高斯求积公式数值微分

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1、 一、高斯点定 义 ： 高 斯 公 式机 械 求 积 公 式 nk kkba xfAdxxf 0 )()(含 有 2n+2个 待 定 参 数 ),.,1,0(, nkAx kk 若 适 当 选 择 这 些 参 数 使 求 积 公 式 具 有 尽 量 高 次（ 2n+1次 ?!） 代 数 精 度 ， 则 这 类 公 式 称 为 高 斯 公 式 。(4.1) 定 义 ： 高 斯 公 式 的 求 积 节 点 称 为 高 斯 点 。请 回 顾 :以 前 学 过 的 梯 形 公 式 、 辛 甫 生 公 式 、 柯特 斯 公 式 、 中 矩 形 公 式 是 高 斯 公 式 吗 ？ 除 中 矩 形 公 式

2、外 都 不 是 ！注 ： 机 械 型 高 斯 求 积 公 式 一 定 是 插 值 求 积 公 式 。 举 例 求 a,b上 的 两 点 高 斯 公 式 。解 设 两 点 高 斯 公 式 为 )()()( 1100 xfAxfAdxxfba )(41 )(31 )(21 443311300 332211200 221100 10 abdxxxAxA abdxxxAxA abxdxxAxA abdxAA babababa 这 是 关 于 四 个 未 知数 的 非 线 性 方 程 组 ，是 否 有 解 ？ 一 般 难于 求 解 要 求 其 代 数 精 度 最 高 ， 四 个 未 知 数 ， 可 列

3、出 4个 方 程 : 高 斯 点 具 有 以 下 性 质 ：定 理 插 值 型 求 积 公 式 (4.1)成 为 G auss求 积 公 式的 充 要 条 件 ： ),.,1,0( nkxk 求 积 节 点 为 n+1次 正 交 多 项 式 的 零 点 。如 何 求 高 斯 公 式 ? nk kkba xfAdxxf 0 )()( 正 交 多 项 式 概 述 ：1( ) ( ) 0b n na P x x dx 首 先 证 明 对 于 任 给 节 点 x0， x1， ， xn， 均 存 在 某个 次 数 为 2n+2的 多 项 式 f(x),机 械 型 求 积 公 式 不 能 精确 成 立 ，

4、 即 其 最 高 代 数 精 度 不 能 达 到 2n+2 。 如 取 ：21( ) ( )nf x x 证 明 21 210 00 ( ) ( )( ) 0 ( )b b na an nk n k kk kf x dx x dxA x A f x 则 有 ： ),.,1,0( nkxk 设 求 积 节 点 为 n+1次 正 交 多 项 式n+1(x) 的 零 点 。1 0 1( ) ( )( ) ( )即 有 ： n nx x x x x x x 现 证 充 分 性 。 即n( x) P ( x) 与 正 交 求 积 公 式 是 高 斯 型 。证 明 现 对 于 任 意 给 定 的 次 数

5、不 超 过 2n+1的 多 项 式 f(x),用 除 f(x)， 记 商 为 P(x)， 余 式 为 Q(x)，)(x即 )()()()( xQxxPxf 2n+1 n+1 n n由 已 知 条 件 ， (x)与 P(x)正 交 ， 故 得 baba dxxQdxxf )()( 由 于 所 给 求 积 公 式 (4.1)是 插 值 型 的 ， 它 至 少 具有 n次 代 数 精 度 ， 故 对 Q(x)能 准 确 成 立 ： nk kkba xQAdxxQ 0 )()(再 注 意 到 (xk)=0， 知 Q(xk) = f(xk)， 从 而 有 nk kkba xfAdxxQ 0 )()(综

6、之 得 ： nk kkba xfAdxxf 0 )()( 这 说 明 公 式 对一 切 次 数 不 超过 2n+1的 多 项 式 准 确 成 立 ，综 之 说 明 xk是高 斯 点 。 再 证 必 要 性 ， 即若 是 高 斯 求 积 公 式 ( x) P( x) 与 正 交设 P(x)是 任 意 次 数 不 超 过 n 的 多 项 式 ， 则P(x)(x)的 次 数 不 超 过 2n+1， 因 此 应 准 确成 立 nk kkkba xxPAdxxxP 0 )()()()( 但 ),.,1,0(0)( nkxk 故 .正 交与 )()( xPx 求 积 节 点 构 造 的 注 ：1、 总 可

