ddd模拟滤波器的设计

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1、6.2 模 拟 滤 波 器 的 设 计 模 拟 滤 波 器 的 理 论 和 设 计 方 法 已 发 展 得 相 当 成 熟 ， 且有 若 干 典 型 的 模 拟 滤 波 器 供 我 们 选 择 ， 这 些 滤 波 器 都有 严 格 的 设 计 公 式 、 现 成 的 曲 线 和 图 表 供 设 计 人 员 使用 。 典 型 的 模 拟 滤 波 器 巴 特 沃 斯 Butterworth 滤 波 器 幅 频 特 性 单 调 下 降 切 比 雪 夫 Chebyshev 滤 波 器 幅 频 特 性 在 通 带 或 者 在 阻 带 有 波 动 椭 圆 Ellipse 滤 波 器 贝 塞 尔 Besse

2、l 滤 波 器 通 带 内 有 较 好 的 线 性 相 位 持 性 为 什 么 要 借助 于 模 拟 滤波 器 设 计 数字 滤 波 器以 这 些 数 学 函数 命 名 的 滤 波 器 是 低 通 滤 波器 的 原 型 模 拟 滤 波 器 按 幅 度 特 性 可 分 成 低 通 、 高 通 、 带通 和 带 阻 滤 波 器 ， 它 们 的 理 想 幅 度 特 性 如 图 所示 。 )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c 通 常 只 观 察 正频 部 分 设 计 滤 波 器 时 ， 总 是 先 设 计 低 通 滤 波 器 ， 再 通过

3、 频 率 变 换 将 低 通 滤 波 器 转 换 成 希 望 类 型 的 滤波 器 。 下 面 我 们 先 介 绍 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 和 逼 近方 法 ， 然 后 分 别 介 绍 巴 特 沃 斯 滤 波 器 和 切 比 雪夫 滤 波 器 的 设 计 方 法 。 1.模 拟 低 通 滤 波 器 的 设 计 指 标 及 逼 近 方 法 模 拟 低 通 滤 波 器 的 设 计 指 标 构 造 一 个 逼 近 设 计 指 标 的 传 输 函 数 Ha(s) Butterworth（ 巴 特 沃 斯 ） 低 通 逼 近 Chebyshev（ 切 比 雪 夫 ） 低 通 逼 近 模

4、拟 低 通 滤 波 器 的 设 计 指 标 有 p, p, s和 s。 p； 通 带 截 止 频 率 s： 阻 带 截 止 频 率 p： 通 带 中 最 大 衰 减 系 数 s； 阻 带 最 小 衰 减 系 数 p和 s一 般 用 dB数 表 示 。 对 于 单 调 下 降的 幅 度 特 性 ， 可 表 示 成 ： 2 22 2( 0) ( 0)10lg 10lg ( )( )a ap s a sa pH j H jH jH j 1.模 拟 低 通 滤 波 器 的 设 计 指 标 及 逼 近 方 法 (续 ) 如 果 =0处 幅 度 已 归 一 化 到 1， 即 |Ha(j0)|=1,p和s表

5、 示 为 以 上 技 术 指 标 用 图 所 示 。 图 中 c称 为 3dB截 止 频率 ， 因 2210lg ( )10lg ( )p a ps a sH jH j ( ) 1/ 220lg ( ) 3 a c a cH j H j dB 滤 波 器 的 技 术 指 标 给 定 后 ， 需 要 构 造 一 个 传输 函 数 Ha(s)， 希 望 其 幅 度 平 方 函 数 满 足 给 定的 指 标 p和 s， 一 般 滤 波 器 的 单 位 冲 激 响 应为 实 数 ， 因 此2( ) ( ) ( )( ) ( )a a a s j a aH j H j H jH s H s 逼 近 方

6、法 用 频 率 响 应 的 幅 度 平 方 函 数 逼 近幅 度 平 方 函 数 在 模 拟 滤 波 器 的 设 计中 起 很 重 要 的 作 用 ， 对 于 上 面 介 绍的 典 型 滤 波 器 ， 其 幅 度 平 方 函 数 都有 自 己 的 表 达 式 ， 可 以 直 接 引 用 。 (1)由 幅 度 平 方 函 数 确 定 模 拟 滤 波器 的 系 统 函 数2 *( ) ( ) ( )a a aH j H j H j ( ) ( )a a s jH s H s h(t)是 实 函 数2( )aH j( )aH s( ) ( )a aH j H j 将 左 半 平 面 的 的 极 点

