《误差与不确定度》PPT课件

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1、电 子 测 量 与 仪 器第 二 章 误 差 与 不 确 定 度 本 章 要 点 ： u误 差 的 概 念 与 表 示 方 法 u随 机 误 差 、 系 统 误 差 和 粗 大 误 差 的 特 性 和 处 理 方 法 u测 量 不 确 定 度 的 概 念 和 评 定 方 法 u 测 量 数 据 处 理 的 方 法 本 章 是 测 量 技 术 中 的 基 本 理 论 ， 搞 测 量 就 得与 误 差 打 交 道 。 电 子 测 量 与 仪 器2.1 误 差 的 概 念 与 表 示 方 法 误 差 =测 量 值 -真 值 例 如 ， 在 电 压 测 量 中 ， 真 实 电 压 5V， 测 得 的

2、电 压 为 5.3V， 则 误 差 = 5.3V - 5V = +0.3V 真 值 为 “ 表 征 某 量 在 所 处 的 条 件 下 完 善 地 确 定 的 量 值 ” 。真 值 是 一 个 理 想 的 概 念 。 真 值 客 观 存 在 ， 却 难 以 获 得 。 实 际 值 -实 际 测 量 中 常 把 高 一 等 级 的 计 量 标 准 测 得 的 实 际值 作 为 真 值 使 用 。“ 实 际 值 ” “ 约 定 真 值 ” 。 2.1.1 测 量 误 差 例 如 ： 现 在 是 什 么 时 间 ？ 能 准 确 地 报 出 北 京 时 刻 吗 ？ 电 子 测 量 与 仪 器2.1.2

3、 误 差 的 来 源 1.仪 器 误 差 指 针 式 仪 表 的 零 点 漂 移 、 刻 度 误 差 以 及 非 线 性 引 起 误 差 ； 数 字 式 仪 表 的 量 化 误 差 （ 如 5位 半 的 电 压 表 比 3位 半 量 化 误 差 小 ） ； 比 较 式 仪 表 中 标 准 量 本 身 的 误 差 （ 如 天 平 的 砝 码 ） 均 为 仪 器 误 差 。 2.方 法 误 差 由 于 测 量 方 法 不 合 理 造 成 的 误 差 称 为 方 法 误 差 。 例 如 ： 用 普 通 模 拟 式 万 用 表 测 量 高 阻 上 的 电 压 。 100k1mA v100k 100 ?

4、50V V电 压 表内 阻 电 子 测 量 与 仪 器3 理 论 误 差 测 量 方 法 建 立 在 近 似 公 式 或 不 完 整 的 理 论 基 础 上 以 及 用 近 似 值 计算 测 量 结 果 时 所 引 起 的 误 差 称 为 理 论 误 差 。 例 如 ， 用 谐 振 法 测 量频 率 时 ， 常 用 的 公 式 为 0 1f = 2 LC但 实 际 上 ， 回 路 电 感 L中 总 存 在 损 耗 电 阻 r， 其 准 确 的 公 为 2 0 1 r Cf = 1- L2 LC 电 子 测 量 与 仪 器4 影 响 误 差 由 于 各 种 环 境 因 素 与 要 求 不 一 致

5、 所 造 成 的 误 差 称 为 影 响 误 差 。例 如 ， 环 境 温 度 、 预 热 时 间 、 电 源 电 压 、 内 部 噪 声 、 电 磁 干 扰等 条 件 与 要 求 不 一 致 ， 使 仪 表 产 生 的 误 差 。 5 人 身 误 差 由 于 测 量 者 的 分 辨 能 力 、 疲 劳 程 度 、 责 任 心 等 主 观 因 素 ， 使 测量 数 据 不 准 确 所 引 起 的 误 差 。 研 究 误 差 理 论 的 目 的 是 分 析 产 生 误 差 的 原 因 和 规 律 ， 识 别 误 差的 性 质 ， 正 确 处 理 测 量 数 据 ， 合 理 计 算 所 得 结 果

6、 ， 在 一 定 测 量条 件 下 ， 尽 力 设 法 减 少 误 差 ， 保 证 测 量 误 差 在 容 许 的 范 围 内 。 电 子 测 量 与 仪 器2.1.3 误 差 的 表 示 方 法 相 对 误 差 绝 对 误 差 1.绝 对 误 差 ： 定 义 ： 被 测 量 的 测 量 值 x与 其 真 值 A0之 差 ， 称 为 绝 对 误 差 。 在 实 际 测 量 中 ： “ 约 定 真 值 ” “ 实 际 值 ” = A 表 示 修 正 值 ： 与 绝 对 误 差 大 小 相 等 ， 符 号 相 反 的 量 值 称 为 修 正 值 ， 一 般 用 C表 示 C= x=A x 大 小

7、正 负 单 位 x =x A0 x=x A 电 子 测 量 与 仪 器2 相 对 误 差 ： 例 ： 用 二 只 电 压 表 V1和 V2分 别 测 量 两 个 电 压 值 。V1 表 测 量 150伏 ， 绝 对 误 差 x1=1.5伏 ， V2 表 测 量 10伏 ， 绝 对 误 差 x2=0.5伏 从 绝 对 误 差 来 比 较 x1 x2 谁 准 确 ？ x 11 1 1.5= 100% = 10% = 1%U 150 x 22 2 0.5= 100% = 100% = 5%U 10 用 相 对 误 差 便 于 比 较 -表 示 相 对 误 差 电 子 测 量 与 仪 器相 对 误 差

8、 可 以 有 多 种 形 式 ： x 0= 100%A x = 100%A xx x = 100%xxm m= 100% =S% 真 值 相 对 误 差 实 际 值 相 对 误 差 测 量 值 （ 示 值 ） 相 对 误 差 满 度 （ 或 引 用 ） 相 对 误 差 常 用因 通 常 A0、 A、 X X 故 常 用 X方 便 电 子 测 量 与 仪 器测 量 值 相 对 误 差 x与 满 度 相 对 误 差 S%的 关 系 ： x x xx xx xx x x x m m mx m m = 100%= 100%= 100% = S%xx mx = S% 测 量 值 x靠 近 满 量 程 值

