齐次方程的分离变量法

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1、1 分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的研究两端固定的均匀弦的自由振动，即： 02 xxtt uau 0| 0| 0lxxuu )(| )(| 00 xu xu tt t 边界初始征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几 2这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射同频率的反向波形成驻波在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方)()(),( tTxXtxu 此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形

2、式！把上式代入振动方程和边界条件可得： 02 TXaTX 0)()( 0)()0( tTlX tTX 0)( 0)0(lXX（与t无关）02 xxtt uau 0| 0| 0lxxuu式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是x的函数X（x），则驻波的一般表达式为： 3对于方程02 TXaTX同除XTa2则可得XXTaT 2左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与 XXTaT 2就把原方程分为两个常微分方程，即： 0)(,0)0( 0lXX XX 02 TaT 我们先来求解X，根据0,0,0 的不同来考察（1）0时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为 4

3、 0)(,0)0( 0lXX XX 方程的解是xx eCeCxX 21)(积分常数由初始条件确定： 0021 21 ll eCeC CC 由此可得021 CC即0)( xX驻波0)()(),( tTxXtxu没有意义，故排除！（2）0此时方程的解是：CxCxX 1)(积分常数由初始条件确定： 00 212 ClCC由此可得021 CC即0)( xX没有意义，故排除！ 5（2）0 0)(,0)0( 0lXX XX 此时方程解为：xCxCxX sincos)( 21 积分常数由初始条件来确定 0sin021 lCC 此时如果0sin l仍然可得0 21 CC从而0)( xX应该予以排除！只剩下一种

4、可能：01 C 0sin l则)( Znnl 即： .3,2,12 22 nln 而此时xlxnCxX sin)( 2 C2为任意常数注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！ 6由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数不能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能使原方程有有意义的解。常数 的这种特殊数值叫做本征值， 0)(,0)0( 0lXX XX 而此时T的方程应该写成：0 2 222 TlnaT 02 TaT 此方程的解为：latnBlatnAtT sincos)( 其中，A，B为积分常数把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：.)3,2,1(sin)sin

5、cos(),( nlxnlatnBlatnAtxu n 相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题。 7 .)3,2,1(sin)sincos(),( nlxnlatnBlatnAtxun 这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个在).2,1,0(/ nknklx 共计n1个点上，0sin)/sin( klxn则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n本征振动的角频率为lan / 则频率为: lnaf 2/2/ 当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在N1的各个驻波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na

6、/2l驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波.是基波的n倍. 8以上的本征振动是满足弦振动方程02 xxtt uau和边界条件 0| 0| 0lxxuu的线性独立的特解,由于方程和边界条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加: 1 sin)sincos(),( n nn lxnlatnBlatnAtxu 仍然满足原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数但此时未考虑初始条件!以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的 )(| )(| 00 xu xu tt t 把上述一般解代入初始条件,可得:叠加系数An

7、和Bn,满足初始条件: 9 11 )(sin )(sinn nn n xlxnlanB xlxnA )0( lx左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数(x)(x),展开成傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn: lnn lnn dlnananlB dlnlA 00 sin)(2sin)(2 傅里叶系数傅里叶系数这样,我们就得到了原定解问题的解: 1 sin)sincos(),( n nn lxnlatnBlatnAtxu 系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由第一类边界条件确定的! 10偏微分方 程分离变数常微分方程2解2 本 征 解解2解1齐次边界条件分离变数常微分方程1

8、条件解1（本征函数）所求解本征值问题 本征值本征解初始条件关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！ 112 0 ,0 , 0,(0, ) ( , ) 0( )t xxtu a u x l tu t u l tu x 求解: 12磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的)0( )(| )(| 0| 0| 0 00 02 lxxu xuuu uau tt t lxx xx xxtt （边界条件）（初始条件）（泛定方程）解分离变量：)()(),( tTxXtxu 代入泛定方

9、程和边界条件0)()(,0)()0( 02 tTlXtTX TXaTX即：0)(,0)0( lXX均匀杆，作纵振动，定解问题如下： 1302 TXaTX对于方程化为：XXTaT 2两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为 XXTaT2则于是可分解为关于X和T的常微分方程 0)(,0)0( 0 lXX XX 0 2 TaT （1）（2）对于本征值问题（1）如果0则X（x）恒为零，无意义。如果0则方程的解是：xDCxX 00)( 代入常微条件得：D00则0)( CxX 140)( CxX 为对应于本征值0的本征函数如果0方程0 XX 的解是：xCxCxX sincos)( 21 积分

