2 ) ， X1 , , X 9为来自 X 的简单随机样本， X19Xi ，9

12、i1S21 9( XiX )2，则 2X1 X 服从 _分布（要求写出参数）；8 i 19( X)2 服从 _分布（要求写出参数）；对于假设2H 0 :2, H1 :2 的显著水平为 0.05 的拒绝域为 _；X12 X2与 X1X 2 的相关系数为 _5为测量一山脉离开海平面的高度，共测了9 次，得 9 次的平均高度 x 3863米，标准差 s 25.8 米 . 假设样本来自总体 N ( ,2 ), , 2 均未知，则置信度为95的的置信区间为 _，2 的置信区间为_。二 (8分)小李每天坐公交车上班，设他可能的等车时间为X 分钟，其分布律为 P( X5)P(X10) P( X 20) 1/

13、 3 ，（ 1）求等车时间不超过 10 分钟的概率；（ 2）记 Ymax( X ,10) ，求 Y 的分布函数。三（ 12 分）设 X1与 X 2 为两随机变量，它们的取值均为0,1,2 ，已知P X1 i1/ 3, i0,1,2,P X 2j X10.4,ij,i, j 0,1,2 求iij0.3,1.（ 1）P X 22 X10；（ ）P X 22 ；（ 3） X1与X 2 的协方差2四（ 12 分）设某一路段每天特定时间段内发生的交通事故数 X 的观察数据统计如下：次数 x012345频数10182524149试在显著性水平5%下，检验假设 H 0: X 服从均值为 2.5 的泊松分布。

14、五（ 14 分） 设总体 X N (1, 2 ),2 未知， X1, , Xn为来自 X 的简单随机样本，（1）求2 的矩估计量，并判断其是否为2 的相合估计；（ 2）求2 的极大似然估计量，并判断其是否为2 的无偏估计六 （ 12 分）设二元随机变量( X ,Y ) 具有概率密度函数f ( x, y)6 y,0 yx1,，求： (1)求 X 的边际概率密度 f X (x) ；(2)求0,其他.条件概率密度fY X ( y 32 ) ；(3)设 Z XY ，求 Z 的概率密度 f Z ( z) 试卷解答0,x22,一 1. F ( x)x22 ,22x32,， 113/625=0.1808,1

15、08101,x322.0101011e1e1 ,1e3e3 ,(1e1)(1e2) 1(1 e1)(1 e2)3.0.7,0.824.N (,112 ),2 (1),S21.365,105.310(386319.866),(303.77,2442.72)二(1)P( X10)2 /30,y10,(2)FY ( y)P(max( X ,10)y)2/ 3,10y20,1,y20.三(1)P( X 22 X10)1 P( X 20 X10)P( X 21 X10)0.3,(2)P( X 22)P( X10)P( X 22 X10)P( X11)P( X 22 X11)P( X12)P( X 22

16、X12)1/ 3,X1X 2012p04 /303/ 303/ 301/ 3(3)13/ 304 /303/ 301/ 323/ 303/ 304 /301/ 3p1/ 31/ 31/ 31E( X1 )E( X 2 )1,E( X1 X 2 )16 /15,Cov( X1, X 2 )E( X1 X 2 )E( X1 )E( X 2 )1/15.四次数 x012345频数10182524149pi0.0820.2050.2570.2140.1340.108npi8.220.525.721.413.410.825ni2n 1.36,02.05 (5) 11.07i0npi202.05 (5),

17、接受 H 0 .五 (1)方法一：PE( X 2 )2 1, 令 E( X 2 ) A2 ,?2A2 1, ?22 ,是相合估计，方法二：2 , 令 D (X ) B2 ,?2B2 , ?2PD ( X )2 ,是相合估计 ;（ 2）n1)2L( 2 )n2 )n( Xi(2 )2 (2 expi122n( Xi1)22 )n ln(2n ln2ln L()i 12222n1)2d ln L( 2 )ni 1 ( X i0d22224n1)22( X ii 1?nE( ?2 )E( X i1)22,是无偏估计 .六(1) f X (x)f ( x, y)dy3x2,0x 1,0,其他 .(2) fY X ( y2f ( 32 , y)92 y, 0 y32 ,3 )fX ( 32 )0,其他 .(3) z0, FZ ( z)0,z1, FZ ( z)1,1zx0 z1, FZ ( z) P( XYz)1dx6ydy 1 ( z 1)3 ,z0f Z ( z)3(1z)2 ,0z1,0,其他 .