9、 xm相 对 误 差 小电 工 仪 表 将 满 度 相 对 误 差 分 为 七 个 等 级 ： 等 级 一 二 三 四 五 六 七 S% 0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.5 5.0 电 子 测 量 与 仪 器例 ： 检 定 量 程 为 100A的 2级 电 流 表 ， 在 50A刻 度 上 标 准 表读 数 为 49A， 问 此 电 流 表 是 否 合 格 ？ 解 ： x0=49A x=50A xm=100Ax xx 0m m- 50-49= 100%= 100%=1%2%100 （ 二 级 表 ） 电 子 测 量 与 仪 器用 分 贝 （ dB） 表 示 相 对 误 差 相 对

10、误 差 也 可 用 对 数 形 式 （ 分 贝 数 ） 表 示 ， 主 要 用 于 功 率 、电 压 的 增 益 （ 衰 减 ） 的 测 量 中 。 功 率 等 电 参 数 用 dB表 示 的 相 对 误 差 为 dB x =10lg(1+ )dBx （ 2.9） 电 压 、 电 流 等 参 数 用 dB表 示 的 相 对 误 差 为 dB x =20lg(1+ )x x=20lg(1+ )dB 电 子 测 量 与 仪 器2.1.4 误 差 按 性 质 分 类 系 统 误 差 随 机 误 差 粗 大 误 差 随 机 误 差 -不 可 预 定 方 式 变 化 的 误 差 （ 同 随 机 变 量

11、）系 统 误 差 -按 一 定 规 律 变 化 的 误 差粗 大 误 差 -显 著 偏 离 实 际 值 的 误 差 电 子 测 量 与 仪 器2.1.5 测 量 结 果 的 评 价 系 统 误 差 小 ， 准 确 度 高 A或AXi Xi随 机 误 差 小 ， 精 密 度 高 AA 或Xi系 统 误 差 和 随 机 误 差 都 较 小 ， 称 精 确 度 高 A 或XiXix= + + (粗 大 误 差 ) 电 子 测 量 与 仪 器2.1.6 不 确 定 度 不 确 定 度 是 建 立 在 误 差 理 论 基 础 上 的 一 个 新 概 念 。 在 传 统 误 差 理 论 中 ， 总 想 确

12、 定 “ 真 值 ” ， 而 真 值 却 又 难 以 确 定 ，导 致 测 量 结 果 带 有 不 确 定 性 。 国 际 上 开 始 寻 求 以 最 佳 方 式 估 计 被 测 量 的 值 ， 引 入 了 不 确 定度 的 概 念 。 不 确 定 度 愈 小 ， 测 量 结 果 的 质 量 愈 高 ， 愈 接 近 真 值 ，可 信 程 度 愈 高 。 AX=A x x 偏 离 真值 的 大小总 想确 定“ 真值 ”误 差 Y=y U U 被 测 量 可能 分 散 的程 度真 值 所处 范 围的 估 值不 确 定 度y 电 子 测 量 与 仪 器2.2 随 机 误 差 2.2.1 定 义 与

13、性 质 测 量 术 语 ： “ 等 精 度 测 量 ” 在 相 同 条 件 （ 同 一 人 、 同 一 仪 器同 一 环 境 、 同 一 方 法 ） 下 ， 对 同 一 量 进 行 重 复 测 量 ， 称 为 等 精 度测 量 。 随 机 误 差 定 义 ： 在 等 精 度 测 量 下 ， 误 差 的 绝 对 值 和符 号 都 是 不 定 值 ， 称 为 随 机 误 差 ， 也 称 偶 然 误 差 、或 然 误 差 ， 简 称 随 差 。 随 机 误 差 概 念 -不 可 预 定 方 式 变 化 的 误 差 （ 同 随 机 变 量 ） 电 子 测 量 与 仪 器举 例 ： 对 一 电 阻 进

14、行 n=100次 等 精 度 测 量表 2.2 按 大 小 排 列 的 等 精 度 测 量 结 果 测 量 值 xi（ ） 相 同 测 值 出 现 次 数 mi 相 同 测 值 出 现 的 概 率 Pi=mi/n9.95 2 0.029.96 4 0.049.97 6 0.069.98 14 0.149.99 18 0.18 10.00 22 0.2210.01 16 0.1610.02 10 0.1010.03 5 0.0510.04 2 0.0210.05 1 0.01 电 子 测 量 与 仪 器 电 子 测 量 与 仪 器P(x) x0 随 机 误 差 性 质 ： 服 从 正 态 分 布

15、 ， 具 有 以 下 4个 特 性 ： 对 称 性 绝 对 值 相 等 的 正 误 差 与 负误 差 出 现 的 次 数 相 等 ； 单 峰 性 绝 对 值 小 的 误 差 比 绝 对 值大 的 误 差 出 现 次 数 多 ； 有 界 性 绝 对 值 很 大 的 误 差 出 现 的机 会 极 少 ， 不 会 超 出 一 定 的 界 限 ； 抵 偿 性 当 测 量 次 数 趋 于 无 穷 大 ，随 机 误 差 的 平 均 值 将 趋 于 零 。 电 子 测 量 与 仪 器2.2.2 随 机 误 差 的 统 计 处 理 随 机 误 差 与 随 机 变 量 的 类 同 关 系 1.数 学 期 望 设

16、 x1， x2， ， xi， 为 离 散 型 随 机 变 量 X的 可 能 取 值 ， 相 应概 率 为 p1， p2， ， pi， 其 级 数 和 为 若 绝 对 收 敛 ， 则 称 其 和 数 为 数 学 期 望 ， 记 为 E(X) iipx ii ipxXE 1)( 1i ip （ 2.13）x1p1+x2p2+ +xipi+ = ii ipx1 （ 2.12） 电 子 测 量 与 仪 器在 统 计 学 中 ， 期 望 与 均 值 是 同 一 概 念1 2 11 nn iix x xx xn n （ 2.14） 算 术 平 均 值 与 被 测 量 的 真 值 最 为 接 近 ， 由 概