10、常数满足： 0)cossin( 0 212 lClCC 0故C20 0sin1 lC 若C10，则无意义！则0sin,01 lC 可得：.)3,2,1( nnl 即.)3,2,1(/ 222 nln 相应的本征函数为：.)3,2,1)(/cos()( 1 nlxnCxX 以下把0 0的情况合二为一。 15.)3,2,1(,2 22 nln .)3,2,1(,cos)( 1 nxlnCxX C1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。0将本征值代入T的方程02 TaT 可以得到：)0(,0,0 2 222 nTl anTT 解分别为：tBAtT 000 )( .)3,2,1(,sincos

11、)( ntlanBlanAtT nnn 其中系数均为独立的任意常数。把X（x），T（t）分别代回)()(),( tTxXtxu 得到本征振动如下： 16tBAtu 000 )( .)3,2,1(,cos)sincos(),( nxlantlanBlanAtxu nnn 注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。所有本征振动叠加即得一般解： 100 cos)sincos(),( n nn xlantlanBtlanAtBAtxu 其中系数由初始条件)0( )(| )(| 00 lxxu xu tt t 确定。把一般解代入初始条件，可以得到：)0( )(cos )(cos 10 10 lxxxlnB

12、lanB xxlnAA n nn n 17把左边的函数)(),( xx 展开成傅里叶余弦级数，比较系数 ll dlB dlA 00 00 )(1 )(1 lln dlnanB dlnlA 00 0 cos)(2 cos)(2 由上可知，A0和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端 一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件类齐次边界条件所决定的。不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变， 18可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程

13、和定解条件：)0 ,/| 0| 0| )/( ,000 0 22 lxlxuuuu ckauau t lxx x xxt （这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：)()(),( tTxXtxu 代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件及关于T的常微分方程： 0 0)(,0)0( 02 TaT lXX XX X（x）的方程和条件构成本征值问题，只能得到00)(,0 xX无意义 19则当0时得到常微方程的通解为：xCxCxX sincos)( 21 代入常微分方程的初始条件，可得： 0cos021 lCC 除非是0cos l否则还是得到无意义的解0)( xX则此时可

14、得：0cos l C20即：.)2,1,0(,)21( kkl .2,1,0,4 )12()21( 2 222 22 klklk 这里给出本征值，相应的本征函数为： 20.)2,1,0( 2 )12(sin)( 2 kxlkCxX 而关于T的方程02 TaT 此时变为：0212 222 TlkaT ）（此方程的解为： 2 222)21()( l takCetT U（x,t）的一般解是： 0 )21( )21(sin),( 2 222k l takk l xkeCtxu 其中Ck由初始条件确定：)0 ,/| 00 lxlxuu t （)0(,)21(sin 00 lxxlul xkCk k 21

15、左边是以l xk )21(sin 为基本函数族的级数，启发我们把右边也展开成以l xk )21(sin 为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）比较系数可得： dlklulC l k )21(sin2 0 0 llklklkk u 0220 )21(cos)21()21(sin)21( 2 220)21( 2)1( k luk 22此时可得最后结果为：l xkek lutxu tl akk k )21(sin )21()1(2),( 2 222)21(0 220 对于本征函数即l xk )21(sin 既不同于第一类齐次边界条件lxnsin又不同于第二类齐次边界条件的lxncos边界条件0| lx

16、xu表明应该把导热细杆从区间0，l偶延拓到l，2l延拓后条件为：0| ,0| ,0| 20 lxxlxxx uuu一，三决定了本征函数为lxn2sin n是正整数第二个条件则限定n只能是奇数，2cos22sin nlnlxn lx 边界条件 23若n为偶数，则2cos n不为零，综上所述可得本征函数为：l xk 2 )12(sin l xk )21(sin 即对于一般解，如果考虑早先的时刻即t0却不能早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态 24tl ake 2 222)21( 随k的增

