FORTRAN数值方法及其在物理学中应用

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1、1 第 二 章 物 理 图 形 、 图 象 与 计 算 机 模 拟 2.1 简 谐 振 动 及 其 合 成 曲 线 模 拟 2.2 阻 尼 运 动 和 阻 尼 振 动 的 模 拟 2.3 驻 波 的 模 拟 2.5 波 的 干 涉 和 衍 射 图 形 模 拟 2.4 点 电 荷 与 点 电 荷 系 的 等 势 线 和 电 场 模 拟 2 2.1 简 谐 振 动 及 其 合 成 曲 线 模 拟一 、 简 谐 振 动 的 曲 线 和 曲 线tx tv 例 1： 画 出 曲 线 及 对 应 的 曲 线 ， 其 中)cos( tAx tv 0 , ,0.2 A 周 期 ）(0 )2cos( )2cos

2、()sin( Tttv tAtAdtdxv m 等 分 ）秒 ，取 NNTtT ( / 2/2 3 Implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=x-t.dat) open(2,file=v-t.dat) write(*,*)input A,w,phi,N read(*,*)A,w,phi,N pi=3.1415926 do 10 I=1,N t=2.*pi/w t=t*float(I)/N x=A*cos(w*t+phi) v=A*w*cos(w*t+phi+pi/2.) write(1,*)t,x10 write(2,*)t,v end计算程序cos( )x A

3、 t cos( )2v A t 40.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-8-6-4-2 02468 t x=Acos(*t+) v=Acos(*t+/2) 图形模拟Origin简 介 5 二 、 简 谐 振 动 的 合 成1.同 方 向 简 谐 振 动 的 合 成 同 频 率 情 况 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx )cos(21 tAxxx其 中 2/112212221 )cos(2 AAAAA 1 1 2 21 1 2 2sin sintg cos cosA AA A 减 弱 （ 反 相 ）（ 加 强 （ 同 相 ）

4、 ,12 |,| ,2 , 1221 1221 KAA KAAA 6 例 2： 试 给 出 两 个 同 方 向 同 频 率 简 谐 振 动 的 合 成 程 序 open(1,file=x1.dat) open(2,file=x2.dat) open(3,file=x.dat) write(*,*)input A1,A2,w,phi1,phi2=? read(*,*)A1,A2,w,phi1,phi2 pi=3.1415926 do 10 I=1,1000 t=2.*pi/w t=t*float(I)/1000 x1=A1*cos(w*t+phi1) x2=A2*cos(w*t+phi2) x=

5、x1+x2 write(1,*)t,x1 write(2,*)t,x210 write(3,*)t,x end )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx 70.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.20-0.15-0.10-0.050.00 0.050.100.150.20 t x1=0.05cos(10t+0.6) x2=0.1cos(10t+0.6) x=x1+x2 (同 相 ) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.15-0.10-0.050.00 0.050.100.15 t x1=0.05cos(10t+0.6) x2=0.1cos(10t+

6、1.6) x=x1+x2 (反 相 ) 图形模拟 两 个 同 方 向 同 频 率 简 谐 振 动 的 合 成 80.00 0.05 0.10 0.15 0.20-0.15-0.10-0.05 0.000.050.100.15 t x1=0.05cos(10t+0.6) x2=0.1cos(10t+0.2) x=x1+x2 EX2-1: 编 程 完 成 例 2。 两 个 同 方 向 同 频 率 简 谐 振 动 的 合 成 9 不 同 频 率 情 况 若 ， 会 出 现 拍 的 现 象 。 21 , )cos( 1111 tAx )cos( 2222 tAx合 振 动 不 再 是 简 谐 振 动

7、， 利 用 旋 转 矢 量 法 可 以 求 得 合 振 动 的 振 幅 为 2/11212212221 )()cos(2 tAAAAA | 2 12 v 中 间 经 历 的 时 间 称 为 周 期 ， 显 然 ， 频 率 ： |2 | 1212 21 AAA | 21 AAA v 振 幅 在 和 间 周 期 性 地 变 化 ， 属 振 动 调 制 。 合 振 动 振 幅 从 一 次 极 大 到 相 邻 的 另 一 次 极 大 。 10 假 设 两 个 分 振 动 振 幅 都 为 ， 圆 频 率 相 差 较 小 ， 取 它 们 的 初 相 位1A 21,tAx 111 cos tAx 212 c

