逼近论第一第二章

《逼近论第一第二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逼近论第一第二章（56页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第一章 预 备 知 识1 函数逼近论简介一、函数逼近论(approximation of funcyions)函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。在数学的理论研 究和实际应用中经常遇到下面问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g,使它是已知函数 f 在一定意义下的近似表示，并求出用 g 近似表示 f 而产生的误差。这就是函数逼近问题。 在函数逼近问题中,用来逼近已知函数 f 的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了, 在该类函数中用作 f 的近似表示的函数 g 的确定方式仍然是各式各样的； g 对 f 的近似程度 (误差)也可以有各种不同的含义。所以函数逼近问题的提法

2、具有多样的形式,其内容十分 丰富。二、逼近函数类给定函数f (x)，用来逼近f (x)的函数一般要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫 做逼近函数类。逼近函数类可以有多种选择。n次代数多项式，亦即一切形如公式工axk (其kk =0中a，,a是实数，k = 0,1,n )的函数的集合；n阶三角多项式，亦即一切形如公式 0na +工(a coskx + b sinkx)(其中a，,a ,b，,b是实数，k = 0,1,n)的函数的集合，这些0kk0 n 0 nk=1是最常用的逼近函数类。其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性 组合构成的(维数固定的)线性集，按照一定条件定义

3、的样条函数集等也都是很有用的逼近 函数类。在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身 的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。三、逼近方法给定 f 并且选定了逼近函数类之后 ,如何在逼近函数类中确定作为 f 的近似表示函数 g 的方法是多种多样的。例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。所谓插值就是要在 逼近函数类中找一个g(x)，使它在一些预先指定的点上和f (x)有相同的值，或者更一般地要 求g(x)和f (x)在这些指定点上某阶导数都有相同的值。利用插值方法来构造逼近多项式的做 法在数学中已有相当久的历史。微积分中著名的 Taylor 多项式便是一种

4、插值多项式。此外， 在各种逼近问题中，线性算子也是广泛应用的一大类逼近工具。所谓线性算子是指某种逼近方法L，对于被逼近函数f、g，在逼近函数类中有L(f)、L(g)近似表示它们，并且对于 任意实数a,卩都有LQf +卩g)二aL(f )+卩L(g)。线性算子逼近方法构造方便。一个典型的例子是2兀周期的连续函数f (x)的n阶傅里叶部分和S (f,x)，它定义了一个由2兀周期的连续 n函数集到n阶三角多项式集内的线性算子S。S (f,x)可以用来近似表示f (x)。除了线性算nn子，在逼近问题中还发展了非线性的逼近方法。这方面最基本的工作是18世纪中叶由俄国数 学家n.切比雪夫提出的最佳逼近。1

5、859年切比雪夫结合机械设计问题的研究提出并讨论了下述类型的极值问题：已知a,b区间上的连续函数f (x), P(x,a，,a )是依赖于参数 0na，,a的初等函数(如多项式，有理分式)，用P(x,a，,a )来近似表示/ (x),如果产生的 0 n0 n误差用公式A (a，a )二 max I f (x) - P(x, a，a )0n a xb0n来衡量，要求选择一组参数使误差最小。这就是寻求极小问题maxaxb|f (x) - P (x, a。,.a )|n=m i nA a (貝)0na0，an的解。当参数(a*，a*给出最小误差时，就把P(x, a，a )=P评叫做f (x)在0n0

6、nP(x,a，,a )所构成的函数类中的一个最佳逼近元；数值A*=A(a*，a* )叫做f (x)借助于 0 n0n函数P(x,a，,a )来逼近时的最佳逼近值。切比雪夫研究了 P(x,a，,a )是n次多项式(n0 n0n是固定整数，a，,a是系数，它们是可以任意取值的参数)的情形。这里的最佳逼近依赖0n于f,但不是线性依赖关系。所以说切比雪夫的最佳逼近是一种非线性的逼近。又称逼近度。为了衡量函数g对f的近似程度(逼近度)，在逼近论中广泛应用抽象度量 空间内的度量概念。对于在逼近问题中经常遇到的一些函数类，常用到的度量有以下几种： 定义在a,b上的全体连续函数Ca,b中任何两个函数f (x)

