高等数学(下)空间解析几何与向量代数

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1、 一 、 向 量 在 轴 上 的 投 影 与 投 影 定 理 .上 的 有 向 线 段是 轴，设 有 一 轴 uABu uA B.ABAB ABu uAB uABAB ， 即 的 值 ， 记 作上 有 向 线 段叫 做 轴那 末 数 是 负 的 ，轴 反 向 时与是 正 的 ， 当向 时 轴 同与， 且 当满 足如 果 数 o uA B1轴 同 方 向 的 单 位 向 量 ，是 与设 ue .)( eABAB 的 相 互 位 置 如 何 ， 三 点轴 上 任 意 三 点 ， 不 论 这是设 uCBA , eBCeABeAC )()()( 即 ,)( eBCAB .BCABAC ,BCABAC

2、e 证 ,1uOA例 1 在 u轴 上 取 定 一 点 o作 为 坐 标 原 点 设 BA, ,是 u轴 上 坐 标 依 次 为 1u , 2u 的 两 个 点 ， e是 与 u轴同 方 向 的 单 位 向 量 ， 证 明 euuAB )( 12 .,1euOA 故 eueu 12 .)( 12 euu o uA B1e 1u 2u,2euOB 同 理 ，OAOBAB 于 是 空 间 两 向 量 的 夹 角 的 概 念 ：,0 a ,0 b ab 向 量 a与 向 量 b的 夹 角),( ba ),( ab 类 似 地 ， 可 定 义 向 量 与 一 轴 或 空 间 两 轴 的 夹 角 .特

3、殊 地 ， 当 两 个 向 量 中 有 一 个 零 向 量 时 ， 规 定它 们 的 夹 角 可 在 0与 之 间 任 意 取 值 . 0( ) 空 间 一 点 在 轴 上 的 投 影uAA 过 点 A作 轴 u的 垂 直 平 面 ， 交 点 A即 为 点A 在 轴 u上 的 投 影 . 空 间 一 向 量 在 轴 上 的 投 影uAA BB 已 知 向 量 的 起 点 A和 终 点 B在轴 u上 的 投 影 分 别 为 BA , 那 么 轴 u上 的 有 向 线 段 BA 的值 ， 称 为 向 量 在 轴 u上 的 投 影 . ABjuPr .BA 向 量 AB在 轴 u上 的 投 影 记

4、为关 于 向 量 的 投 影 定 理 （ 1） 向 量 AB在 轴 u上 的 投 影 等 于 向 量 的 模 乘 以轴 与 向 量 的 夹 角 的 余 弦 ： ABjuPr cos| AB证 uA BA BB ABjuPr ABjuPr cos| ABu 定 理 1的 说 明 ： 投 影 为 正 ；投 影 为 负 ；投 影 为 零 ； uab c(4) 相 等 向 量 在 同 一 轴 上 投 影 相 等 ；0)1( ,22)2( ,)3( ,2 关 于 向 量 的 投 影 定 理 （ 2）两 个 向 量 的 和 在 轴 上 的 投 影 等 于 两 个 向 量 在 该 轴 上 的 投 影 之 和

5、 . .PrPr)(Pr 2121 ajajaaj AA BB CC（ 可 推 广 到 有 限 多 个 ）u1a 2a 二 、 向 量 在 坐 标 轴 上 的 分 向 量 与 向 量的 坐 标 1M1P 2M2P 上 的 投 影 分 别 为 点在 轴点 为 一 条 数 轴 为 一 向 量 ，设 2121 21 , PPuMM uMMa 上 的 坐 标 依 次 为在 轴又 设 2121 , uuuPP uo,Pr 21 uu aMMj 1221 OPOPPP ,12 uu .12 uuau 如 果 e是 与 u轴 正 向 一 致 的 单 位 向 量 ，.)( 12 euu 设 a是 以 ),(

6、1111 zyxM 为 起 点 、 ),( 2222 zyxM为 终 点 的 向 量 ， 过 21, MM 各 作 垂 直 于 三 个 坐 标 轴 的 平 面 , 这 六 个 平 面 围 成 一 个 以 线 段 21MM 为 对 角 线 的长 方 体 . 由 例 1知 eaPP u21 x yzo 1MP N QR 2M以 kji , 分 别 表 示 沿 zyx , 轴 正 向 的 单 位 向 量 .i jk kajaiaa zyx 向量在 轴上的投影x 向量在 轴上的投影y 向量在 轴上的投影z12 xxax 12 yyay 12 zzaz kzzjyyixxMM )()()( 121212

7、21 kzzjyyixxMM )()()( 12121221 按 基 本 单 位 向 量 的 坐 标 分 解 式 ：在 三 个 坐 标 轴 上 的 分 向 量 ： , kajaia zyx 向 量 的 坐 标 ： , zyx aaa向 量 的 坐 标 表 达 式 ： , zyx aaaa , 12121221 zzyyxxMM 特 殊 地 ： , zyxOM 向 量 的 加 减 法 、 向 量 与 数 的 乘 法 运 算 的 坐 标 表 达 式, zyx aaaa , zyx bbbb , zzyyxx babababa , zzyyxx babababa , zyx aaaa ;)()()(