17、 率 论 的 大 数 定 律可 知 ， 若 测 量 次 数 无 限 增 加 ， 则 算 术 平 均 值 x必 然 趋 于 实 际 值 。 电 子 测 量 与 仪 器2.方 差 、 标 准 差方 差 是 用 来 描 述 随 机 变 量 可 能 值 对 期 望 的 分 散 的 特 征 值 。 随 机 变 量 X的 方 差 为 X与 其 期 望 E（ X） 之 差 的 平 方 的 期 望 ，记 为 D（ X） ， 即 2D( )=E -E(X)X X （ 2.15） 例 ： 两 批 电 池 的 测 量 数 据 nX0X xi nX0X xi 电 子 测 量 与 仪 器测 量 中 的 随 机 误 差

18、也 用 方 差 )(2 x 来 定 量 表 征 ： n2 2ii=11(x)= (x-x)n式 中 i( -)x x 是 某 项 测 值 与 均 值 之 差 ， 称 为 剩 余 误 差 或 残 差 ，记 作 i i=( - )v x x 。 将 剩 余 误 差 平 方 后 求 和 平 均 ， 扩 大 了离 散 性 ， 故 用 方 差 来 表 征 随 机 误 差 的 离 散 程 度 。 电 子 测 量 与 仪 器标 准 差方 差 的 量 纲 是 随 机 误 差 量 纲 的 平 方 ， 使 用 不 方 便 。 为 了 与 随 机误 差 的 量 纲 统 一 ， 常 将 其 开 平 方 ， 用 标 准

19、 差 或 均 方 差 表 示 ， 记作 n 2 ii=11= (x-x)n （ 2.16） 应 当 指 出 ， 剩 余 误 差 i应 包 含 系 统 误 差 和 随 机 误 差 i， 因 这 里只 讨 论 随 机 误 差 ， 故 认 为 系 统 误 差 已 消 除 ， 即 V x x i i i i=+ = = - 电 子 测 量 与 仪 器正 态 分 布 在 概 率 论 和 误 差 理 论 的 研 究 中 ， 已 充 分 论 证 了 绝 大 多 数 随 机 误 差的 分 布 规 律 都 可 以 用 正 态 分 布 来 描 述 ， 正 态 分 布 的 概 率 密 度 函 数为 正 态 分 布

20、2 21 -(x-)p(x)= exp 22当 知 道 正 态 分 布 的 两 个 基 本 参 数 ： 算 术 平 均 值 x 和 标 准 差 ， 该正 态 分 布 的 曲 线 形 状 则 基 本 确 定 。 P(x) x 0 电 子 测 量 与 仪 器给 出 了 x =0时 ， 三 条 不 同 标 准 差 的 正 态 分 布 曲 线 ： 1 2 3 。 标 准 差 小 ， 曲 线 尖 锐 ， 说 明 测 量 误 差 小 的 数 据占 优 势 大 ， 即 测 量 精 度 高 。 x()0 1 2 3123 电 子 测 量 与 仪 器本 书 附 录 A给 出 了 正 态 分 布 在 对 称 区

21、间 的 积 分 表 。 其 中x x xx x x-E( ) -Z= = =( ) ( ) ak= （ 2.18）式 中 k为 置 信 因 子 ， a为 所 设 的 区 间 宽 度 的 一 半 。 K=1时 ， K=2时 ， K=3时 ， P(x ) 0.9545 P(x ) 0.9973 P(x ) 0.6827图 2.7 正 态 分 布 下 不 同 区 间 出 现 的 概 率 电 子 测 量 与 仪 器 2.2.3 有 限 次 测 值 的 算 术 平 均 值 和 标 准 差 上 述 正 态 分 布 是 （ n ） 下 求 得 的 ， 但 在 实 际 测 量 中 只 能 进 行有 限 次 测

22、 量1.有 限 次 测 量 的 算 术 平 均 值 对 同 一 量 值 作 一 系 列 等 精 度 独 立 测 量 ， 其 测 量 列 中 的 全 部 测 量值 的 算 术 平 均 值 与 被 测 量 的 真 值 最 为 接 近 。 设 被 测 量 的 真 值 为 ， 其 等 精 度 测 量 值 为 x1， x2， ， xn， 则其 算 术 平 均 值 为 n1 2 n ii=11 1x= (x +x +.+x )= xn n （ 2.19） 由 于 x 的 数 学 期 望 为 ， 故 算 术 平 均 值 就 是 真 值 的 无 偏 估 计 值 。实 际 测 量 中 ， 通 常 以 算 术 平

23、 均 值 代 替 真 值 。 电 子 测 量 与 仪 器2.有 限 次 测 量 数 据 的 标 准 差 贝 塞 尔 公 式 上 述 的 标 准 差 是 在 n 的 条 件 下 导 出 的 ， 而 实 际 测 量 只 能 做 到有 限 次 。 当 n为 有 限 次 时 ， 可 以 导 出 这 时 标 准 差 为 x x xn 2i i=11s( )= ( - )n-1 （ 2.20） 这 就 是 贝 塞 尔 公 式 。 由 于 推 导 中 不 够 严 密 ， 故 )(xs 被 称 为 标准 差 的 估 值 ， 也 称 实 验 标 准 差 。 电 子 测 量 与 仪 器3.平 均 值 的 标 准

24、差 在 有 限 次 等 精 度 测 量 中 ， 如 果 在 相 同 条 件 下 对 同 一 量 值 分 m组进 行 测 量 ， 每 组 重 复 n次 测 量 ， 则 每 组 数 列 都 会 有 一 个 平 均 值 ，由 于 随 机 误 差 的 存 在 ， 这 些 平 均 值 并 不 相 同 ， 围 绕 真 值 有 一 定分 散 性 。 这 说 明 有 限 次 测 量 的 算 术 平 均 值 还 存 在 着 误 差 。 当 需要 更 精 密 时 ， 应 该 用 算 术 平 均 值 的 标 准 差 x 来 评 价 。 已 知 算 术 平 均 值 x为 n ii=11=nx x n m 1 2 m