7、, g(x)的接近程度可以按 公式|f - g = max|f (x) - g(x)|来规定。按这种度量引出的逼近度叫做一致逼近度；C axb 定义在a,b上的全体平方可积函数L2a,b内任何两个函数f (x)，g(x)的接近程度可 按公式|f - g| = (Jbf (x) - g(x)2dx) 12来规定，这便是平方逼近度；2a定义在a b上的全体p次幂可积函数Lp a, b (p三1)内可以取|f- g tb|x- I 1x作)为度量，由它产生的逼近度叫做p次幂逼近度。Pa五、函数逼近论的产生P(x)=工 a xkkk=0从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B

8、.-J.傅里叶、J.-V彭赛列 等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。这些问题是从诸如绘图 学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。在当时没有可能形成深刻的概念和统一 的方法。切比雪夫提出了最佳逼近概念，研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性 质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。他和他的学生们研究了与零的偏 差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。已知a,b区间上的连续函数f (x),假设(n三0),量E (f) = min max|f (x) - P(x)叫做f (x)的n阶最佳一致逼近值, nCa,盘并 a xb也简称为最佳逼近值，简记为

9、E (f)。能使极小值实现的多项式P*(x)=a* xk叫做f (x)的nkk=0n阶最佳逼近多项式。切比雪夫证明了 ，在区间-1,1上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式工a xk 必满足关系式xn+1 一工a xk = 2-n cos(n + 1)arccosx。多项式2-n cos(n + 1)arccosx就是 kkk=1k=0著名的切比雪夫多项式。切比雪夫还证明了 P*(x)=a* xk是/(x)在a,b上的n阶最佳逼近 kk=0多项式的充分必要条件是：在a,b上存在着n + 2个点：a x x x b，在这些点上1 2n+2(1) P*(x ) - f (x )依照i=1,2,n+2的

10、次序交错变号，ii(2) P*(x ) - f (x ) = max P*(x) - f (x)。点组x ,x，x 便是著名的切比雪夫交错组。ii, 一1 2n+2axb1885年德国数学家K. (T.W.)外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题 时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定 的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近 得最好。如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数n的一切多 项式中如何来选择一个与f (x)的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的 基本思

11、想。所以可以说切比雪夫和外尔斯特拉斯是逼近论的现代发展的奠基者。六、发展20世纪初在一批杰出的数学家，包括C . H 伯恩斯坦、D.杰克森、瓦莱一普桑、H.L. 勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这一理论主要在以下几个 方面取得了很大进展：1. 最佳逼近的定量理论在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值E (f)(借助于代数多项式来逼近，或者对2“n周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等)的数列当nTa时的性 态和函数f (x)的构造性质(可微性、光滑性、解析性等等)之间内在联系的理论统称为定量 理论。下面叙述的定理比较典型地反映出函数的构造性质与其最佳

12、逼近值之间的深刻联系。 杰克森、伯恩斯坦、A.赞格蒙证明：2“周期函数f (x)具有满足条件f (r (x + h )- f r ( x( )M |h a W建1 )或 f (r)(x + h) -2f (r)(x) + f (r)(x-h) M |h|,(a 二 1)的r阶导数f (r)(r二0丄)的充分必要条件是，f (x)借助于三角多项式的n阶最佳一致逼近值E* (f)(简称最佳逼近，简记为E* (f)满足条件n CnE* (f) Anr+a,nC式中的M, A是不依赖于n的正的常数。对于a,b区间上的(不考虑周期性)连续函数借助于 代数多项式的逼近值与函数构造性质间的联系也有和上述结果

13、相类似的定理，不过情况比周 期函数复杂多了。这一问题是在50年代由苏联数学家A .0 .季曼、B .K 贾德克解决的。杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。沿着他们开辟的 方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了 J.A.法瓦尔、A .H .柯尔莫哥洛夫关于周期可 微函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里叶级数部分和的一致逼近 的渐近精确估计的工作。这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水 平。从那时起，直到60年代，以C .M .尼科利斯基、A . H 阿希耶泽尔等人为代表的很多逼 近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。