8、os此 时 合 成 运 动 的 位 移 可 写 成 ： )(21cos)(21cos2 1212121 ttAxxx )(21cos 12 tA x 变 化 主 要 取 决 于 ， 振 幅 按 变 化 。)(21cos 12 t )(21cos2 121 tA 都 是 零 ， 则 可 以 分 别 表 示 为 ：)(21cos2 121 tAA 其 中 。 )(21 12 )(21 12 由 于 圆 频 率 远 大 于 圆 频 率 ， 110 5 10 15 20 25 30 35 40-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.0 0.51.01.52.02.5 tx x=x1+x2=cos1

9、0t+cos11t 图形模拟两 个 同 方 向 频 率 近 似 的 简 谐 振 动 的 合 成 12 2. 两 个 相 互 垂 直 方 向 简 谐 振 动 的 合 成1 1 12 2 2cos( )cos( )x A ty A t 若 ， 则 有 合 振 动 方 程 ： 21 )(sin)cos(2 12212 21222212 AAxyAyAx xAAyAyAx 122112 0 :0 （ 一 、 三 象 限 直 线 方 程 ） xAAyAyAx 122112 0 : （ 二 、 四 象 限 直 线 方 程 ） （ 椭 圆 方 程 ） 1 :2 22221212 AyAx 13 质 点 轨

10、迹 曲 线n 下 图 所 示 为 两 个 频 率 相 同 、 振 幅 相 等 、 相 互 垂 直 而 相 位 差 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.50.0 0.51.0 2-1= xy -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.50.0 0.51.0 2-1= xy -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.50.0 0.51.0 2-1= xy两 个 频 率 相 同 、 振 幅 相 等 、 相 互 垂 直 简 谐 振 动 的 合 成 4/3 ,2/ ,4/ 为 下 的 质 点 轨 迹 曲 线 。 14 若 ， 但 满 足 一 定 整 数 倍

11、 数 比 关 系 时 ， 则 会 21 下 图 所 示 为 两 个 频 率 不 同 （ 满 足 ） 、 振 幅 相 等 、 2/3/ 21 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.50.00.5 1.0 2-1= xy -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.0-0.50.00.5 1.0 2-1= xy -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0-1.5-1.0-0.50.00.5 1.01.5 2-1=0 xy 利 萨 如 图 形 示 意 图 出 现 利 萨 如 图 形 ： 4/ ,8/ 相 互 垂 直 而 相 位 差 为 0， 下 的 质 点 轨 迹 曲 线 。

12、15 2.2 阻 尼 运 动 和 阻 尼 振 动 的 模 拟 一 、 阻 尼 情 况 下 物 体 运 动 的 曲 线tv 例 3： 质 量 为 的 摩 托 快 艇 以 速 度 行 驶 ， 它 受 到 的 摩 擦 阻 力 与 速 度 成 正 比 ， 设 比 例 系 数 为 ， 则 ， 试 求 关 闭 发 动 机 后 ， 对 的 变 化 规 律 。 （ 取 m 0v K KvF v t )/004.0250/1 ,/100 skgK/msmv 解 ： 物 理 分 析 与 数 学 模 型 )( or 00 mKAevvevv AttmK KvdtdvmmaF vmKdtdv 可 用 函 数 作 图

13、法 方 法 1: 16 n 方 法 2： 用 （ 差 商 法 ） dtdvtv替 代 AvvmKtvdtdv tAvv )( 1 tAvvv ii 函 数 近 似 值 作 图 法 17 open(1,file=vt.dat) write(*,*)input a,v0,t=? read(*,*) a,v0,t v1=v0 t0=0. v10=v0 write(1,*)t0,v0,v10 dt=t/1000. do 10 j=1,1000 tt=t*float(j)/1000. v=v0*exp(-1.)*a*tt) v1=v1-a*v1*dt 10 write(1,*)tt,v,v1 end 0

14、 500 1000 1500 20000246 810 K/m=1/250, v0=10m/s阻 尼 运 动 曲 线 tv模拟程序 1 ( )i iv v Av t 0 ( )At Kv v e A m 18 二 、 阻 尼 振 动n 问 题 ： 弹 簧 振 子 阻 尼 振 动 的 方 程 为n 阻 尼 因 子n 弹 簧 振 子 的 角 频 率 )( 02 02022 xdtdxdtxd 0试 用 函 数 近 似 法 作 出 位 移 与 时 间 的 函 数 变 化 曲 线 。 19 问 题 分 析 :n 解 ： 将 二 阶 微 分 方 程 化 为 一 阶 微 分 方 程 22dtxddtdv