25、1 x11 x21 xm1 2 x12 x22 xm2 . . n x1n x2n xmn 1( )s x1x 2( )s x ( )ms x2x nx s( )s( )= nxx 电 子 测 量 与 仪 器在 概 率 论 中 有 “ 几 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 之 和 的 方 差 等 于 各 个随 机 变 量 方 差 之 和 ” 的 定 理 ， 可 进 行 下 面 推 导n n2 2 2 2 2 2i i 1 2 n2 2i=1 i=11 1 1s(x)=s( x)= s( x)= s(x)+s(x)+.+s(x)n n n )()()()( 222212 xxxx n )(

26、1)(1)( 2222 xnxnnx nxx )()( 因 故 有 所 以 电 子 测 量 与 仪 器当 n为 有 限 次 时 ， 用 标 准 差 的 估 值 即 可 ， 则 nxsxs )()( （ 2.21） 结 论 ： （ 2.21） 式 说 明 ， 算 术 平 均 值 的 标 准 差 是 任 意 一 组 n次测 量 样 本 标 准 差 的 n分 之 一 。 即 算 术 平 均 值 的 标 准 差 估 值 )(xs比 样 本 标 准 差 的 估 值 )(xs 比 样 本 标 准 差 的 估 值 )(xs 小 n 倍 ， 表 明 了 各 组 平 均 值 再 平 均 以 后 数 值 更 集

27、中 了 。 这 是 由 于 随 机 误差 的 抵 偿 性 ， 测 量 次 数 越 多 ， 抵 消 程 度 越 大 ， 平 均 值 离 散 程 度越 小 ， 这 是 采 用 统 计 平 均 的 方 法 减 弱 随 机 误 差 的 理 论 依 据 。 所以 ， 用 算 术 平 均 值 作 为 测 量 结 果 ， 减 少 了 随 机 误 差 。意 义 ： （ 2.21） 式 给 实 际 测 量 带 来 了 方 便 ， 人 们 只 要 测 量 一 组 数 据 ， 求 得 标 准 差 ， 将 其 除 以 ， 则 相 当 于 得 到 了 多 组 数 据n的 算 术 平 均 值 的 标 准 差 。 电 子

28、测 量 与 仪 器归 纳 ： 有 限 次 测 值 的 算 术 平 均 值 和 标 准 差 计 算 步 骤 ：(1)列 出 测 量 值 的 数 据 表 (2)计 算 算 术 平 均 值 1 2 11 nn iix x xx xn n ( ) i iv x x 2 21 11 1( ) ( )1 1n ni ii is x x xn n (3)残 差 (4)标 准 差 的 估 计 值 （ 实 验 标 准 差 ） ( )( ) s xs x n(5)算 术 平 均 值 标 准 差 的 估 计 值 电 子 测 量 与 仪 器例 2.6 对 某 信 号 源 的 输 出 频 率 进 行 了 8次 测 量

29、， 得 测 量 值 ix的 序 列 (见 表 2.3) 。 求 测 量 值 的 平 均 值 及 标 准 偏 差 。 表 2.3 例 2.6所 用 数 据 iv 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8xi (kHz) 1000.82 1000.79 1000.85 1000.34 1000.78 1000.91 1000.76 1000.820.06 0.03 0.09 -0.42 0.02 0.15 0.00 0.06 电 子 测 量 与 仪 器解 : (1)平 均 值 （ 注 意 ,这 里 采 用 的 运 算 技 巧 ） n ii=11 0.01x= x =1000+ (82+79+85+3

30、4+78+91+76+82)=1000.76kH zn 8 211 0.2155( ) 0.1751 7inis x vn (2)用 公 式 xxv ii 计 算 各 测 量 值 残 差 列 于 表 2-3中(3)标 准 差 估 值 ( ) 1.767( ) 0.628s xs x n (4) x的 标 准 偏 差 因 整 数 位 不 变 电 子 测 量 与 仪 器2.15 对 某 直 流 稳 压 电 源 的 输 出 电 压 Ux进 行 了 10次 测 量 ， 测 量 结 果 如 下 ：求 输 出 电 压 Ux的 算 术 平 均 值 及 其 标 准 偏 差 估 值 005.50054.5)71

31、10941526113(101001.0000.5 101 iU解 ： Ux的 算 术 平 均 值 101 2)(91)( i UUiUs 101 232222222222 )10(6.1)4.6(6.46.3)4.9(6.9)4.7(6.06.5)4.2(91 i 101 23)10(56.296.4016.2196.1236.8816.9276.5736.036.3176.591 i V006.00062.0104.35391 6 标 准 偏 差 估 值 残 差 次 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10电 压 /V 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.9

32、96 5.009 5.010 4.999 5.007残 差 (10 3V) -2.4 5.6 0.6 -7.4 9.6 -9.4 3.6 4.6 -6.4 1.6 电 子 测 量 与 仪 器2.2.4 测 量 结 果 的 置 信 度 1.置 信 度 与 置 信 区 间 (百 分 比 ) (范 围 ) 置 信 度 （ 置 信 概 率 ） 就 是 用 来 描 述 测 量 结 果 处 于 某 一 范 围 内 可靠 程 度 的 量 ， 一 般 用 百 分 数 表 示 。 置 信 区 间 ， 即 所 选 择 的 这 个 范 围 ， 一 般 用 标 准 差 的 倍 数 表 示 ，)(xk如 给 定 2个

33、标 准 差 )(2 x 范 围 内 数 据 的 可 信 度 是 百 分 之 几 ？条 件 ： 必 须 先 知 道 测 值 的 分 布 ， 才 能 讨 论 置 信 问 题 。 P(x) E(x) x0 k(x)k(x) 置 信 度？ %区 间 电 子 测 量 与 仪 器2.正 态 分 布 下 的 置 信 度 K=1时 ， K=2时 ， K=3时 ， 6827.0)( xP 9545.0)( xP 9973.0)( xPk=3时 ， 即 在 以 3倍 标 准 差 3区 间 内 ， 随 机 误 差 出 现 的 概 率 为 99.73%， 而 在 这 个 区 间 外 的 概 率 非 常 小 。 图 2