14、2. 逼近论的定性理论切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的 特征定理。最佳逼近多项式是唯一存在的。最佳逼近多项式的存在性、唯一性及其特征定理 都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在a,b上对任意连续函数f的最佳逼近多项式的 唯一,性问题。在a,b上给定n +1个线性无关的连续函公式p (x),p (x),p (x)。作为逼近函 01n数类可取P(x,a，a ) = F ap，式中a，,a是任意参数。这样的P(x)称为广义多项式。0 ni i0 ni=0Ep (f) =

15、min max |f (x) 一 P(x, a，a ) n C a0,a” axb0=max f (x) - P (x, a*，a * )axb0n 1P（x,a*，a*）是存在的。哈尔证明，为了对每一连续函数f唯一，P（x,a*，a*） f唯一，必0 n 0 n须而且只须任一不恒等于零的广义多项式P（x,a，a ）在a,b内至多有n个不同的根。在 0n20世纪2030年代，伯恩斯坦、M .克列因等人对满足哈尔条件的函数系p （x）,p （x）,p （x）做过很多深入的研究。它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理 01n统计中有着比较广泛的应用。 关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很

16、多进一步的研究和推广。其中最重要的 一个推广是柯尔莫哥洛夫在 1948 年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复 值广义多项式的一致逼近问题。对于Lpa,b（1 pg）内的函数f借助于广义多项式在P次幂尺度下的逼近问题也建立了类似的一套定性理论。到5060 年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起 来。3. 线性算子的逼近理论最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。线 性关系比较简单，线性算子比较容易构造。所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼 近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支一线性算子的逼近理论。针对特定的函 数类、特定

17、的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线 性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。在这一方面， 几十年来取得了十分丰富的成果。比较著名的经典结果有E.B.沃罗诺夫斯卡娅、G.G.洛伦茨 等对经典的伯恩斯坦多项式B (/, x) =2 /nk=0r k r n I n丿 0, p(x, y)二 0 当且仅当 x = y(非负性)；(ii) P(x, y)二 p(y, x)(对称性);(iii) P(x,y)P(x,z) + P(y,z)(三角不等式). 以上三条称为距离三公理， E 中的元素称为点.下面是常见的距离空间：(1) n维欧氏空

18、间.它的点有形式(x ,x ,x )，对x二(x ,x ,x ), y二(y , y ,y )，定义1 2 n1 2 n1 2 nP (x, y)=(工(x - y)2)我们也可以定义 P (x, y)=工 I x - y I 或 p (x, y)二 maxi x y I.i i i i i ii =1i =1(2) 连续函数空间.以Ca,b表示在a,b上连续函数的全体，对x(t)， y(t) g Ca,b，定义 P (x, y) = max I x(t) - y(t) I.at1)空间 . 设 L a,b(p 1)是 a,b 上 p 次 Lebesgue 可积函 数的全体. 对P(:x(t)

19、,y(t) gL a,b，定义p(x,y) = N Ix(t)-y(t)Ipdt几.p距离空间E中的一个点列x 称为本来收敛的，如果任给 0，存在N 0，使得当m,n N时，np (x , x ) 0, II x II二 0 当且仅当 x 二 0 ；(ii) II x + y IIII x II + II y II (三角不等式);( iii )II ax II=I a I II x II, a g K .则称 E 为 K 上的线性赋范空间， II xII 称为 x 的范数. 以上三条称为范数三公理.按定义，对于x, y g E，易验证p (x, y) =II x - y II，满足距离三公理