7、归 ( )aH s将 以 虚 轴 为 对 称 轴 的 对 称零 点 的 任 一 半 作 为 的 零 点 ， 虚 轴 上 的 零 点 一半 归 ( )aH s( )aH s 由 幅 度 平 方 函 数 得 象 限 对 称 的 s平 面 函 数 将 因 式 分 解 ， 得 到 各 零 极 点( ) ( )a aH s H s 对 比 和 ， 确 定 增 益 常 数( )aH j ( )aH s 由 零 极 点 及 增 益 常 数 ， 得 ( )aH s2( ) ( )a aH j H s由 确 定 的 方 法 2、 Butterworth 低 通 的 设 计 方 法幅 度 平 方 函 数 1） 幅

8、 度 函 数 特 点 2） 幅 度 平 方 函 数 的 极 点 分 布 3） 滤 波 器 的 系 统 函 数 4） 滤 波 器 的 设 计 步 骤 1） 幅 度 平 方 函 数2 21( ) 1a NcH j 当 2( ) 1/2a cH j 时称 为 Butterworth低 通 滤 波 器 的 3分 贝 带 宽c ( 0)20lg 3( )ap a cH j dBH j N为 滤 波 器 的 阶 数c 为 通 带 截 止 频 率 2） 幅 度 函 数 特 点 ：2 21( ) 1a NcH j 20 ( ) 1aH j 2( ) 1/2 3c a pH j dB 3dB不 变 性c 通 带

9、 内 有 最 大 平 坦 的 幅 度 特 性 ， 单 调 减 小 c 过 渡 带 及 阻 带 内 快 速 单 调 减 小 Butterworth低 通 滤 波 器 的 幅 度 函 数 只 由 阶 数 N控 制 Butterworth滤 波 器 是 一 个 全 极 点 滤 波 器 ， 其 极 点 ：2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )11a a a s jNcH j H j H jH j H j H s H ssj 1 2 11 2 22( 1) 0.1,2,.,2 1kj NNk c cs j e k N 2） 幅 度 平 方 函 数 的 极 点 分 布 ： 2N个 极

10、点 等 间 隔 分 布 在 半 径 为 的 圆 上(该 圆 称 为 巴 特 沃 斯 圆 )， 间 隔 是 N rad。c c 极 点 在 s平 面 呈 象 限 对 称 ， 分 布 在 Buttterworth圆 上 ， 共 2N点 极 点 间 的 角 度 间 隔 为 / N rad 极 点 不 落 在 虚 轴 上 N为 奇 数 ， 实 轴 上 有 极 点 ， N为 偶 数 ， 实 轴 上 无 极 点一 半 极 点 在 左 半 平 面 一 半 极 点 在右 半 平 面 ？ 为 形 成 稳 定 的 滤 波 器 ， 2N个 极 点 中 只 取 s平 面 左 半 平面 的 N个 极 点 构 成 Ha(

11、s)， 而 右 半 平 面 的 N个 极 点 构 成Ha(-s)。 Ha(s)的 表 示 式 为 230 12 1 3 32 3 134 5 jc cj jc c jc cs e ss e s es s e 10( ) ( )Nca N kkH s s s 设 N=3， 极 点 有 6个 ， 它 们 分 别 为32 23 3( ) ( )( )( )aa j j c c cH s s s s 由 于 各 滤 波 器 的 幅 频 特 性 不 同 ， 为 使 设 计统 一 ， 将 所 有 的 频 率 归 一 化 。 这 里 采 用 对 3dB截 止 频 率 c归 一 化 ， 归 一 化 后 的 H

12、a(s)表 示 为 式 中 ， s/ c=j / c。 令 = / c， 称 为 归 一 化 频 率 ； 令p=j ， p称 为 归 一 化 复 变 量 ， 这 样 归 一 化 巴 特沃 斯 的 传 输 函 数 为 10 1( ) ( )a N kk c cH s s s 10 1( ) ( )a N kkH p p p 3） 归 一 化 系 统 函 数 pk为 归 一 化 极 点 ， 用 下 式 表 示 ： 将 极 点 展 开 可 得 到 的 Ha(p)的 分 母 p的 N阶多 项 式 ， 用 下 式 表 示 ： 1 2 1( )2 2 , 0,1, , 1kj Nkp e k N 2 10