15、dtdxv 20 2 ( , )dv v x f x vdt tvxfv *),( tvxfvv iii *),(1即 tvx *而 tvxx iii *1 tv 20 实 例 说 明 ：n 例 4： 画 出 当 ， ， 时 ， ， ， ， 秒 下 的 曲 线 。1.0 10 0t 0.1x 0.0v250 t 1000/25t tx 计 算 程 序 ： open(1,file=v-t.dat) open(2,file=x-t.dat) write(*,*)input B,w0,x0,v0,t=? read(*,*)B,w0,v0,x0,t dt=t/1000. v=v0 x=x0 tt0=0

16、.0 write(1,*)tt0,v0 write(2,*)tt0,x0 do 10 j=1,1000 tt=float(j)*dt f=-2.*B*v-w0*2*x v=v+f*dt x=x+v*dt write(1,*)tt,v10 write(2,*)tt,x end 210 5 10 15 20 25-1.0-0.50.0 0.51.0 t (s) Y x-t曲线 v-t曲线阻 尼 振 动 曲 线 示 意 图 图形模拟 220 5 10 15 20 25-1.0-0.50.0 0.51.0 tx =0.1, =1, 小阻尼情况 =1, =1，临界阻尼情况 =1.5, =1，大阻尼情况不

17、 同 阻 尼 情 况 振 动 曲 线 示 意 图 图形模拟 23 EX2-2: 编 程 完 成 例 3。 BvAdtxd 22EX2-3:一 石 子 从 空 中 静 止 下 落 ， 已 知BA , tx 式 中 为 常 数 ， 试 绘 制 石 子 下 落 的,8.9A ,5.0B ,10| 0tx曲 线 。 其 中,0| 0tv 20 t 。 作业 24 2.3 驻 波 的 模 拟 定 义 ： 两 列 振 幅 、 振 动 方 向 和 频 率 都 相 同 而 传 播 方 向 相 反 的 两 列 同 类 波 相 干 叠 加 形 成 驻 波 。 设 有 两 列 振 动 方 向 相 同 、 振 幅 相

18、 同 、 频 率 相 同 的 平 面 余 弦 波 ，, )(2cos 1 xtAy )(2cos2 xtAy 按 叠 加 原 理 ， 合 成 的 驻 波 的 波 函 数 为 : )(2cos)(2cos21 xtxtAyyy txAy 2cos2cos2 轴 的 正 、 负 方 向 传 播 。X分 别 沿 25n在 值 满 足 下 式 的 各 点 ， 振 幅 为 零 驻 波 波 节 处x ,2,1,0,4)12(2)12(2 kkxkx 相 邻 两 波 节 的 距 离 为 半 波 长 ， 即 ： 24)12(41)1(21 kkxx kk 讨 论 : tt2cosp 因 子 是 时 间 的 余

19、 弦 函 数 ， 说 明 形 成 驻 波 后 ，各 质 点 都 在 作 同 频 率 的 谐 振 动 。p 另 一 因 子 xA 2cos2 是 坐 标 的 余 弦 函 数 ， 说 明 各 质 点的 振 幅 按 余 弦 函 数 规 律 分 布 。 txAy 2cos2cos2 26 x在 值 满 足 下 式 的 各 点 ， 振 幅 最 大 驻 波 波 腹 处,2,1,0,22 kkxkx 相 邻 两 波 腹 间 的 距 离 也 为 半 波 长 ， 即 ： 222)1(1 kkxx kk l 波 节 处 的 质 点 振 动 的 振 幅 为 零 ， 始 终 处 于 静 止 ； l 波 腹 处 的 质

20、 点 振 动 的 振 幅 最 大 ， 等 于 。 l 其 他 各 处 质 点 振 动 的 振 幅 则 在 零 与 最 大 之 间 。 l 两 相 邻 波 节 或 两 相 邻 波 腹 之 间 相 距 半 波 长 。 l 波 腹 和 相 邻 波 节 间 的 距 离 为 ， 波 腹 和 波 节 交 替 作 等 距 离 排 列 。 A24/特 征 : 讨 论 : 27 驻 波 模 拟 程 序 流 图 28 implicit real*8(a-h,o-z) open(1,file=zhubo.dat) open(2,file=zhubo1.dat) open(3,file=zhubo2.dat) wri

21、te(*,*)input A,x,wavelength read(*,*)A, x, wa pi=3.1415926 T=2.*pi time=0.5*T dx=x/1000 do 10 I=1,1000 x=dx*float(i) y1=A*cos(2*pi)*(time/T-x/wa) y2=A*cos(2*pi)*(time/T+x/wa) y=2*A*cos(2*pi*x/wa)*cos(2*pi*time/T) write(1,*)x,y write(2,*)x,y110 write(3,*)x,y2 end模拟程序txAy 2cos2cos2 , )(2cos1 xtAy 29 0