7、 通 过 施 密 特 正 交 化 求 出 a, b上 与 所 有 次 数不 超 过 n的 多 项 式 都 正 交 的 多 项 式 n+1(x)。2、 命 题 ： n次 正 交 多 项 式 有 n个 单 零 点 。 解 ： 设 P0(x)=C， 1(x)= x x0。 由 于0)()(11 10 dxxxP 即 0)(11 0 dxxxC展 开 ， 得 00 x则 一 个 点 的 高 斯 公 式 为 1 1 2 0f( x)dx f( ) 中 矩 形 公 式 例 . 求 -1， 1上 与 次 数 为 0的 多 项 式 正 交 的 多项 式 1(x)=？ 二、高斯勒让得公式若 a, b=-1, 1

8、， 其 上 的 高 斯 公 式 为 11 0 )()( nk kk xfAdxxf称 为 高 斯 -勒 让 得 公 式 。-1， 1上 的 正 交 多 项 式 称 为 勒 让 得 多 项 式 ，勒 让 得 多 项 式 P n+1(x)的 零 点 就 是 高 斯 点 。 几 个 Legandre 多 项 式 ： 若 取 P1(x) = x 的 零 点 x0 = 0 作 求 积 节 点 构 造 公 式 ： 11 0 )0()( fAdxxf令 它 对 f(x) = 1准 确 成 立 ， 即 可 定 出 A0 = 2.从 而 得 到 一 点 高 斯 公 式 ： 11 )0(2)( fdxxf 中 矩

9、 形 公 式 11 10 )31()31()( fAfAdxxf令 它 对 f(x) = 1, x 准 确 成 立 ， 即 可 定 出 A0 ,A1可 得 两 点 高 斯 勒 让 得 公 式 为若 取 的 零 点 作 求 积 节 点 构造 公 式 )13(21)( 22 xxP 31 11 )31()31()( ffdxxf注 ： 更 高 阶 的 公 式 见 书 p122。 请 思 考 :高 斯 勒 让 得 公 式 的 求 积 区 间 是 -1， 1， 那 么 对于 任 意 求 积 区 间 a, b如 何 办 ？解 作 变 换 22 batabx 可 以 化 到 区 间 -1， 1上 ， 这

10、时 dtbatabfabdxxfba )22(2)( 11 三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）有 时 需 要 求 如 下 带 权 的 积 分 ： ba ( x)f( x)dx称 上 述 (x)0是 权 函 数 。 定 义 ： 若 求 积 公 式 nk kkba xfAdxxfx 0 )()()(具 有 2n+1次 代 数 精 度 ， 则 称 这 类 公 式 为 带 权的 高 斯 公 式 . 高 斯 点我 们 类 似 的 可 有 ： 定 理 ),.,1,0( nkxk 是 高 斯 点 的 充 要 条 件 ：).()()( 10 nxxxxxxx 是 区 间 a, b上 带 权 (x)正 交

11、的 多 项 式 。 若 a, b = -1， 1， 权 函 数 为 211)( xx 所 建 立 的 高 斯 公 式 nk kk xfAxxf 011 2 )(1 )(切 比 雪 夫 高 斯 公 式称 为 切 比 雪 夫 高 斯 公 式 。xk是 切 比 雪 夫 多 项 式 的 零 点 。 4.7.4 Gauss-Chebyshelv quadrature formula .)()(wherein .)()()()( of zeros by the dconstructe is formula quadratic -Gauss ),(by denoted,polynomiallar perpe

12、ndicu called is ,11)(function t with weigh -1,1on defined, polynomiallar perpendicu The 11 111 2 dxxLxA xfAdxxfxxTChebyshev xTChebyshev xxii ni iin n ： (monic). 1 is term leading oft coefficien the arccoscos21)( :as problem phys. Remark 2 Tn are perpendicular polynomials; ),1().( polynomial theof ze

13、ros are 2 12cos :see easy to isIt formula. in , of onsconstructi thesee llNext we nkxTnkx ChebyshevGaussAx nk kk ndxnxTx dxxTxx xTx dxxLxdxxLxA kkn knkn kkk 011 1111 2 coscos)(1cos )()( )()( )()()()( nk nkfndxxfx 111 2 2 12cos)(11 At last, well state the error estimation of the Gauss- Chebyshelv for

14、mula without the proof : According to the error estimation of the Gauss- Type formula,we have: )()!2(2 )()!2( )();( )2( 12 11 2)2( nn nnn fn dxxnfGfR :gives formula then performed, is 44ation transforma first,At . .sin :compute toformula point -2 UsingExample. 20LegendreGauss txSolution xdxI Legendr

15、eGauss 99848.0 4 157735.0sin14 157735.0sin14 41sin411 dttI Consult the table in p122. .97732.33 :hence ,23,0,23 :,2 12cos and 3for 11 : formula toAccording :Solution error. estimate and 1 compute toformula point - three Using2 Example 23023 2,3,1111 211 2 eeeI xi.e.nkxn endxexI ChebyshevGaussdxxeI C

