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1、1.1.3分类计数原理分类计数原理与分步计数原理（三）分步计数原理（三）一、复习回顾一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?练习：练习：三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？例例1 用用0,1,2,
2、3,4,5这六个数字这六个数字,(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数的奇数?(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数的自然数?(3)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000,小于小于5421且各位且各位数字不允许重复的四位数数字不允许重复的四位数?一、排数字问题一、排数字问题1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四个的四个方格里方格里,每格填一个数字每格填一个数字,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种引申
3、引申:号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。有种填法。所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。二、映射个数问题二、映射个数问题:例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有多共有多少种不同的映射少种不同的映射?三、染色问题三、染色问题:例例3 有有n种不同颜色为下列两块广告牌着色种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求要求在在四个区域中相邻四个区域中相邻(有公共边界有
4、公共边界)区域中区域中不用同一种颜色不用同一种颜色.(1)若若n=6,为为(1)着色时共有多少种方法着色时共有多少种方法?(2)若为若为(2)着色时共有着色时共有120种不同方法种不同方法,求求n (1)(2)、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四个区域依次分四步完成四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,
5、m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方得到不同的涂色方案种数共有案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？若用若用2色、色、4色、色、5色色等等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？答答:它们的涂色方案种它们的涂色方案种数分别是数分别是 0、4322=
6、48、5433=180种种等。等。思考：思考：.如图如图,用用5种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的A A、B B、C C、D D四个区域涂色四个区域涂色,规定一个区域规定一个区域 只涂一种颜色只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有同的涂色方案有 种。种。ABCD分析：分析：如图，如图，A A、B B、C C三个区域两两相邻，三个区域两两相邻，A A与与D D不相邻，因此不相邻，因此A A、B B、C C三个区域的颜色两两三个区域的颜色两两不同，不同，A A、D D两个区域可以同色，也可以不同色，两个区域可以同色，也可以不同色，但但D D与与B B、
7、C C不同色。由此可见我们需根据不同色。由此可见我们需根据A A与与D D同同色与不同色分成两大类。色与不同色分成两大类。解：解：先分成两类：第一类，先分成两类：第一类，D D与与A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。第一步涂第一步涂A A有有5 5种方法，第二步涂种方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法；第四步涂种方法；第四步涂D D有有2 2种方法。根据分步计数原理，种方法。根据分步计数原理，共有共有5 54 43 32 2120120种方法。种方法。根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有12120+600+6018018
8、0种方法。种方法。第二类，第二类，A A、D D同色，分三步完成，同色，分三步完成，第一步涂第一步涂A A和和D D有有5 5种种方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4种方法；第三步涂种方法；第三步涂C C有有3 3种方法。根据分种方法。根据分步计数原理，共有步计数原理，共有5 54 43 36060种方法。种方法。、某城市在中心广场建造一个花圃，、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为花圃分为6个部分（如右图）现要栽个部分（如右图）现要栽种种4种不同颜色的花，每部分栽种一种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有不同
9、的栽种方法有_种种.（以数（以数字作答）字作答）（1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，所以共有也同色，所以共有N N1 1=4=43 32 22 21=481=48种；种；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.（2）与与同色，则同色，则或或同色，所以共有同色，所以共有N N2 2=4=43 32 22 21=481=48种；种；（3）与与且且与与同色，则共同色，则共N N3 3=4=43 32 21=241=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色
10、的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将种作物种植在如图所示的块试验、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答种（以数字作答）425、如图，是、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种
11、涂色方法？复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题四、子集问题规律：规律：n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空子，非空子集个数为集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。五、综合问题五、综合问题:例例4 若直线方程若直线方程ax+by=0中的中的a,b可以可以从从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的这五个数字中任取两个不同的数字数字,则方程所表示的不同的直线共有多则方程所表示的不同的直线共有多少条少条?、7560075600有有多多少少个个正正约约数数?有有
12、多多少少个个奇奇约约数数?解解:由于由于 75600=275600=24 4333 3552 277(1)(1)7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式,其中其中,于于是是,要要确确定定7560075600的的一一个个约约数数,可可分分四四步步完完成成,即即i,j,k,li,j,k,l分分别别在在各各自自的的范范围围内内任任取取一一个个值值,这这样样i i有有5 5种种取取法法,j,j有有4 4种种取取法法,k,k有有3 3种种取取法法,l,l有有2 2种种取取法法,根根据据分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5432=1205432=120个个
13、.解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完从局部上看每类又需两步完成成,所以所以,第一类第一类,m1=12=2 条条 第二类第二类,m2=12=2 条条 第三类第三类,m3=12=2 条条 所以所以,根据加法原理根据加法原理,从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近路线共有最近路线共有 N=2+2+2=6 条。条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？共有多少条？4、如果把两条异面直线看成、如果把两条异面直线看成“一对一对”，那么六棱锥的棱所在的那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面条直线中，异面直线共有（直线共有（）对）对A.12 B.24 C.36 D.48B
113《分类计数原理与分步计数原理》（3）课件（人教A版选修）