22、 2- 202 t = 0 入 射 波 、 反 射 波 合 成 波1 1 2 32 3 4 4D*D *D*D* CC CC X 0 2- 202 t = T / 8 入 射 波 反 射 波 合 成 波 1 1 2 32 3 4 4D*D *D*D* CC CC X 图形模拟， )2/(1 ,1A 30 0 2- 202 t = T / 4 入 射 波 反 射 波 合 成 波 1 1 2 32 3 4 4D*D *D*D* CC CC X 0 2- 202 t = 3 T / 8 入 射 波 反 射 波 合 成 波 1 1 2 32 3 4 4D*D *D*D* CC CC X 0 2- 20

23、2 入 射 波 , 反 射 波 合 成 波 t = T / 21 1 2 32 3 4 4D*D *D*D* CCCC X 31 每 一 时 刻 ， 驻 波 都 有 一 定 的 波 形 ， 此 波 形 既 不 向 右 移 ， 也不 向 左 移 ， 各 点 以 各 自 确 定 的 振 幅 在 各 自 的 平 衡 位 置 附 近振 动 ， 没 有 振 动 状 态 或 相 位 的 传 播 ， 因 而 称 为 驻 波 。又 沿 相 反 方 向 同 时 通 过 平 衡 位 置 。 在 驻 波 进 行 过 程 中 ， 没 有 振 动 状 态 （ 相 位 ） 和 波 形 的 定 向 传 播 ， 可 以 证

24、明 也 无 能 量 的 定 向 传 播 ， 这 也 是 行 波 和驻 波 的 重 要 区 别 所 在 。 将 相 邻 两 波 节 之 间 的 各 点 称 为 一 段 ， 每 一 段 各 点 具 x2cos有 相 同 的 符 号 ， 而 相 邻 的 两 端 符 号 总 是 相 反 的 ， 这 说 明 在 驻波 中 同 一 段 上 各 质 点 的 振 动 相 位 相 同 ， 而 相 邻 两 段 中 的 各 点振 动 相 位 相 反 。l 同 一 段 内 各 点 沿 相 同 方 向 同 时 达 到 各 自 振 动 位 移 的 最 大 值 ，又 沿 相 同 方 向 同 时 通 过 平 衡 位 置 ；l

25、 波 节 两 侧 各 点 同 时 沿 相 反 方 向 达 到 振 动 位 移 的 正 、 负 最 大 值 ， 32 当 波 在 自 由 端 反 射 时 ， 则 无 相 位 突 变 ， 形 成 驻 波 时 ， 在 半 波 损 失 在 弦 线 上 进 行 的 驻 波 实 验 ， 反 射 点 处 弦 线 是 固 定 不 动 的 ， 这 一 点 只 能 是 波 节 。 这 说 明 反 射 波 和 入 射 波 的 相 位 在 反 射点 正 好 相 反 ， 即 入 射 波 在 反 射 点 反 射 时 相 位 有 的 突 变 。 根 据 相 位 差 与 波 程 差 的 关 系 （ ） ， 相 位 差 为 2

26、 说 ， 反 射 波 和 入 射 波 之 间 存 在 着 半 个 波 长 的 波 程 差 ， 这 种相 位 突 变 称 为 半 波 损 失 。就 相 当 于 半 个 波 长 的 波 程 差 ， 这 说 明 对 固 定 端 的 反 射 点 来自 由 端 出 现 波 腹 。 33 )53(2cos21 xty XEX2-4:一 沿 方 向 传 播 的 入 射 波 的 波 函 数 为0 x在 处 发 生 反 射 ， 反 射 点 为 一 节 点 。1t求 （ 1） 反 射 波 的 波 函 数 及 在 时 的 图 形 。（ 2） 合 成 波 （ 驻 波 ） 的 波 函 数 及 在 1t 时 的 图 形

27、。作业 34 2.4 点 电 荷 与 点 电 荷 系 的 等 势 线 和 电 场 模 拟 一 、 等 势 线 方 程要 求 ： 作 出 满 足 等 势 线 方 程 的 等 势 线 。0),( VyxV 例 5： 一 个 点 电 荷 在 处 产 生 的 电 势 ),( yxq等 势 线 方 程 为 ： 02/122 )()(),( Vbyax qrqyxV 2 022 )()()( Vqbyax 即 圆 心 在 ， 半 径 为 的 圆 。 ),( ba 0Vq 2/1220 )()( axVqby 由 上 式 可 得 ：画 图 时 可 采 用 参 数 方 程 ： tVqby tVqax sinc