20、，于是线性赋范空间属于距离空 间.1.4 所介绍的三个空间是线性赋范空间，即(1) n维欧氏空间Rn，范数II x II= Q x 2)1) G R ni12 ni=1(2) a,b上的连续函数空间Ca,b，范数II x II= max I x(t) I, x(t) GCa,bat 1)，范数pII x 11= (Jl x(t) I p dt)1 p, x(t) g L a, b. p三、 Hilbert 空间设E为数域K (实或复)上的线性空间，对E内任两点x, y,定义K内的一个数(x, y)，满足下面 四个条件：(i) (ax,y)(x,y), a g K(ii) (x + y, z)

21、= (x, z) + (y, z)；(iii) (x, y) = (y,x).其中&表示a的共轭复数，如K为实数域，则(x, y) = (y,x).(iv) (x, x) 0，(x, x) = 0 当且仅当 x = 0，则称E是一个内积空间，(x,y)称为x,y的内积，以上四条称为内积四公理.在内积空间中定义范数II x 11=丘打，则它是一个线性赋范空间.完备的、可分的复(实)内积空间称为复(实)Hilbert空间，简称H空间.常见的H空间有：(1) L a,b空间.对 x(t), y(t) g L a,b，定义2 2(x, y) = i bx(t)y(t)dt.a(2) l空间，即所有满足

22、 兰比I22的点x =忆,g，的集合对于x及y = y ,y，定义2 k 1 2 1 2k=1(x,y)g y .kk k=1四、差 分假定有一列数y , y, y ,，相邻两数值的一级差分定义为A = y y0 1 2kk+1k二 级 差 分 定 义 为 A2y =AyAy =y2y+y . 一 般 地 ，kk +1kk + 2k +1 kAn+1 y = A(Any) = AnyAny .记Aoy = y ， Ay = Ay .kkk+1kk = 0,1,2,.类似地，n +1 级 差 分 定 义 为kk+1定理 1.7.1 有Aoy = ykk& y = y - ykk+1kA2 y =

23、 y 2k+ ykk+2k+1kkkA ny(1)n-1k(n(n y, r丿k+r r丿n!r!(nr)!证当n = 0时显然成立.假定对于自然数n成立，则以n +1代替n得(An+1 y = A(A ny )= A g = g (1)n rr=0= g (1)n rr=0= gn +1r=0(n Ayk+r1-)( y +1+k+1+rn、r 1/k+r(1)n +1 rr=1= g (1)n +1r yr =1= gn+1(1)n+1rr=0y -工(-1)n-r(n(n(n(n +y (1)n r 1 丿 r丿 n丿k + n +1 0丿ykr丿r=0t+rt+r推论1.7.1如果k

24、= 0，则竹=gr=0(-1)n-r第二章 Weierstrass 逼近定理2.1 关于连续模的概念2.1.1 Ca,b 空间上的连续模 定义2.11设f (x)定义于a,b上，称(t) = w(t, f) = sup I f (x) - f (y)1(2.1.1)I x 一 yI t，则在a,b上满足条件I x-y | t的数对2 1 w(x, y)的集合显然包含满足条件I x- y | t的数对(x, y)的集合，于是3(t) 0及充分小的5 0，按定义，当x,y e a,b 时，w(t + 5) = sup I f (x)-f (y)|.I x - yI y，我们有w(t + 5 )=s

25、up f I x-( )f y ( ) I0 x- y +5t sup I f(x)- f(y)I+ sup I f(x)- f(y)I.0x-y55 x- y 0，当5充分小时，第一项小于，于是w(t + 5) + sup f I x (-f y ( ) I0x -( y5+ ) t+ sup (I f(x)- f(y+5)I+I f(y)- f(y+5)I)0 x-( y +5 )t2 + sup I f(x)- f(y+5)I2 +w(t).0x-(y+5 )t由此及非减性得0w(t+5)-w(t) 0时w(t)是连续的当t二0时，由w (0)二0及w(t) T 0 (t T 0)知w(