17、大而急剧减小，此时一般解级数收敛很快，在t0.18l2/a2时，可以只保留第一项k0，此时误差lxeutx tla 2sin8),u( 222420 散热片的横截面为矩形，一边yb处于较高温度U，其他)0( ,|,| )0( ,|,| 0 000 000 axuuuu byuuuu uu byy axx yyxx 不超过1%解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：三边y0，x0和xa处于冷却介保持较低的温度u0，求 25xyU u0u0u0O ab如右图所示：这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加：),(),(),( yxwyxvy

18、xu 其中v和w分别满足一组齐次边界条件即： 0|,0| |,| 00 000 byy axx yyxx vv uvuv vv 0000 |,| 0|,0| 0 uwuw ww ww byy axx yyxx 化为齐次的，可以带来方便。是齐次的，此时恒为零，但可以把边界 问题，没有初始条件，边界条件不能都 26可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为令),(),( 0 yxvutxu 把原来的温度U0作为新的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：000 |,0| 0|,0| 0 uuvv vv uv byy ax

19、x yyxx 分离变数令：)()(),( yYxXtxv 问题解出。求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值 27代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程和X的边界条件： 0)(,0)0( 0 aXX XX 0 YY （1）（2）则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：.)3,2,1(, 2 22 nan 本征函数为：.)3,2,1(,sin)( nxanCxX 将本征值代入（2）可得：yanyan BeAeyY )(分离解为：xaneBeAyxv yannyannn sin)(),( 叠加即得一般解： 1 sin)(),( n yannyann xaneBe

20、Ayxv 28为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件： 1 01 sin)( 0sin)(n bannbannn nn uUxaneBeA xanBA 右边展开比较系数 为奇数）（为偶数）（nuUn neBeA BA bannbann nn )(4 00 0由此可得： 为奇数）（为偶数）（n )(/)(4 n 0 /0 abnabnnn eenuUBA 可得最后结果：a xka bksh a ykshkuUuyxu k )12(sin)12( )12()12( 1)(4),( 000 29带电的云跟大地之间的静电场可近似看成匀强电场，电场强度为E0竖直 表示为定解问题，取圆柱的轴为z

21、轴，如果把导线看成无限+ +带电云AB yx大地在xy平面的剖面是个圆：x 2+y2=a2,a为半径。柱外空间没有电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程0 yyxx uu（柱外空间）长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在xy平面研究。体圆柱如何改变静电场。“无限远”的静电场保持匀强，现在来看导临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷 水平架设的输电线处在静电场中，如图： 30对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同，0| 222 ayxu分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但边界条件为：0)()( 22 xaYxX不能分解为X（x）或Y（

22、y）的边界条件，无法进行下去！边界是圆，提示我们采用平面极坐标系。在极坐标系中，方程可表示为： 0011 22222 uuu其中为极径，为极角导体电势为零表示为齐次的边界：0| au 如下：又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件 31在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，Ey0，ExE0即0Exu cos00 ExEu 隐含着非齐次边界条件： cos| 0Eu现在问题转化成极坐标系中的定解问题： 0011 22222 uuu 0| au cos| 0Eu分离变数设：)()(),( Ru代入泛定方程可得 11 ddRddR左边与无关，右边与无关，除非为一常数！ 32把此常数记

23、为： 11 ddRddR此时分解为两个常微分方程： 002 RRR 对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差),()2,( uu 的整数倍，但电势在某点是确定值，故：即：)()2( 自然的周期条件此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解： BeAe BA BA sincos)( )0( )0( )0( 33从而可求得本征值和本征函数： )0( )0( sincos)( .)2,1,0(2 mA mmBmAmm 把本征值代入常微分方程02 RRR 可得：0 2222 RmddRd Rd 欧拉型常微分方程作代换 ln, tet方程可化为：0222 RmdtRd ln 1DCD

24、tC DCDeCeR mmmtmt 00mm由此我们可得到分离变数形式的解为： 34)sincos( )sincos(),( ln),( 000 mDmC mBmAu DCu mmm mmmm 拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加： 1 100 )sincos( )sincos(ln),( m mmm m mmm mDmC mBmADCu 为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件：0)sincos( )sincos(ln 1 100 m mmm m mmm mDmCa mBmAaaDC 一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：0| au 35 mmm mmm BaD AaC aDC