28、os00 )2,0( t 35 例 6： 两 个 点 电 荷 的 电 势 分 布 。 02211),( VrqrqyxV 等 势 线 方 程 为 ： 2/122222/12211 )( ,)( yxxryxxr ! 0)(),( 0 的 显 示 形 式不 易 给 出 xyVyxV 36 二 、 隐 函 数 曲 线 的 绘 制 （ ）0),( VyxV 0),( 0 dVdyyVdxxVyxdV dtdtyV xVdxdy （ 这 里 引 入 参 数 ）t dtxVdy dtyVdx n指 定 (如 )， 计 算 出 和 ， 由 上 式 可 得 和 。 dt 310dt yV xV dx dy)

29、,( yx 0V ),( dyydxx 0Vn若 点 处 电 势 为 ， 则 处 的 电 势 也 为 。 37 编 程 步 骤 :把 上 述 点 连 起 来 ， 就 是 的 等 势 线 。),( yx 0V 0 x,0V 0y输 入 给 定 （ 或 ）Step1: 00),( VyxV 0 x求 的 根,0 xx ,0yy 令 310dt如 取,dtyVxx dtxVyy Step2: 38 三 、 等 势 线 作 图 步 骤21 qq 02211),( VrqrqyxV 2/122222/12211 )( ,)( yxxryxxr n1 ),(),( yxVyxV x关 于 轴 对 称 。2

30、. x, 0V对 于 给 定 的 其 等 势 线 的 出 发 点 选 在 轴 上 ，0)0,( VxV ,x即 由 给 出 )0,(x由 点 出 发 。 39 作 图 步 骤 :n3. )1()1( 2211 rxqrxqxV 32 2231 11 )()( r xxqr xxqxV 而同 样 有 ： 3 22311 r yqr yqyV 312321 31223211322311 32223111 )()(/ /)(/)( yrqyrq rxxqrxxqryqryq rxxqrxxqdxdy 因 此 有 ： dtrqrqydx )( 312321 dtrxxqrxxqdy )()( 3122

31、3211 取 ： dtdtyV xVdxdy 40 1 2 01 2| | | |q q Vx x x x *0 xx ,00 y解 ： 令 则 有 ：,11 q 12 q ,2 ,2 21 xx例 7： (异 号 )， 画 出5.0 ,1 ,2 ,30 V 041时 的 等 势 线 。 (忽 略 )注意若 求 得 初 值 0 x 有 多 个 ， 需 对 每 一 个 初 值 进 行 迭 代计 算 才 会 保 证 曲 线 的 完 整 性 。 41 open(1,file=a1.dat) write(*,*)input q1,q2,x1,x2=? read(*,*)q1,q2,x1,x2 x=x*

32、 y=0.0 write(1,*)x,y dt=0.005 do 10 j=1,100 r1=(x-x1)*2+y*2 r1=sqrt(r1) r2=(x-x2)*2+y*2 r2=sqrt(r2) dx=y*(q1*r2*3+q2*r1*3)*dt x=x+dx dy=(-1.)*(q1*(x-x1) *r2*3+ q2*(x-x2)*r1*3)*dt y=y+dy10 write(1,*)x,y end dtrqrqydx )( 312321 dtrxxqrxxqdy )()( 31223211 模拟程序 42 图形模拟 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

33、5 6 7 8-4-3-2-10123 4 (b) y x v0=3 v0=2 v0=1 v0=0.5 , （ 异 号 ） 1 1 q 12 q 两 个 点 电 荷 电 势 等 势 线 示 意 图 1 ,1 21 qq （ 同 号 ）-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5 1.01.52.0 (a)电 势 从 内 向 外 依 次 为 ：3,2,1,0.5y x电 势 从 内 向 外 依 次 为 ：-3,-2,-1,-0.5 43-4-2024-4-2 0 2 4 0 0.5 1 -4 -2 0 2 4q1=1,q2=1, x1=-2, x2=2

34、-4 -2 0 2 4-4 -2 0 2 4 -1 -0.5 0 -4 -2 0 2 4q1=-1,q2=-1, x1=-2, x2=2同 号 情 况 44 -4 -2 0 2 4-4 -2 0 2 4 -0.5 0 0.5 -4 -2 0 2 4q1=-1, q2=1, x1=-2, x2=2 -4 -2 0 2 4-4 -2 0 2 4 -0.5 0 0.5 -4 -2 0 2 4q1=1, q2=-1, x1=-2, x2=2异 号 情 况 45 四、点电荷系电场线的图像模拟单 个 点 电 荷 的 电 场 ： 0200 41 rrqqFE 点 电 荷 系 的 电 场 ： k kkkk r