26、t)在t二0处 右连续.性质2.1.2 w (t)具有半可知性，即对于t,t 0，有12w(t + t )w (t )+w (t. )(2.1.2)事实上，对于I x y I y 12( i )若 0 x - y t ，则(ii)右 t x 一 y t +1 ，1 1 21 f (x) 一 f ( y 疋叫)叫1)(t2)，f( x), g a b f *( x)= f ( a), x af ( b), x b2.1.3)则对于 x, y g a, b，有supfl x(- )f y(=)t x - y t 42 t0性质2.1.3若叫)事实上，对于任|s ufp x-| * (f )-1 y

27、t() | x- 2y t sup (|f(x)-f(y)|4|f(y)-f*(y-t)|)1 0x-yt2e(t )4 sup | f(x)- f ( y) | e(t )4e(t ).2 2 1 |x- y| 0，由e (t) = o(t)及性质2.1.2，对于任何自然数n， e (t) = e (n) ne(丄)=no(丄)t 0 (n t s)，n n n 于是e (t)三0， 这只有f (x)三c才能实现.定义2.1.2如果f (x)在a,b 上的连续模满足e (t ) Mta0 a 1，对于 0 t b - a，称量P ( s俨 f x4h (-f x) p% ( ) l (2.1

28、.4)0h 1)中的连续模.我们同样可以证明e (t,f)满足上面的性质2.1.12.1.3 (在性质2.1.1中，条 p件f (x) g a,b以现在条件f (x) g L a,b代替).p定乂 2丄4设f (x) g L a,b, p 1，如果存在常数M 0, 0 a 1，使pe (t) = e (t, f) = Mta， 则称f (x)在L a, b中满足a阶Lipschitz条件，记作f (x) g LipM(a , p)或 f (x) g Lip(a , p).2.1.3 二阶连续模的概念定义 2.1.5 设 f (x) g Ca, b，称量e (t) =e (t, f) = sup

29、 | f (x + h) + f (x - h) - 2f (x) |，0htax-hxx4hb,为函数f (x)在Ca, b上的二阶连续模.对于f (x) e Ca,b, o(t)有下面性质：性质2.1.4 o(t)是非减的连续函数，且 o (t) _0 (t _0) t12o (t ) = sup If (x + h) + f (x h) 2 f (x) I2事实上，非减是显然的.由f (x)在a,b上一致连续，故o(2) (t) t 0 (t T 0)也是 显然的.下证连续性.设0t t，则0ht2 sup I f (x + h + h ) + f (x h h ) 2 f (x) I1

30、 2 1 2 0h1t1 0h12t12t1 sup I f (x + h + h ) f (x + h ) I1 2 10h1t10h2t2 t1+ sup I f (x + h ) + f (x h ) 2 f (x) I0h1t10h12t12t1+ sup I f (x h ) f (x h h ) I1 1 2 0h1t1 0h12t12t1o(t) + 2o(t t).由 o (t) T 0 (t T 0)矢口 o (t)连续.性质2.1.5对任意自然数n，o(2) (nt) n2o(2) (t). 事实上，我们有f (x + nh) + f (x 一 nh) 2 f (x)=泄1

31、 (f (x + jh + kh + 2h nh) + f (x + jh + kh nh) j =0 k =02 f (x + jh + kh + h nh)由此得性质 2.1.5.性质 2.1.6 o(2) (t) 2o(t).事实上，I f (x + h) + f (x h) 2f (x)I 1)中的二阶连续模：P ( ) o(t) = o(2)(t, f) = sup r b h I f (x + h) + f (x h) 2f (x)Ip 厶 pp07 t a+h同样可以证明o(t)有与o(2)(t)相应的性质.p2.2 Weierstrass 第一定理在一致逼近的理论中，我们所遇到

32、的第一个问题是：在任意预先给定的精 度下，能否用多项式去逼近任意给定的连续函数？1885 年， Weierstrass 对这个 问题给出了肯定的回答.设P是次数不超过n的代数多项式集合，我们首先有：定理2.2.1 (Weierstrass第一定理)设f (x) e C0,1，则存在多项式p (x) e P使nnlim max I f (x) 一 p (x) 1= 0 nn T8 0x 1）个伯恩斯坦多项式由下式给出:B (f )=Bnnk=0(k r n I n丿1 Ik丿r n、Ik丿两边同时乘以上也 就得到（226）,nk=0(221)(222)(223)(224)(225)(226)(2