8、 kbajbaiba zzyyxx ;)()()( kbajbaiba zzyyxx .)()()( kajaia zyx 解 , 111 zzyyxxAM , 222 zzyyxxMB 设 ),( zyxM 为 直 线 上 的 点 ，例 2 设 ),( 111 zyxA 和 ),( 222 zyxB 为 两 已 知点 ， 而 在 AB直 线 上 的 点 M分 有 向 线 段 AB为两 部 分 AM 、 MB， 使 它 们 的 值 的 比 等 于 某 数)1( ， 即 MBAM ， 求 分 点 的 坐 标 .A BMx yz o 由 题 意 知 ： MBAM , 111 zzyyxx , 22

9、2 zzyyxx 1xx )( 2 xx 1yy )( 2 yy 1zz )( 2 zz ,1 21 xxx ,1 21 yyy ,1 21 zzzM 为 有 向 线 段 AB的 定 比 分 点 . M为 中 点 时 ，,2 21 xxx ,2 21 yyy .2 21 zzz 非 零 向 量 的 方 向 角 ：a非 零 向 量 与 三 条 坐 标 轴 的 正 向 的 夹 角 称 为 方 向 角 .、 、 ,0 ,0 .0 x yzo 1M 2M 三 、 向 量 的 模 与 方 向 余 弦 的 坐 标 表 示 式 x yzo 1M 2M 由 图 分 析 可 知cos|aax cos|aay c

10、os|aaz 向量的方向余弦方 向 余 弦 通 常 用 来 表 示 向 量 的 方 向 .222| zyx aaaa P QR 向 量 模 长 的 坐 标 表 示 式21212121 RMQMPMMM 0222 zyx aaa当 时 ，,cos 222 zyx x aaa a ,cos 222 zyx y aaa a .cos 222 zyx z aaa a 向 量 方 向 余 弦 的 坐 标 表 示 式 1coscoscos 222 方 向 余 弦 的 特 征0a |aa .cos,cos,cos 特 殊 地 ： 单 位 向 量 的 方 向 余 弦 为 例 3 求 平 行 于 向 量 kji

11、a 676 的 单 位 向 量 的 分 解 式 .解 所 求 向 量 有 两 个 ， 一 个 与 同 向 ， 一 个 反 向a222 )6(76| a ,11|aa0a ,116117116 kji 或 0a |aa .116117116 kji 例 4 设 有 向 量 21PP ， 已 知 221 PP ， 它 与 x轴 和 y轴 的 夹 角 分 别 为 3和 4， 如 果 1P 的 坐 标 为)3,0,1( ， 求 2P 的 坐 标 .解 设 向 量 21PP 的 方 向 角 为 、 、 ,3 ,4 ,1coscoscos 222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 设

12、2P 的 坐 标 为 ),( zyx ,1cos x 21PP 2 1 x 21 ,2 x0cos y 21PP 2 0 y 22 ,2 y3cos z 21PP 2 3 z ,2,4 zz2P 的 坐 标 为 ).2,2,2(),4,2,2( 2 1 例 5 设 kjim 853 ， kjin 742 ，kjip 45 ， 求 向 量 pnma 34 在 x轴 上 的 投 影 及 在 y轴 上 的 分 向 量 .解 pnma 34 )853(4 kji )742(3 kji )45( kji ,15713 kji 在 x轴 上 的 投 影 为 13xa , 在 y轴 上 的 分 向 量 为

13、j7 . 向 量 在 轴 上 的 投 影 与 投 影 定 理 .向 量 在 坐 标 轴 上 的 分 向 量 与 向 量 的 坐 标 .向 量 的 模 与 方 向 余 弦 的 坐 标 表 示 式 .四 、 小 结（ 注 意 分 向 量 与 向 量 的 坐 标 的 区 别 ） 思 考 题 设 jim ， kjn 2 ， 求 以 向 量nm , 为 边 的 平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 . 思 考 题 解 答对 角 线 的 长 为 |,|,| nmnm ,1,1,1 nm 1,3,1 nm ,3| nm ,11| nm 平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 各 为 11,

14、3 . mn 练 习 题 一 、 填 空 题 ：1、 已 知 rr ,4 与 轴 u的 夹 角 是 60 ， 则 rjuPr =_ _；2、 已 知 两 点 1M )2,1,0( 和 2M )0,1,1( 则 21MM _； -2 21MM =_；3、 已 知 两 点 1M )1,2,4( 和 )2,0,3(2M ,则 向 量 21MM _ ， 21MM =_， 方 向 余 弦 cos =_； cos =_； cos =_； 方 向 角 _ , _ , _； 4 、 已 知 向 量 kjia , kjib 532 及 kjic 22 , 0a则 _； 0b =_； 0c =_；5、 一 向 量

15、 与 zoxyozxoy , 三 个 坐 标 平 面 的 夹 角 , 满 足 2cos + 2cos + 2cos =_ .二 、 一 向 量 的 终 点 在 点 )7,1,2( B ， 它 在 轴X ， 轴Y 和 轴Z 上 的 投 影 依 次 为 74,4 和 ， 求 这 向 量 的 起 点 的 坐 标A . 三 、 求 平 行 于 向 量 6,7,6 a 的 单 位 向量 . 练 习 题 答 案 一 、 1、 2； 2、 4,4,2,2,2,1 ； 3、 ;3,43,32,21,22,21,2,1,2,1 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31 ； 5、 2.二 、 A(-2,3,0) . 三 、 116,117,116116,117,116 或 .