35、rqEqFE 0200 41 kkk 例 8： 如 图 所 示 ， A、 B、 C三 个 点 电 荷 组 成 一 个 点 电 荷 系 ， 其 中 A(0,0)点带 电 为 ， B(0,1)点 带 电 亦 为 ， 最 后 C(0,-1)点 带 电 ， 试 模 拟 平 面 内 电 场 线 分 布 。 q q q2 XOY 46 点 电 荷 系 在 某 点 产 生 的 电 场 强 度 等 于 各 点 电 荷 单独 在 该 点 产 生 的 电 场 强 度 的 矢 量 和 ， 这 称 为 电 场强 度 叠 加 原 理 。所 以 ， 在 XOY平 面 内 电 场 强 度 为 ： jxy yqxyqyxy

36、yq ixy qxxyqxxy qxyxE 2/32202/32202/3220 2/32202/32202/3220 14 1414 12 14414 2),( 电 场 线 上 每 一 点 的 切 线 方 向 反 映 了 该 点 的 场 强 方 向 ， 有 ：),( ),( yxE yxEdxdy xy解 上 述 方 程 可 得 ： Cxy yxy yxy y 2/1222/1222/122 1 11 12 47 Cxy yxy yxy y 2/1222/1222/122 1 11 12此 超 越 方 程 （ 等 值 线 ） 即 为 这 个 点 电 荷 系 的 电 场 线 方 程 ， -5

37、0 5-5 0 5 x y 点 电 荷 系 的 电 场 线 模 拟 常 数 C选 取 不 同 的 值 对 应 不 同 的 电 场 线 。 (C=0.13,间 隔 0.1） 48 例 9： 电 偶 极 振 子 电 场 的 模 拟 设 电 偶 极 子 的 电 偶 极 矩 为 ： Zti eepp 0 在 球 坐 标 系 下 ， 任 意 时 刻 t空 间 任 意 处 r的 辐 射 电 场 为 ： 0 2cos1cos11sin4 2cos1cos1cos42 23030 23030 E krtkrkrtkrkrkpE krtkrkrtkrkpEr辐 射 的 电 场 线 满 足 方 程 : EErdd

38、r r 49 解 上 述 方 程 即 可 得 电 场 线 满 足 的 方 程 ： Ckrkrtkr arctancossin11 22/12 当 C 取 不 同 值 时 可 得 到 不 同 的 辐 射 电 场 线 。 -1 -0.5 0 0.5 1-1 -0.5 0 0.5 1 x y 电 偶 极 子 辐 射 电 场 线 模 拟 2/122 )/(/sin ,1.0,5.0,1 yxxrxC 50 五 、 带 电 粒 子 在 电 磁 场 中 的 运 动 在 均 匀 磁 场 中 带 电 粒 子 受 洛 伦 茨 力 的 作 用 Bqfm vB f qv Bv 时 ： RmBq 22sin vv q

39、BmR v 51 粒 子 回 转 周 期 与 频 率 分 别 为 ： qBmRT 22v mqBf 2当 粒 子 速 度 与 磁 场 夹 角 为 时 ： B /vv h v带 电 粒 子 作 螺 旋 运 动 ： qBmqBmR sinvv qBmTh cos2/ vv 52 其 轨 迹 为 一 圆 柱 螺 旋 线 ， 参 数 方 程 为 ： 2sincoshz Ry Rx其 中 ,2 tTt 为 角 速 度 ， h为 螺 距 。 53 均 匀 磁 场 中 带 电 粒 子 运 动 轨 迹 模 拟 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00 2 4 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Z

40、 Axis Y AxisX Axis 54 设 原 子 核 的 电 量 为 Ze， 位 置 坐 标 为 00,yx ， 其 质 量 远 大 于 22 /2 RZeF 其 中 ： 2020 yyxxR 在 直 角 坐 标 系 下 ： 3 02 3 0222 R yyZeF R xxZeFyx 粒 子 的 质 量 m 。 粒 子 的 电 量 为 2e， 其 位 置 用 yx, 表 示 ，则 粒 子 受 斥 力 为 ： 六 、 粒 子 散 射 实 验 55 对 应 的 加 速 度 a： 3 02 3 0222 mR yyZea mR xxZeayx粒 子 速 度 为 ： taVV taVV yyy

41、xxx 12 12所 以 粒 子 坐 标 为 ： tVyy tVxx yx212 212 56 散 射 粒 子 运 动 轨 迹 模 拟 0 x y粒 子 由 位 置 入 射 ， 选 取 不 同 的 对 应 不 同 的 粒 子 轨 迹 57 2.5 波 的 干 涉 和 衍 射 图 形 模 拟 一 、 波 的 干 涉 图 形 模 拟 物 理 分 析 （ 在 均 匀 介 质 中 传 播 ） ： )cos( )cos( 2202 1101 tAy tAyn波 源 ： )/2cos( )/2cos( 2222 1111 rtAy rtAyPn 点 ： 22021101 / ,/ rAArAA 这 里 *