33、27)xk (1-x)-k = nx(1- x)-n 由（226 ）及（222）得(223) 再次,对 f (x) = x2 有n2 B ( J2)=工nk=0k x(-1-x)三n- x1 )x(228)事实上，在（227）两边再次对z求导并乘以z得工k 2k=0zk = nz(nz +1)(1+ z)n-2 令z =，然后用(1-x)n乘以两边就有(2.2.8).1 - x 现在，我们将(2.2.4)左边展开为工k 2k=0r n a 0及0x5Ixk (1-x) n-k - 2nxH kk=0xk (1- x)n-kXk (1 - X)n-k ，x 1 ，有r n a.-Xk ( 1-

34、X ) 5证注意到，由k - xnr n、8Xk (1 一 X)5，可推出丄5 21 n r n 2 1，因此，利用(2.2.4),1n - k 5丄y52k=0(1- X)n-ka2rna丿 k丿Xk (1- x)n-krk XIn1 1 1nx (1-x) 5 2 n 24 n5 2最后一步由不等式x(1-x) 1/4得到.引理2.2.2的意义在于当n很大时，在和式工k=0 0，我们有IB (f - f (曲n k =0=yIk / n-xI5由于f (x)在x处连续，对任给 0，存在5 01 k A f - - f (x)V n丿I n V k丿，使得当xk (1- x)n-k k-x

35、5 时，fr k a-f (x)nV n丿 故第一个和式1 k A f - - f (x)V n丿1 n A .kxk (1- x)n-kk/n-x5工k /n-x 0，使得1 k Af - - f (x) f - + f (x)55 M 0，先取5 01 k A f - - f (x)V n丿I n A.kxk (1- x)n-kxk (1- x)n-k，使得当k-x 5n时，f - - f (x) ，然后固定5，再取n充分大，就有 B (f) - f (x) 2 n下面我们给出定理的一个推论.注意到我们在定理的证明中，对第一个和只 用到f(x)在x处连续，对第二个和只用到f(x)在0,1上

36、有界.因此，有定理定理2.2.2 (伯恩斯坦)设f(x)在0,1上有界，则lim B (f)二 f (x)nn s在任何f (x)的连续点x G 0,1成立.如果f G C0,1，则极限在0,1上一致成立. 下面我们给出闭区间a,b上的Weierstrass定理.定理2.2.3设f (x) g Ca,b，则存在多项式p (x) g P，使得nnlim max f (x) 一 p (x) = 0 nn s axb证令x = a + y(b -a)，则有f (x)二 f (a + y(b-a)=申(y)因为y二口，所以申(y)是定义在0,1上的连续函数，于是由定理2.2.1知存在多b-a项式使得对

37、于也就是Q(y)=工 c y ,kk =0切 y g 0,1有I 申(y) - Q(y)1=1 f (a + y(b - a)-工 c yk l kk=0f (x)-才 ckk =0x g a, b 2.3 伯恩斯坦多项式的优缺点上节我们利用伯恩斯坦(BepHmTeH )多项式来逼近连续函数，这一节 我们将讨论伯恩斯坦多项式的性质，并讨论与之相关的几个问题.我们先用预备知识中的差分概念给出伯恩斯坦多项式的标准多项式形式 关于差分，我们还将在第六章6.4 中进一步论述. 定理 2.3.1B (f)=工 Atf (0)n t = 0其中，差分是在x = 0/ n,1/ n, , n -1/ n,

38、n/n上进行计算的.证 由伯恩斯坦多项式的定义知B (f)=fnk=0I k (n 1 n丿1 k丿xk (1- x )n- kI k (nn-k xkI j丿丿1 n丿1 k丿(-1)n-k-j xn-k-j n丿Ik人(kn )( n - k 工k=0k =0 j=0令t = n- j，将和式重排，并注意到xt(2.3.1)(-1)n -k-jxn-j .，可以得到It丿Ik丿工旳工f ( k丿(Y n - k、(-1)t-kn-t 丿(-1)t-kk=0I n庐fk=0(n m时，Akf (0) = 0，此时对所有的n都有B (f) g P .nt=0=xtt=0=工 Atf (0)t=