13、 1 2 11( )a N NNH p b b p b p b p p 上 式 为 Buttterworth低 通 滤 波 器 的 归 一 化 系 统函 数 ， 分 母 多 项 式 的 系 数 有 表 可 查 。 4） 阶 数 N与 技 术 指 标 的 关 系2 21( ) 1a p NpcH j /10/1010 110 1 psspk 根 据 技 术 指 标 求 出 滤 波 器 阶 数 N：p p s s 确 定 技 术 指 标 ：20lg ( )P a pH j 由 12 /101 10 pNpc 得 ： 2 /101 10 sNsc 同 理 ： ssp p 令 lglg spspkN

14、则 ： /10/1010 110 1psNps 技 术 指 标 转化 为 阶 数取 大 于 等 于 N的 最 小 整 数 关 于 3dB截 止 频 率 c， 如 果 技 术 指 标 中 没有 给 出 ， 可 由 下 式 求 出 10.1 210.1 2(10 1)(10 1)p sa Nc p a Nc s 因 为 反 归 一 时 要 用 此 参 数 5） 低 通 巴 特 沃 斯 滤 波 器 的 设 计 步 骤 (1)根 据 技 术 指 标 p,p,s和 s， 求 出 滤波 器 的 阶 数 N。 (2)求 出 归 一 化 极 点 pk， 由 pk构 造 归 一化 传 输 函 数 Ha(p)。

15、(3)将 Ha(p)反 归 一 化 ，( ) ( )a a a csH s H p H 10.1 210.1 2(10 1)(10 1)psa Nc p a Nc s 阻 带 指 标 有 富 裕通 带 指 标 有 富 裕此 环 节 可 由查 表 得 到 巴 特 沃 斯 归 一 化 低 通 滤 波 器 的 极 点 巴 特 沃 斯 归 一 化 低 通 滤 波 器 分 母 多 项 式 系 数 10 Nbb注 意 ： 巴 特 沃 斯 归 一 化 低 通 滤 波 器 分 母 多 项 式 的 因 式 分 解 例 6.2.1 已 知 通 带 截 止 频 率 fp=5kHz， 通 带 最 大衰 减 p=2dB

16、， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz， 阻 带最 小 衰 减 s=30dB， 按 照 以 上 技 术 指 标 设 计巴 特 沃 斯 低 通 滤 波 器 。 解 (1) 确 定 阶 数 N。 0.10.110 1 0.024210 12 2.42lg0.0242 4.25, 5lg2.4psasp as ssp p pk ffN N (2) 由 其 极 点 为1 1 2 1( )2 2 2( 1) ( ) kjN Nk c cs j e 3 45 50 1 652 3754 ,j jjjjs e s es e s es e 传 输 函 数 4 0 1( ) ( )a kkH p s s

17、或 由 N=5， 直 接 查 表 得 到 ： 极 点 ： -0.3090 j0.9511,- 8090 j0.5878; -1.0000 系 数 ：b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23615 4 3 2 4 3 2 1 01( )aH p p b p b p b p b p b 先 求 3dB截 止 频 率 c 10.1 210.1 2(10 1) 2 5.2755 /(10 1) 2 10.525 /psa Nc p a Ns c krad skrad s 将 c代 入 (6.2.18)式 ， 得 到 ：将 p=s/c代 入 Ha(p

18、)中 得 到 ： 55 4 2 3 3 2 4 54 3 2( ) 1 0ca c c c c cH s s b s b s b s b s b （ 3） 为 将 Ha(p)去 归 一 化 此 时 算 出 的 截 至 频 率 比 题 目 中 给 出 的 小 ， 或 者 说 在截 至 频 率 处 的 衰 减 大 于 30dB， 所 以 说 阻 带 指 标 有 富 裕量 。 3.Chebyshev低 通 滤 波 器 的 设 计 方 法 提 出 的 背 景 巴 特 沃 斯 滤 波 器 的 频 率 特 性 曲 线 ， 无 论 在通 带 和 阻 带 都 是 频 率 的 单 调 函 数 。 因 此 当 通