42、 ),( yxP1r 2r1S2S * 58 点 的 合 振 动 ： P )cos(21 tAyyy其 中 /)(2cos2 12122122212 rrAAAAA /)(2cos2 122122212 rrAAAAA （ 相 干 减 弱 ）时 ， （ 相 干 加 强 ）时 ， | )21( 2112 2112 AAAkrr AAAkrr ,2 ,1 ,0 12 kkrr (隐函数等值线方程)若 ,12 则 有设 有 两 列 相 干 波 ， 如 果 初 相 相 等 ， 则 干 涉 条 件 可 简 化 为 用波 程 差 来 表 示 ， 即 当 满 足 ：处 的 空 间 各 点 ， 合 振 幅 最

43、 大 ， 这 时 合 振 幅 ，21 AAA 强 度 加 强 ； 59 当 满 足 ： ,2 ,1 ,0 )12(2112 kkrr 处 的 空 间 各 点 ， 合 振 幅 最 小 ， 这 时 合 振 幅 |,| 21 AAA 当 波 程 差 界 于 上 述 两 者 之 间 ， 则 合 振 幅 也 处 于 上 述 两 者 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-10-505 10 x 干涉 相长干涉 相消 y 波 的 干 涉 图 象(两 波 源 相 距 为 4m, =1.5m， ) m1 21 AA (隐函数等值线方程)大 小 之 间 。强 度 减 弱 ； 60 二 、 等 厚 干 涉 （

44、 牛 顿 环 ） 如 下 图 所 示 ： d表 示 入 射 点 处 膜 的 厚 度 , 当 垂 直 入 射 的 单色 平 行 光 透 过 平 凸 透 镜 B后 , 在 空 气 层 的 上 、 下 表 面 发 生反 射 形 成 两 束 向 上 的 相 干 光 。 这 两 束 相 干 光 在 平 凸 透 镜下 表 面 相 遇 而 发 生 干 涉 。等 厚 干 涉 实 验 及 牛 顿 环 干 涉 图 样 dCAB Rr O 61 两 束 相 干 光 的 光 程 差 为 ： 22 d其 中 ： 2 2 2 2 2 2( ) 2R r R d r R Rd d dR Rdr 22 Rrd 22两 束 相

45、 干 光 的 相 位 差 为 ： /2牛 顿 环 干 涉 光 强 分 布 为 ： /2/cos 220 RrIrI直 角 坐 标 系 中 22 yxr 220 0 0 0 042 2 cos 2 (1 cos ) 2 1 cos( ) 4 sind rI I I I I I R 半 波 损 失 62模 拟 牛 顿 环 干 涉 图 样 光 强 分 布 3000mm, 589.3nmR 63 明 纹 位 置 ： ,3,2,1,22222 2 kkRr 暗 纹 位 置 ： ,2,1,0,2)12(222 2 kkRr 暗纹明纹,2,1,0 ,3,2,12)12( kRkr kRkr 讨 论 ：(1)

46、 测 透 镜 球 面 的 半 径 R： 已 知 ， 测 m、 r k+m、 rk， 可 得 R(2) 测 波 长 ： 已 知 R， 测 出 m、 rk+m、 rk， 可 得 (3) 检 测 透 镜 的 曲 率 半 径 误 差 及 其 表 面 平 整 度 。(4) 透 射 图 样 与 反 射 图 样 互 补 。 64 三 、 波 的 衍 射 图 形 模 拟 均 匀 光 源 的 夫 琅 禾 费 多 缝 衍 射 ， 其 衍 射 场 强 度 分 布 为 ： )sin)(sin( 22220 v Nvu uII 式 中 ， ， 其 中 是 狭 缝 宽 度 ， 是 光 栅 常 数 ， 是 sinau si

47、ndv a d 参 数 的 选 择 是 任 意 的 ， 但 必 须 服 从 物 理 规 律 ： 缝 宽 必 须 大 于 波 长 ；光 栅 常 数 与 同 数 量 级 ； a dad a N衍 射 角 ， 是 入 射 波 长 ， 是 狭 缝 的 有 效 数 目 。 65 单 缝 衍 射 )sin( 220 u uII 显 然 当 衍 射 角 时 ， ，0 1sin uu在 衍 射 屏 上 某 一 点 处 的 强 度 为P -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 120.00.20.40.6 0.81.0 uI/I0单 缝 衍 射 强 度 分 布 曲 线 其 中 ， 为