39、0xt定理2.3.2 (Popoviciu T.)若f(x) G C0,1，而B(f)为它的伯恩斯坦多项式, n则2.3.2)其中(5)为f (x)在0,1上的连续模.证 由伯恩斯坦多项式的定义，并注意到恒等式(2.2.2)有工fr k arnak=0Vn丿Vk丿V n丿|B ( f)- f |= nxk (1 x) nk -f (x)工k=0r k a f - f (x)工根据不等式(2.1.2)有xk (1 - x)n-k .r k ar k aff (x) hxVn丿Vn丿k=0x丿丿L 1 ) n 下如丿a,x k (1- x)n-k2.3.3)因此| B ( f -) nk x-(

40、1 - x)-.12.3.4)k=0由H61der不等式，我们有r k arnaxV k丿V n 丿xk (1 x) nk工 r - - x a2rnaL k=0V n丿V k丿k=0斗:axk (1 x) nkLk=0 V k 丿xk (1 x)nk工 r - - x a2rnaxk (1 x)nkk=0Vn丿Vk丿并注意到(2.2.2)我们有由( 2.2.4)知x(1 x)1 -, n4 n工-x(n x (1-|nV k 丿将(2.3.5)代入(2.3.4)便有 (2.3.2).1x)i ，2fn2.3.5)推论 2.3.1若 f (x) e L吋,01，则3M| Bn (f f H2：

41、na2.3.6)事实上，由于f (x) e Lip淖与h(5) 8是完全等价的，由定理2.3.2知 3M3| B (f) f| hn2v 丿 2 Jna推论是Kac M.独立于Popoviciu T.而求得的.Kac M.曾证明：它的阶不可能再改善了. 因此，对任何连续函数用伯恩斯坦多项式来逼近，其逼近的精确性是很不理想的. 此种情况可以特别地表示成下面的结果：定理2.3.3 (瓦隆诺夫斯卡雅)若有界函数f(x)在点x处存在有限的二阶导数 f(x)，则B( f )= f ( x)孕Dn2nx( 1 +4 ,)n2.3.7)其中 p (n) T 0 (n Ts)在对该定理证明前,先给出一个引理.

42、 引理231存在一个与n无关的常数c， r n n1 / 4使得对所有的x g 0,1有cn3 / 22.3.8)证 考虑和式-x*nS ( x)= H ( mk=0(n ) nm)(k丿k x-(1 -nx.)k2.3.9)由(2.2.2)，(2.2.3)和(224)矢口s(x)= 1,S(x)=0,S(x=n*lR对0 1 2行微分，可得0122.3.9)进因此有S气x)=工mk=0v ( )+ S (x) =mnS (x) + m+ m1x(1 x)(k - nx)m-1xk-1(1- x)n-k-1-mnx(1- x) + (k -nx)22.3.10) 由此递推式，我们有结论：S (

43、x)是一个以x为变豐 n为参数的多项式.特别地, 对n的次数而言，S是一次的，S4是二次的，S是二次的，S是三次的.因此存 在常数c，使得对于所有x g 0,1 有4| S (x)| n9/2 ， 因此S (x)二 x(1-x)S (x) + mnS (x)由于 k- x n-1/4nkx n-1/4nxk (1 x)nk !工(k nx)6n9/2k=0xk (1- x)n-kc =n 9/2 S (x) 6 n 3/ 2 定理2.3.3证明 由有限导数八x)的存在可推出f (t) = f (x) + f(x)(t - x) +八x)2+ 九(t) (t x)2，2.3.11)其中九(t)随t x同趋于零.令t = k，有 nr k 一一.r k f ( x)r k 丫rk、2=f (x) + 广(x)x+八丿+九xIn丿In丿2in丿一in丿r n 0，存在充