34、.7 正 态 分 布 下 不 同 区 间 出 现 的 概 率68.3%95.4%99.7% 电 子 测 量 与 仪 器 3. t分 布 下 的 置 信 度 （ n200） i 3s（ x） 2 肖 维 纳 检 验 法 （ 判 则 不 严 ） a3 格 拉 布 斯 检 验 法 （ 理 论 与 实 验 证 明 较 好 ） max Gs在 一 组 测 量 数 据 中 ， 可 疑 数 据 应 极 少 。 否 则 ， 说 明 系 统 工 作 不正 常 。 P(x) E(x) x0 k(x)k(x)-3s-a-Gs 3saGs 电 子 测 量 与 仪 器2.3.4 应 用 举 例 例 2.12 对 某 温

35、 度 进 行 多 次 等 精 度 测 量 ， 所 得 结 果 列 于 表 2.7中 ，试 检 查 数 据 中 有 无 异 常 。表 2.7 例 2.12所 用 数 据序 号 测 得 值 x i 残 差 vi 序 号 测 得 值 xi 残 差 vi 序 号 测 得 值 xi 残 差 vi1 20.42 +0.016 6 20.43 -0.026 11 20.42 +0.0162 20.43 +0.026 7 20.39 -0.014 12 20.41 +0.0063 20.40 -0.004 8 20.30 -0.104 13 20.39 -0.0144 20.43 +0.026 9 20.40

36、 -0.004 14 20.39 -0.014 5 20.42 +0.016 10 20.43 +0.026 15 20.40 -0.004 电 子 测 量 与 仪 器(1） 莱 特 检 验 法 ： 从 表 中 可 以 看 出 x8=20.30 残 差 较 大 ， 是 个 可 疑 数 据 ， 404.20 x 033.0)( xs 8 0.104 8 3 ( )s x 411.20 x 016.0)( xs 3 ( ) 0.033 3 0.0991s x 3 ( ) 0.016 3 0.048s x 故 可 判 断 x8是 异 常 数 据 ， 应 予 剔 除 。 再 对 剔 除 后 数 据 计

37、 算 得 其 余 的 14个 数 据 的 i 均 小 于 3 ( )s x ， 故 为 正 常 数 据 。 电 子 测 量 与 仪 器（ 2） 肖 维 纳 检 验 法 以 n=15查 表 2.5得 k=2 .13Ks(x)= 2.13 0.033= 0.07 8 0.07 故 用 肖 维 纳 检 验 法 8 也 是 异 常 数 据 ， 剔 除 后再 按 n=14查 表 2.5得 k=2.10 ( ) 2.10 0.016 0.034ks x i 均 小 于 )( xs ， 故 余 下 的 均 为 正 常 数 据 。 （ 3） 按 格 拉 布 斯 检 验 法 取 置 信 概 率 Pc=0.99，

38、 以 n=15查 表 2.6得 G=2.70Gs=2.7 0.033=0.09 8 ， 剔 除 x8后 重 新 计 算 判 别 ，得 n=14， pc=0.99下 G值 为 2 66GS 2.66 0.016 0.04 可 见 余 下 数 据 中 无 异 常 值 。 电 子 测 量 与 仪 器2.4 系 统 误 差 上 面 所 述 的 随 机 误 差 处 理 方 法 ， 是 以 测 量 数 据 中 不 含 有 系 统误 差 为 前 提 。 实 际 上 ， 测 量 过 程 中 往 往 存 在 系 统 误 差 ， 在 某 些 情 况 下 的 系 统误 差 数 值 还 比 较 大 。 对 系 统 误

39、 差 的 研 究 较 为 复 杂 和 困 难 ， 研 究 新 的 、 有 效 的 发 现 和减 小 系 统 误 差 的 方 法 ， 已 成 为 误 差 理 论 的 重 要 课 题 之 一 。 2.4.1 系 统 误 差 的 产 生 原 因 系 统 误 差 是 由 固 定 不 变 的 或 按 确 定 规 律 变 化 的 因 素 所 造 成 ，这 些 误 差 因 素 是 可 以 掌 握 的 。1.测 量 装 置 方 面 的 因 素 仪 器 机 构 设 计 原 理 上 的 缺 点 ， 如 指 针 式 仪 表 零 点 未 调 整 正 确 ；仪 器 零 件 制 造 和 安 装 不 正 确 ， 如 标 尺

40、 的 刻 度 偏 差 、 刻 度 盘 和 指 针 的 安 装 偏 心 、 仪 器 各 导 轨 的 误 差 、 天 平 的 臂 长 不 等 ； 仪 器附 件 制 造 偏 差 ， 如 标 准 环 规 直 径 偏 差 等 。 电 子 测 量 与 仪 器2.环 境 方 面 的 因 素 测 量 时 的 实 际 温 度 对 标 准 温 度 的 偏 差 、 测 量 过 程 中 温 度 、 湿 度等 按 一 定 规 律 变 化 的 误 差 。 3.测 量 方 法 的 因 素 采 用 近 似 的 测 量 方 法 或 近 似 的 计 算 公 式 等 引 起 的 误 差 。 4.测 量 人 员 方 面 的 因 素由

41、 于 测 量 者 的 个 人 特 点 ， 在 刻 度 上 估 计 读 数 时 ， 习 惯 偏 于 某 一方 向 ； 动 态 测 量 时 ， 记 录 某 一 信 号 有 滞 后 的 倾 向 。 电 子 测 量 与 仪 器2.4.2 系 统 误 差 的 检 查 和 判 别 系 统 误 差 （ 简 称 系 差 ） 的 特 征 是 ： 恒 定 系 差 -多 次 测 量 同 一 量 值 时 ， 误 差 的 绝 对 值 和 符 号 保 持 不 变 ；变 值 系 差 -条 件 改 变 时 ， 误 差 按 一 定 的 规 律 变 化 。 1.恒 定 系 统 误 差 的 检 查 和 处 理 恒 定 系 差 （

42、恒 差 ） 常 用 的 判 断 方 法 有 以 下 几 种 1)改 变 测 量 条 件 测 量 条 件 指 测 量 者 、 测 量 方 法 和 环 境 条 件 等 ， 在 某 一 测 量 条 件 下 有 许 多 恒 差为 一 确 定 不 变 值 ， 如 改 变 测 量 条 件 ， 就 会 出 现 另 一 个 确 定 的 恒 差 ， 例 如 ， 对仪 表 零 点 的 调 整 。 2)理 论 分 析 计 算凡 属 由 于 测 量 方 法 或 测 量 原 理 引 入 的 恒 差 ， 只 要 对 测 量 方 法 和 测 量 原 理 进 行 定 量 分 析 ， 就 可 找 出 系 差 的 大 小 。 （