25、 2200 ln 000ln00 mmmm mmmm DaBa CaAa aDC再来看非齐次边界条件： cos| 0Eu对于非常大的一般解中的mDC ln00，远远小于m可以略去，代入非齐次边界条件可得： cos)sincos( 01 EmBmAm mmm 这里如果出现)1( mm则主要部分就不是1而是)1( mm主部故可得：)1(,0,0 mBA mm由第一项1可得0, 101 BEA可得：)1(0),1(0,20211 mDmCaEaAC mm 36最后我们可得柱外的静电势为： coscosln),( 2000 aEEaDu 对于此一般解，中间一项，即cos0E是原来静电场的电势分布，最后

26、一项 cos20 aE当充分大时，可以忽略，代表在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。aD ln 0对于系数是任意常数，表明有不确定的因素！在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正是圆柱原来带的电量。设原来圆柱体不带电，则D00，此时 coscos),( 200 aEEu 37若只看y轴下方，则如图，可以看成平行+ +带电云AB yx大地此时，上下两端，即A和B点的电场强度为：0 ,02200,02 coscosE aEEuE aa 是原来电场的两倍！且与半径无关！此处最容积击穿！Y轴上的电势0|coscos| 2/22002/ aEEu与导体圆柱相同A电容器的极板必

27、须加工的非常平滑！两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压此突起的电场强度是其他匀强电场强度的板电容器之间的静电场，但上面带有突起 38长为l的理想传输线，一端x0接交流电，电动势为tv sin0另一端xl是开路，求解线上的稳恒电振荡。理想传输线是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的稳恒电振荡。初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始条件，这里的定解问题是没有初始条件的。 0| )/1( ,000 22l

28、x tix xxttj evv LCavav 最后取结果的虚部即可 39稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：tiexXtxv )(),( 代入泛定方程，可得X的常微分方程：0)( 2 XLCX 方程的解为：xLCixLCi BeAexX )(故：)()(),( xLCtixLCti BeAetxv 第二项是电源发出的波，第一项是反射波系数A和B由边界条件确定，边界中有电流，故还需要j的表达式由物理定律可得电流：（具体参看相关资料） )()(),( xLCtixLCti BeLCAeLCtxj 把v和j分别代入边界条件可得： 40 00 lLCilLCi BeAe vBA lLCi lL

29、CievB evA 202011则稳恒振荡由 )()(),( xLCtixLCti BeAetxv )()(),( xLCtixLCti BeLCAeLCtxj 给出，系数A和B由上面的关系给出。 41输入端电压同电流之比叫做)(|: 00 lLCictgCLBA BACLjvZ xx 输入当LCal 22/414141 频率波速波长0)2( ictgCLZ 输入此时对电源来说，相当于一个元件！ 42Method of Separation of Variables （分离变量法） for One-Dimensional Mixed Problems 2 , (0, ) (0, )(0, )

30、0, ( , ) 0,( ,0) 0, ( ,0) ( ).tt xx x tu a u lu t u l tu x u x x Solution. ( , ) ( ) ( )u x t X x T t 2( ) ( )( ) ( )X x T tX x a T t 利用驻波的特点，得到某时刻的波形可以用一系列驻波的叠加来表示。代入方程：( ) ( )k kku X x T t（1）1.分离变量法 43 0,X X (0) 0, ( ) 0X X l 2 0T a T （2）（3）Eq.(2) is a Sturm-Liouville problem .The general solution

31、 of Eq.(2) is e e , 0,( ) , 0, cos sin , 0 x xA BX x A BxA x B x 0 0 ( ) 0X x (0) 0, ( ) 0X X l 440 0A 0Bcos 0B l ( ) 0X l (0) 0X cos 0l 2(2 1) 2k k l (2 1)( ) sin 2k k xX x l 0,1,2,k (2 1) (2 1)( ) cos sin2 2k k kk at k atT t a bl l 0 (2 1) (2 1)( , ) cos sin2 2k kk k at k atu x t a bl l (2 1)sin 2k xl 450 (2 1)sin 02kk k xa l 0 (2 1) (2 1)sin ( )2 2kk k a k xb xl l 0 ka 04 (2 1)( )sin d(2 1) 2lk k xb x xk a l 20 (2 1)sin d2 2lk k x lM xl ( ,0) 0u x ( ,0) ( )tu x x 4600 (2 1) (2 1)( , ) sin sin ,2 24 (2 1)( )sin d .(2 1) 2kk lk k at k xu W x t b l lk xb x xk a l The solution of (1) is