19、带 边 界 处 满 足 指 标 要 求 时 ， 通 带 内 肯 定 会 有 余量 。 因 此 ， 更 有 效 的 设 计 方 法 应 该 是 将 精 确 度均 匀 地 分 布 在 整 个 通 带 内 ， 或 者 均 匀 分 布 在 整个 阻 带 内 ， 或 者 同 时 分 布 在 两 者 之 内 。 这 样 ，就 可 用 阶 数 较 低 的 系 统 满 足 要 求 。 这 可 通 过 选择 具 有 等 波 纹 特 性 的 逼 近 函 数 来 达 到 。 1） Chebyshev低 通 滤 波 器 的 幅 度 平 方 函 数 22 2 21( ) ( ) 1 ( )a N pA H j C Ch

20、ebyshev 型 滤 波 器 的 幅 度 平 方 函 数2 2 2 2 21 1( ) 1 ( ) 1 ( )a N Np cH j C C 2 2 2, 1( ) 1 ( )C p pa NH j C 归 一 化 N： 滤 波 器 的 阶 数Chebyshev 型 滤 波 器 幅 度 平 方 函 数 ：2 2 21( ) 1 ( )a N cH j C ： 截 止 频 率 ， 不 一 定 为 3dB带 宽c ， 表 示 通 带 波 纹 大 小 ， 越 大 ， 波 纹 越 大0 1 ： N阶 Chebyshev多 项 式( )NC xs=s/p 当 N=0时 ， C0(x)=1； 当 N=1

21、时 ， C1(x)=x； 当 N=2时 ， C2(x)=2x 2 -1； 当 N=3时 ， C3(x)=4x 3 -3x。 由 此 可 归 纳 出 高 阶 切 比 雪 夫 多 项 式 的 递推 公 式 为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 11cos( cos ) 1( ) ( ) 1N N x xC x ch Nch x x 等 波 纹 幅 度 特 性单 调 增 加前 两 项 给 出 后 才能 迭 代 下 一 个 cx N=0,4,5切 比 雪 夫 多 项 式 曲 线 2( ) 1/ 1c aH j 1） 幅 度 函 数 特 点 ： 通 带 外 ： 迅 速 单 调 下

22、降 趋 向 0c 2 21( ) 1a N cH j C N为 偶 数 2( 0) 1/ 1aH j N为 奇 数 ( 0) 1aH j 通 带 内 ： 在 1和 间 等 波 纹 起 伏c 21/ 1 0 切 比 雪 夫 型 与 巴 特 沃 斯 低 通 的 幅 度 函 数 平 方 曲 线 2） Chebyshev滤 波 器 的 三 个 参 量 ：2 2 102 2 220lg ( ) 10lg ( )1 1( ) 101 (1) 1 pp a p a pa p NH j H jH j C ： 通 带 截 止 频 率 ， 给 定p ： 表 征 通 带 内 波 纹 大 小 由 通 带 衰 减 决

23、定20.12 10lg(1 )10 1pp 设 阻 带 的 起 始 点 频 率 (阻 带 截 止 频 率 )用 s表 示2 2 22 20.12 2 0.12 2 0.10.12 0.10.1 0.10.1 1 110lg ( ) 10lg 10lg1 ( )1 ( )( ) 10 1 10 1( )=cosh ( arccos ) 10 110 1 10 1arccos10 1 10 1arccos arccos a10 1s spp ss pps a s s N sN Pa aN s N s s aasa H j CCC C NN N 已 知 rccos s 滤 波 器 阶 数 N 的 确

24、 定阻 带 衰 减 越 大 所 需 阶 数 越 高 3） 幅 度 平 方 特 性 的 极 点 分 布 以 上 p, 和 N确 定 后 ， 可 以 求 出 滤 波 器 的 极点 ， 并 确 定 Ha(p)， p=s/ p。 有 用 的 结 果 。 设 Ha(s)的极 点 为 si= i+j i， 可 以 证 明 ： 2 1sin( )2 , 1,2,3, ,2 1cos( )2i p i p ish N i Nich N 12 22 2 2 21 1( ) 1i ip pshNsh ch 上 式 是 一 个 椭 圆 方 程 ， 因 为 ch(x)大 于 sh(x)，长 半 轴 为 pch (在