43、 分 压 比 校 准 ）3)用 高 档 仪 器 比 对 、 校 准 用 高 档 仪 器 定 期 计 量 检 查 ， 可 以 确 定 恒 差 是 否 存 在 ， 如 电 子 秤 校 验 后 ， 则 知其 是 偏 大 还 是 偏 小 。 用 校 准 后 的 修 正 值 （ 数 值 、 曲 线 、 公 式 或 表 格 ） 来 检 查和 消 除 恒 差 。 电 子 测 量 与 仪 器4)统 计 法 （ 排 除 随 机 误 差 ， 剩 下 即 系 统 恒 差 ） 下 面 分 析 恒 定 系 统 误 差 对 测 量 结 果 的 影 响 。 设 一 系 列 重 复 测 量 值 为 x1， x2， ， xn，

44、 测 量 值 中 含 有 随 机 误 差 i 和 恒 定系 统 误 差 ， 设 被 测 量 的 真 值 为 x0， 则 有 ii xx 0当 n足 够 多 时 ， 0 1 ni i 010 )(11 xnnxnxnx ni ii 01 ni i上 式 表 明 ， 当 测 量 次 数 n足 够 大 时 ， 随 机 误 差 对 x的 影 响 可 忽 略 ， 而 系 统中 。 利 用 修 正 值 C= 可 以 在 进 行 平 均 前 的 每 个 测 量 值 xi误 差 会 反 映 在 x中 扣 除 ， 也 可 以 在 得 到 算 术 平 均 值 后 扣 除 。 对 于 因 测 量 方 法 或 原 理

45、 引 入 的恒 定 系 差 ， 可 通 过 理 论 计 算 修 正 。 电 子 测 量 与 仪 器2. 变 值 系 差 的 判 定 常 用 的 有 以 下 两 种 判 据 ： 1)剩 余 误 差 观 察 法 （ a） 剩 余 误 差 大 体 上 正 负 相 间 ， 且 无 显 著 变 化 规 律 ， 可 认 为 不 存 在 系 统 误 差 ； （ b） 剩 余 误 差 有 规 律 的 递 增 或 递 减 ， 且 在 测 量 开 始 与 结 束 误 差 符 号 相 反 ， 则 存 在 线 性 系 统 误 差 ；（ c） 变 值 系 统 误 差 剩 余 误 差 符 号 有 规 律 地 由 正 变

46、负 ， 再 由 负 变 正 ， 且 循 环 交 替 重 复 变 化 ， 则 存 在 周 期 性 系 统 误 差 ； （ d） 则 同 时 存 在 线 性 和 周 期 性 系 统 误 差 。 若 测 量 列 中 含 有 不 变 的 系 统 误 差 ， 用 剩 余 误 差 观 察 法 则 发 现 不 了 。 v0 n图 2.13 变 值 系 差 示 意 图(c) nv0nv0 nv0(a) (b)(d) 电 子 测 量 与 仪 器2) 累 进 性 系 差 的 判 别 马 利 科 夫 判 据 图 2.13(a)(b)表 示 了 与 测 量 条 件 成 线 性 关 系 的 累 进 性 系 统 误 差

47、， 如 由 于 蓄 电池 端 电 压 的 下 降 引 起 的 电 流 下 降 。 在 累 进 性 系 差 的 情 况 下 ， 残 差 基 本 上 向 一个 固 定 方 向 变 化 。 马 利 科 夫 判 据 是 常 用 的 判 别 有 无 累 进 性 系 差 的 方 法 。 具 体 步 骤 是 ： 将 n项 剩 余 误 差 i 按 顺 序 排 列 ； 分 成 前 后 两 半 求 和 ， 再 求 其 差 值 D 当 n为 偶 数 时 2/1 12/ni nni iiD 当 n为 奇 数 时 nni ini iD 2/)1(2/)1( 1 若 则 说 明 测 量 数 据 存 在 累 进 性 系 差

48、 。0D （ 2.41） i ii前 一 半 后 一 半 电 子 测 量 与 仪 器3)周 期 性 系 差 的 判 别 阿 贝 赫 梅 特 判 据周 期 性 系 差 的 典 型 例 子 是 当 指 针 式 仪 表 度 盘 安 装 偏 心 时 ， 会 产 生 这 种 周 期 性系 差 。 如 图 2.14（ a） 所 示 ， 如 钟 表 的 轴 心 在 水 平 方 向 有 一 点 偏 移 ， 设 它 的 指 针 在垂 直 向 上 的 位 置 时 造 成 的 误 差 为 ， 当 指 针 在 水 平 位 置 运 动 时 逐 渐 减 小 至 零 ，当 指 针 运 动 到 垂 直 向 下 位 置 时 ，

49、 误 差 为 -， 如 此 周 而 复 始 ， 造 成 的 误 差 如 图2.14（ b） 所 示 ， 这 类 呈 规 律 性 交 替 变 换 的 系 统 误 差 称 为 周 期 性 系 统 误 差 。 0 9 0 180 270 0 t(a) (b)图 2.14 周 期 性 系 差 实 例 以 钟 表为 例 电 子 测 量 与 仪 器阿 贝 赫 梅 特 判 据 具 体 步 骤 是 ： 把 测 量 数 据 I 项 剩 余 误 差 i 按 测 量 顺 序 排 列 ； 将 两 两 相 乘 ， 然 后 求 其 和 的 绝 对 值i 11 113221 . ni iinn （ 2.42） 用 贝 塞

50、尔 公 式 求 方 差 ni inxs 1 22 11)( 再 与 方 差 相 比 较 ， 若 1 211 1 ( )n i ii n s x （ 2.43）则 可 认 为 存 在 周 期 性 系 统 误 差 。 存 在 变 值 系 统 误 差 的 数 据 原 则 上 应 舍 弃 不 用 。 但 是 ， 若 虽 然 存 在 变 值 系 差 ，而 剩 余 误 差 最 大 值 处 于 允 许 范 围 以 内 ， 则 测 量 数 据 可 用 。 第 2次 课 到 此作 业 ： 13、 14、 17、 18、 19、 20 电 子 测 量 与 仪 器2.4.3 削 弱 系 统 误 差 的 典 型 技