48、点 合 振 动 的 振 幅 。200 21 AI 0A P 0I0II 此 时 ， 光 强 最 大 ， 为 中 央 明 纹 中 心 处 强 度 。 66单 缝 衍 射 图 样 模 拟 67 讨 论 : 当 时 ， ， kau sin ka sin ) ,3 ,2 ,1( k0)sin( 2 uududn由 此 得 ， 解 得 ：uu tg 43.1 1 u 43.1sin 1 a 01 0472.0 II 46.22 u 46.2sin 2 a 02 0165.0 II 47.33 u 47.3sin 3 a 03 0083.0 II 次 极 大 的 光 强 比 中 央 明 纹 中 心 的 强

49、 度 小 得 多 ， 且 随 次 极 大0I ， 此 时 为 暗 纹 条 件 。 在 相 邻 暗 纹 之 间 ， 有 一 次 极 大 ，出 现 次 极 大 条 件 为 ：的 增 加 很 快 减 少 。 )sin( 220 u uII n 由 上 式 可 知 ， 680孔径为R 衍射屏相对光强曲线f 实 验 衍 射 屏 放 置 在 XOY平 面 上 ， 在 屏 上 O点 有 一半 径 为 R的 圆 孔 ， 一 束 平 行 于 Z轴 的 光 线 垂 直 照 射 圆 孔 ，在 透 镜 后 方 的 焦 平 面 上 可 得 衍 射 图 样 。 四 、 圆 孔 的 夫 琅 禾 费 衍 射 69 圆 孔 衍

50、 射 光 强 公 式 为 ： 20 12 /I I J u u 其 中 是 一 阶 贝 塞 尔 函 数 1J u 2 sin /u R fyx /arctan 22 最 后 利 用 矩 阵 存 储 空 间 各 点 的 光 强 大 小 ， 再 将 该 矩 阵映 射 成 灰 度 图 ： 70圆 孔 的 夫 琅 禾 费 衍 射 模 拟589.3nm, =300mm, 0.05mmf R 71 五 、 矩 形 孔 的 夫 琅 禾 费 衍 射 实 验 衍 射 屏 放 置 在 XOY平 面 上 ， 在 屏 上 O点 有 一 边 长 为a、 b的 矩 形 孔 ， 一 束 平 行 于 Z轴 的 光 线 垂 直

51、 照 射 ， 在 透 镜后 方 的 焦 平 面 L上 可 得 衍 射 图 样 。 /sin 1au /sin 2bv 其 中 ：a、 b为 矩 形 孔 的 长 和 宽 ， 、 为 二 维 衍 射 角 ， 1 2矩 形 孔 衍 射 光 强 公 式 为 : 220 /sin/sin vvuuII 对 于 直 角 坐 标 系 有 ,/arctan1 fx fy/arctan2 72-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80.00.2 0.40.6 0.81.0 -10-8 -6 -4-2 0 2 4 6 8Y Axis X Axis矩 形 孔 的 夫 琅 禾 费 衍 射 光 强 分 布 0

52、.05mm, 0.05mm, 589.3nm, 300mma b f 73矩 形 孔 的 夫 琅 禾 费 衍 射 74 作业EX2-5： 编 程 完 成 例 7的 图 形 模 拟 。EX2-6: 编 程 完 成 波 的 干 涉 图 形 模 拟 。 EX2-7: 有 一 块 的 光 栅 ， 狭 缝 宽 度 mm， 光 栅 常 数 mm， 入 射 波 ，试 给 出 衍 射 角 在 范 围 内 的 光 强 随 的分 布 图 形 。 500N 3101 a3102 d m59.0 60,20 oo 0/II 7520 30 40 50 600.0000.0050.010 0.0150.020I/I0

53、(deg)EX2-7： 图 形 模 拟 :讨 论 ： 在 某 一 确 定 衍 射 角 下 ， 光 强 随 入 射 频 率 的 变 化 。 76 本章小结 简 谐 振 动 及 其 合 成 曲 线 模 拟 模 拟 程 序 （ 同 方 向 、 垂 直 方 向 合 成 ） 图 形 模 拟阻 尼 运 动 和 阻 尼 振 动 的 模 拟 差 商 法 （ 微 分 方 程 数 值 解 ： 高 阶 降 为 一 阶 ） 程 序 和 图 形 模 拟驻 波 的 模 拟 模 拟 、 特 征 分 析 、 半 波 损 失隐 函 数 曲 线 模 拟 隐 函 数 曲 线 编 程 步 骤 点 电 荷 系 等 势 线 、 波 的 干 涉 图 形 等 编 程 及 曲 线 模 拟