25、虚 轴 上 )， 短 半 轴 为 psh (在 实 轴 上 )。 令 b p和 a p分 别 表 示 长半 轴 和 短 半 轴 ， 可 推 导 出 ： 1 1 1 121( )21( )21 1 1N NN Nab (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 因 此 切 比 雪 夫 滤 波 器 的 极 点 就 是 一 组 分 布 在 长半 轴 为 bp ， 短 半 轴 为 ap的 椭 圆 上 的 点 。 设 N=3， 平 方 幅 度 函 数 的 极 点 分 布 如 图 6.2.8所 示(极 点 用 X表 示 )。 为 稳 定 ， 用 左 半 平 面 的 极 点 构 成Ha(p)， 即

26、 1 1( ) ( )a N iiH p c p p (6.2.32) 式 中 c是 待 定 系 数 。 根 据 幅 度 平 方 函 数 (6.2.19)式 可 导 出 ： c=2 N-1， 代 入 (6.2.32)式 ， 得 到 归 一化 的 传 输 函 数 为 1 11( ) 2 ( )a NN iiH p p p (6.2.33a) 图 6.2.8 三 阶 切 比 雪 夫 滤 波 器 的 极 点 分 布 去 归 一 化 后 的 传 输 函 数 为1 1( ) 2 ( )Npa NN i piH s s p (6.2.33b) 5.滤 波 器 的 设 计 步 骤 :0.12 10 1 ss

27、 p 1 111( )sch kN ch 1pp p 归 一 化 ： 1 2p s 1） 确 定 技 术 指 标 ： 2)根 据 技 术 指 标 求 出 滤 波 器 阶 数 N及 ： 0.111 0.110 110 1spk 其 中 ： 1 2ln 1pch x x x 3） 求 出 归 一 化 系 统 函 数 ：( )a a a psH s H p H （ ） =或 者 由 N和 ， 直 接 查 表 得 ( )aH p其 中 极 点 由 下 式 求 出 ：4） 去 归 一 化 1 1/(2 1) (2 1)sin cos 2 21( ) 2 ( )( ) ( ) pia NN iia a p

28、 sk kp ch jchN NH p p pH s H p 例 6.2.2设 计 低 通 切 比 雪 夫 滤 波 器 ， 要求 通 带 截 止 频 率 fp=3kHz， 通 带 最 大 衰 减p=0.1dB， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz， 阻 带最 小 衰 减 s=60dB。 解 (1) 滤 波 器 的 技 术 指 标 ： 0.1 , 260 , 2 1, 4p p pp s ssp s pdB fdB fff (2) 求 阶 数 N和 ：1 111 0.111 0.11 10.1 0.01( )( )10 1 655310 1(6553) 9.47 4.6, 52.06(4)

29、10 1 10 1 0.1526spp saaach kN chk chN Nch 此 过 程 可 直 接 查 表 (3) 求 归 一 化 系 统 函 数 Ha(p):5(5 1) 11( ) 0.1526 2 ( )a iiH p p p 由 (6.2.38)式 求 出 N=5时 的 极 点 pi， 代 入 上 式 ， 得 到 ：2 21 1( ) 2.442( 0.5389)( 0.3331 1.1949) 0.8720 0.6359aH p p p p p p (4)将 Ha(p)去 归 一 化 ， 得 到 ： / 7 2 6 142 7 141( ) ( ) ( 1.0158 10 )

30、( 6.2788 10 4.2459 10 )11.6437 10 2.2595 10pa a p sH s H p s s ss s 此 过 程 也 可 直 接查 表 完 成 小 结 ： 模 拟 滤 波 器 设 计 的 步 骤 ),( cN 通 带 截 止 频 率 、 通 带 衰 减p p阻 带 截 止 频 率 、 阻 带 衰 减s su确 定 滤 波 器 的 技 术 指 标 ：u将 模 拟 滤 波 器 的 技 术 指 标 设 计 转 化 为 低 通原 型 滤 波 器 的 参 数Butterworth低 通 滤 波 器Chebyshev低 通 滤 波 器 ),( cN u构 造 归 一 化 低 通 原 型 滤 波 器 的 系 统 函 数u反 归 一