51、术消 除 或 减 弱 系 统 误 差 应 从 根 源 上 着 手 。 1. 零 示 法 当 检 流 计 G中 I=0 21 2RRREUUx 待 测标 准 U UxE xR1R2 G图 2.15 零 示 法 测 电 压 G只 要 示 零 精 度 高 电 子 测 量 与 仪 器2.替 代 法 （ 置 换 法 ） 直 流 电 桥 平 衡 条 件 Rx GRS R3R 1 R2E 图 2.16 替 代 法 测 电 阻 标 准 可 调可 读 电 阻当 RXR2=R1R3 G=0 将 RSR2=R1R3 G=0 则 RX=RS 步 骤 ： 1.调 R 3， 使 G=0， R3不 动 ； 2.调 RS，

52、使 G=0， RX=RSRS为 标 准 电 阻 箱 可 调 可 读 电 子 测 量 与 仪 器3. 交 换 法 （ 对 照 法 ） 第 一 次 平 衡 ： WXl1=W1l2第 二 次 平 衡 ： WXl2=W2L1WXl1 WXl2=W1l2 W2l1 1 2 1 212xw ww w w 电 子 测 量 与 仪 器4.微 差 法 条 件 ： 当 待 测 量 与 标 准 量 接 近 时 B X B.A 被 测 电 池 电 压 x=B+A=9+0.1=9.1V测 量 误 差 由 式 （ 2.44） 可 求 得 ： BAAABBxx =0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05% 0.2%

53、可 见 ， 采 用 微 差 法 测 量 ， 测 量 误 差 主 要 决 定 于 标 准 量 的 误 差 ， 而 测 试 仪 表 误差 的 影 响 被 大 大 削 弱 。 本 例 说 明 ， 用 误 差 为 5 的 电 压 表 进 行 测 量 ， 可 得 0.2% 的 测 量 精 确 度 。应 当 指 出 ， 在 现 代 智 能 仪 器 中 ， 可 以 利 用 微 处 理 器 的 计 算 控 制 功 能 ， 消 弱 或消 除 仪 器 的 系 统 误 差 。 利 用 微 处 理 器 消 弱 系 差 的 方 法 很 多 ， 如 直 流 零 位 校 准 、自 动 校 准 、 相 对 测 量 等 ， 可

54、 参 阅 有 关 的 课 程 。 待 测标 准 （ 固 定 ） AB x9V 0.1VV图 2.17 微 差 法 测 量 电 子 测 量 与 仪 器2.4.4 等 精 度 测 量 结 果 的 数 据 处 理 （ 重 点 内 容 ） 当 对 某 被 测 量 进 行 等 精 度 测 量 时 ， 测 量 值 中 可 能 含 有 系 统 误 差 、 随 机 误 差 和粗 大 误 差 ， 为 了 给 出 正 确 合 理 的 结 果 ， 应 按 下 述 基 本 步 骤 对 测 得 的 数 据 进 行处 理 。1)对 测 量 值 进 行 修 正 ， 列 出 测 量 值 xi 的 数 据 表2)计 算 算 术

55、 平 均 值 3)列 出 残 差 4)按 贝 塞 尔 公 式 计 算 标 准 差 的 估 值 11 n iix xn ( ) i iv x x 211( ) 1 n iis x n ( )( ) s xs x n5)按 莱 特 准 则 3 ( )i s x max Gs ( )A x ks x ， 或 格 拉 布 斯 准 则 粗 大 误 差 ； 若 有 粗 大 误 差 ， 应 逐 一 剔 除 后 ， 重 新 计 算 ， 检 查 和 剔 除和 s， 再 判 别x直 到 无 粗 大 误 差 ； 6)判 断 有 无 系 统 误 差 ， 如 有 应 查 明 原 因 ， 修 正 或 消 除 系 统 误

56、差 后 重 新 测 量 ； 7)算 术 平 均 值 标 准 差 的 估 计 值8)写 出 最 后 结 果 的 表 达 式 ， 即 式 中 k为 置 信 因 子 ， 可 查 表 2.4。 电 子 测 量 与 仪 器例 2.14 对 某 电 压 进 行 16次 等 精 度 测 量 ， 测 量 数 据 xi中 已 记 入 修正 值 ， 列 于 表 2.8中 。 要 求 给 出 包 括 误 差 在 内 的 测 量 结 果 表 达 式 。序 号 测 量 值xi(V) 残 差 vi 残 差 vi 序 号 测 量 值xi(V) 残 差 vi 残 差 vi1 205.30 0.00 +0.09 9 205.7

57、1 +0.41 +0.502 204.94 -0.36 -0.27 10 204.70 -0.60 -0.513 205.63 +0.33 +0.42 11 204.86 -0.44 -0.354 205.24 -0.06 +0.03 12 205.35 +0.05 +0.145 206.65 +1.35 - 13 205.21 -0.09 0.00 6 204.97 -0.33 -0.24 14 205.19 -0.11 -0.027 205.36 +0.06 +0.15 15 205.21 -0.09 0.008 205.16 -0.14 -0.05 16 205.32 +0.02 +0.