16、hebyshevGaussk nk xxx k 构 造 高 斯 公 式 的 一 般 方 法 ：1、 构 造 正 交 多 项 式 ， 继 而 求 其 零 点 ， 再按 插 值 求 积 公 式 获 得 高 斯 公 式 ；2、 待 定 系 数 法此 外 ， 还 可 涉 及 到 无 穷 区 间 上 的 广 义 积 分 等 。例 如 ： 0 xe f( x)dx -拉 盖 尔 -高 斯 积 分 举 例 要 构 造 下 列 形 式 的 高 斯 公 式 )()()( 110010 xfAxfAxfx 解 则 其 代 数 精 度 应 为 311212 n 即 0 10 0 1 12 2 20 0 1 13 3

17、 30 0 1 1 2 32 52 72 9ba bababaA A xdx /A x A x x xdx /A x A x x xdx /A x A x x xdx / 求 解 ?! 定 理 （ 稳 定 性 ） 高 斯 求 积 公 式 的 求 积 系 数 Ak0.证 明 ： 事 实 上 2 200 ( ) ( ) .nb k i k i ka il x dx Al x A 这 表 明 高 斯 求 积 法 是 稳 定 的 。 关 于 积 分 余 项 和 收 敛 性 有 ：积 分 余 项 ： 2 2 21 ( )2 2 !n bn nafR f x x dxn 收 敛 性 ： 设 f(x) Ca

18、,b,则 有 ： 0lim ( ) ( )n bk k an k A f x f x x dx 4.1 Numerical Differentiationposed.-ill error;roundnemesis,oldthenote, ,)()()()(lim)( :)(function a of derivative theof place at thestart willWe 000000 h xfhxfh xfhxfxf xfenoughsmallhh However , (i) There is no error estimation;(ii) Are there any other

19、 numerical methods for ND? How to construct them it shows the algorithem has the old nemesis!The finite element method( ) may help us.h M,M h FEM 4.2 Richardsons Extrapolation(1927)Richardsons Extrapolation is used to generate high-accuracy results while using low-accuracy formulas. 2 31 2 3Suppose

20、that for each 0, we have a formula ( )to approximate an unknown and that itstruncation error involved in the appproximation hasthe form: ( ) ( ).ifh N hMM N h K h K h K h O h 2 31 2 3Since the formula is assumed to hold for all positive ,consider the result when we replace the parameter byor 2 , the

21、n we have:2 ( ) ( )2 2 2 2eliminating ( ) results in2 ( )2 also hhh hh h h hM N K K K O hO hhM N N h 22 3 22 3: ( )3 ( )2 4M N hh - hK K O h 33222 3238)2( :havellwe formula,abovethein2/byreplaceweSimilarly, hKhKhNM hhThen combined with the formula of N2(h) to eliminate the h2 term, we obtain: 333 22

22、2 8)( 3 )()2/()2( hKhNM hNhNhNM ：Which posses higher order truncated error! .12 )()2/()2()( formtheofionapproximat )(anhavewe,3,2eachforthen )()( formtheinwrittenbecanif,generalIn 1 111 11 j jjjj jmmj jj hNhNhNhN hOmj hOhKhNM M The geometry explanation (For h0,the approximation should be accuracy):

23、.12 )()2(2)0(: have we thus )2(2)(22)( :get we formula,given thefrom)2(,2and)(, dataely approximat heion with tExtrapolat 211 111 1111 1 1111 NhNhNN hNhKhK hKzhNhKhK hKzzN hNhKhNhK ionextrapolatby Related topic: steffensens acceleration for convergent linearly iterative sequence . Numerical Differen

24、tiation Revisit-Using Extrapolation Method )(120)(6)( )(120)(62 )()()( :formula difference-divided centralobtain canwe ,)(1201)(241 )(61)(21)()()( expansionTaylorthebyFirstly, )5(402 )5(402000 52,1)5(40)4( 3020000 fhxfh fhxfhh hxfhxfxf hfhxf hxfhxfhxfxfhxf hN： 0 0 0 04 (5)0 Next, using the formula w

25、ith 2 replacing ,and Richardsons extrapolation will result in 5 pointformula with the error of order 4: 1( ) ( 2 ) 8 ( ) 8 ( )12 ( 2 ) ( )30h hf x f x h f x h f x hh hf x h f The technique of Richardsons extrapolation is also used in approximating definite integrals and in determining approximate solution to differential equations in later Chapters. Summery: We have studied 3 ways to obtain numerical derivatives algorithms:(1) Lagrange Interpolating formula;(2) Taylor mean value Theorem;(3) Richardson extrapolation process .Homework ( p184): 5; 15* 作 业 ：P136习 题 11