58、11 电 子 测 量 与 仪 器解 ： (1)求 出 算 术 平 均 值 30.205161 161 i ixx(2)计 算 xxv ii 列 于 表 中 ,并 验 证 01 ni iv(3)计 算 标 准 偏 差 估 值 : 4434.01161 16 1 2 i ivs(4)按 莱 特 准 则 判 断 有 无 3302.13 svi ,查 表 中 第 5个 数 据 sv 335.15 ,应 将 对 应 65.2065 x 视 为 粗 大 误 差 ,加 以剔 除 。 现 剩 下 15个 数 据 。 电 子 测 量 与 仪 器(5)重 新 计 算 剩 余 15个 数 据 的 平 均 值 : 2

59、1.205x及 重 新 计 算 xxv ii 列 于 表 2.8中 ,并 验 证 1 0n ii v 。(6)重 新 计 算 标 准 偏 差 27.01151 151 2 i ivs(7)按 莱 特 准 则 再 判 断 81.03 sv i ,现 各 iv 均 小 于 3s则 认 为 剩 余 15个 数 据 中 不 再 含 有 粗 大 误 差 。 , 电 子 测 量 与 仪 器(8)对 iv 作 图 ,判 断 有 无 变 值 系 统 误 差 ,如 图 2.18。 从 图 中 可 见无 明 显 累 进 性 或 周 期 性 系 统 误 差 。 图 2.18 残 差 图(9)计 算 算 术 平 均

60、值 的 标 准 偏 差 : (10)写 出 测 量 结 果 表 达 式 : 07.015/27.015/ ssx (205.2 0.2)xx x ks v (取 置 信 系 数 k=3) 电 子 测 量 与 仪 器2.5 误 差 的 合 成 与 分 配 研 究 ： 先 讲 合 成 ： 例 ： P IU U和 I如 何 影 响 P ？ I=U/R U和 R如 何 影 响 I ？ 方 法 ： ： 推 导 一 个 普 遍 适 用 的 公 式 。 分 项 误 差合 成分 配总 合 误 差 电 子 测 量 与 仪 器2.5.1 测 量 误 差 的 合 成 1 误 差 传 递 公 式 设 )( 21 xx

61、fy ，若 在 )( 20100 xxfy ，附 近 各 阶 偏 导 数 存 在 ， 则 可 把 y展 为 台 劳 级 数 )( 21 xxfy ， 10 20 1 10 2 20 1 10 1 10 2 20 2 201 2 22 2 22 22 21 2( ) ( ) ( )1 ( ) 2 ( ) ( ) ( )2 f ff x x x x x xx xf f fx x x x x x x xx x x x ，！ 电 子 测 量 与 仪 器若 用 )()( 20221011 xxxxxx 及 分 别 表 示 x1及x2分 项 的 误 差 ， 由 于 1 1 2 2x x x x 及的 中

62、高 阶 小 量 可 以 略 去 ， 则 总 合 的 误 差 为 ， 则 台 劳 级 数 2211 20100 )(xxfxxf xxfyyyy ，同 理 ， 当 总 合 y由 m个 分 项 合 成 时 ， 可 得 mm xxfxxfxxfy 2211即 jmj j xxfy 1 绝 对 误 差 的 传 递 公 式 （ 2.45） 这 是 绝 对 误 差 的 传 递 公 式 。 电 子 测 量 与 仪 器例 方 案 1 方 案 2 方 案 3解 ： 方 案 1： 用 公 式 P IU由 式 （ 2.45） 可 得 UIIUUUPIIPP (CU) =CU则 算 得 功 率 的 相 对 误 差 为

63、 VIp UIUIUIIUPP P=IU =U2/R =I2R 电 子 测 量 与 仪 器方 案 2： 用 公 式 P=U2 R 由 式 （ 2.45） 可 得 222 R RURUURRPUVPP 则 RUR RURURUUPP p 22222 2 2 V RU RU R = 求 导 电 子 测 量 与 仪 器方 案 3： 用 公 式 P I2R 由 式 （ 2.45） 可 得 RIIIRRRPIIPP 22 RIp RRI I RI RIRI IIRPP 22 2 222则 电 子 测 量 与 仪 器式 （ 2.45） 是 求 绝 对 误 差 的 公 式 ， 在 已 知 各 分 项 误 差

64、 的 相 对 误差 ， 求 总 的 相 对 误 差 是 不 方 便 的 。 实 际 上 只 要 对 式 （ 2.45） 稍加 变 换 就 可 以 得 到 求 相 对 误 差 的 公 式 将 式 （ 2.45） 两 端 同 除以 y。 ， 同 时 考 虑 y为 x1=x10， x2=x20时 的 函 数 值 f则 jmj jy xxffyy 11由 数 学 中 用 对 数 求 导 数 的 方 法 用 对 数 求 导 数 1ln y yy jj dx fdfdxdf ln/ 则 可 求 出 相 对 误 差 jmj jy xx f 1 ln 相 对 误 差 传 递 公 式 (2.46） 电 子 测

65、量 与 仪 器方 案 2： 2Up R 用 相 对 误 差 传 递 公 式 lnP=2lnU-lnR(2ln ln ) (2ln ln ) 2 2p V RU R U RU RU RU RU R 电 子 测 量 与 仪 器若 ),( 21 mxxxfy 的 函 数 关 系 为 和 、 差 关 系 时 ，常 先 求 总 合 的 绝 对 误 差 ， 若 函 数 关 系 为 积 、 商 或 乘 方 、 开 方关 系 时 ， 常 先 求 总 合 的 相 对 误 差 比 较 方 便 。 y=x1+x2-x3 321xxxy 1 2m ny x x xLCf 2 10 用 哪 种 方 法 求 相 对 误

66、差 方 便 ？ 电 子 测 量 与 仪 器2 系 统 误 差 的 合 成 ： 由 误 差 传 递 公 式 ， 很 容 易 求 得 确 定 性 系 统 误 差 的 合 成 值 。 由 式 （ 2.45） mm xxfxxfxxfy 2211一 般 说 来 各 分 项 误 差 x由 系 统 误 差 及 随 机 误 差 构 成 ， 即 )()()( 222111 mmmxfxfxfy （ 2.47） 若 测 量 中 各 随 机 误 差 可 以 忽 略 ， 则 总 合 的 系 统 误 差 y可 由 各 分 项 系 统 误 差 合 成 jmj jy xf 1 （ 2.48） 若 1， 2， ， m为 确 定 性 系 统 误 差 ， 则 可 由 上 式 直 接 求 出 总 合 的 系 统 误 差 。对 于 各 分 项 系 统 误 差 不 能 确 定 的 情 况 ， 我 们 将 在 后 面 讨 论 。 电 子 测 量 与 仪 器3.随 机 误 差 的 合 成 式 （ 2.47） 已 给 出 )(1 jjmj jyy xfy 若 各 分 项 的 系 统 误 差 为 零 ， 则 可 求 得 总 合 的